Guía de estudio preparatorio para el examen de admisión (página 3)

-Sustituimos x=1 en la ecuación 2x-15y+93=0:

2(1)-15y+93=0

2-15y+93=0

-15y+95=0

y=-95/15

y=-19/3

-Por lo tanto las coordenadas del Baricentro es G (1,-19/3)

• h) Las coordenadas del Ortocentro:

Ortocentro: Punto del triángulo donde se cortan las alturas. Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo

Para determinar las coordenadas del Ortocentro solamente necesitamos resolver el sistema formado por dos de las tres ecuaciones de las alturas.

-Multiplicamos la ecuación por (-1) y le sumamos la ecuación

-5x+6y-12=0

5x-4y-16=0

2y-28=0

y=14

-Sustituimos y=14 en 5x-4y-16=0:

5x-4(14)-16=0

5x-56-16=0

5x-72=0

X=72/5 *Por lo tanto las coordenadas del Ortocentro es O (72/5, 14).

• i) Las coordenadas del Circuncentro:

Circuncentro: En un triángulo, punto de intersección de las mediatrices. Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Para determinar las coordenadas del Circuncentro solamente necesitamos resolver el sistema formado por dos de las tres ecuaciones de las mediatrices.

• Multiplicamos la ecuación por (-2) y le sumamos la ecuación

10x-8y-75=0

-10x+2y-6=0

-6y-81=0

y=-81/6

y=-27/2

-Sustituimos y=-27/2 en 5x-y+3=0:

5x-(-27/2)+3=0

5x+27/2+3=0

5x+33/2=0

5x=-33/2

X=-33/10

-Por lo tanto las coordenadas del Circuncentro son C (-33/10, -27/2).

j) La Ecuación de la Recta de Euler:

RECTA DE EULER: Recta que contiene al Baricentro, Circuncentro y al Ortocentro:

Para calcular la ecuación de la Recta de Euler solamente necesitamos utilizar las coordenadas de dos puntos, en este caso, del Baricentro y Circuncentro.

G (1,-19/3) y C (-33/10, -27/2).

• 207. Bosqueja la gráfica de las siguientes funciones exponenciales:

Solución:

• I. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

Resuelve los siguientes ejercicios:

Escribe las expresiones siguientes en notación logarítmica:

Escribir las expresiones siguientes en forma exponencial:

Expresar como un logaritmo único:

En las expresiones siguientes, hallar la representación numérica más simple de y:

Resolver para x las siguientes ecuaciones:

Problemas y ejercicios de la ecuación de la hipérbola

253. Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F'(-5, 0) y F(5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.

254. Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola 9×2 – 16y2 = 144.

255. Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0, 5), de vértice A(0, 3) y de centro C(0, 0).

256. Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C(3, 2).

257. Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C(-2, -5).

258. Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas.

259. Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas:

2

260. Hallar la ecuación de una hipérbola de eje focal 8 y distancia focal 10.

261. El eje focal de una hipérbola mide 12, y la curva pasa por el punto P(8, 14). Hallar su ecuación.

• 262. Dada la siguiente ecuación de parábola y²+24x+18y-135=0, determine:

• a) Las coordenadas del vértice.

• b) La distancia focal

• c) Que tipo de parábola es.

Tipo 4

• Cóncava hacia la izquierda.

• d) Las coordenadas del foco

F (h-p, k)=F (9-6,-9)

F (3,-9)

• e) Las coordenadas de los puntos extremos del Latus Rectum.

• f) La ecuación de la Directriz.

X=9+6

X=15

• 263. Encontrar la ecuación de la parábola con foco F (-2,1) y directriz x=2.

• El vértice de la parábola se encuentra en el punto medio desde la directriz hasta el foco, es decir a 2 unidades a la derecha del foco.

V (p, k)=V (-2+2,1)=V (0,1)

• Del inciso anterior, la distancia del vértice al foco es de 2 unidades, es decir p=2.

• La parábola en cuestión es cóncava hacia la izquierda, ya que la directriz se encuentra a la derecha del vértice; por lo que la ecuación es de la forma:

(y-k)²=-4p(x-h) por lo que la ecuación pedida será:

(y-1)²=-4(2) (x-0)

(y-1)²=-8x

• 264. Si la ecuación (y+1)²=6(x+2), encontrar:

• a) Coordenadas del vértice

• b) Coordenadas del foco

• c) Ecuación de la recta directriz

Solución:

• a) De la ecuación (y+1)²=6(x+2), obtenemos h=-2 y k=-1.

Luego: Las coordenadas del vértice son V (-2,-1).

• b) Para calcular las coordenadas del foco, debemos hallar p.

• Por la ecuación sabemos que 4p=6, por tanto p=, y que la parábola abre sus ramas en el sentido positivo del eje x.

• Por consiguiente el foco esta sobre el eje de simetría y su distancia al vértice es

Luego: las coordenadas del foco son:

F (-2+, -1) = F (-, -1)

• c) La recta directriz se encuentra a p unidades del vértice en sentido contrario al foco.

Luego: la ecuación de la directriz es

x = -2-, es decir, x =

• 265. Encuentra la medida del ángulo ? para cada caso. (medida en radianes).

• a) S = 4.6 cm, r = 7.8 cm, ? = ?

T = s / r

T = 4.6 cm / 7.8 cm

T = 0.5897 rad

• b) S = 0.256 m, r = 1.25 m, ? = ?

T = s / r

T = 0.256m / 1.25 m

T = 0.2048 rad

• c) S = 56 cm, r = 31 cm, ? = ?

T = s / r

T = 56 cm / 31 cm

T = 1.8065 rad

• 266. Encuentra la medida del arco en cada caso.

• a) S = ?, r = 4.63 cm, ? = 0.2365 rad

S = r ?

S= (4.63 cm)(0.2365 rad)

S= 1.0950 cm

• b) S = ?, r = 46.25 cm, ? = 1.2564 rad

S = r ?

S = (46.25 cm)(1.2564 rad)

S = 58.1085 cm

• c) S = ?, r = 0.247 m, ? = 2.5894 rad

S = r ?

S = (0.247 m)(2.5894 rad)

S = 0.6396 m

• 267. Encuentra la medida del radio en cada caso.

• a) S = 4 m, r = ?, ? = 4.3654 rad

r= s / ?

r= 4 m / 4.3654 rad

r= 0.9163 m

• b) S = 1.25 cm, r = ?, ? = 0.1568 rad

r= s /?

r= 1.25 cm / 0.1568 rad

r= 7.97 cm

• c) S = 78 cm, r = ?, ? = 4.9632 rad

r = s / ?

r= 78 cm / 4.9632 rad

r = 15.72 cm

• 268. Convierta de Radianes a Grados Decimales.

• a) T = 12.2568 rad

• b) T = -2.6589 rad

• c) T = 7.2698 rad

• 269. Convierta de Radianes a Grados Sexagesimales.

• a) T = 4.2396 rad

Primero a Grados Decimales:

Luego a Grados Sexagesimales:

242.9112

– 242

___________

0.9112

X 60

___________

54.672

– 54

___________

0.672

X 60

___________

40.32

Por lo tanto 4.2396 radianes equivale a 242° 54? 40.32??

• 270. Convierta de Grados Decimales a Radianes.

a) ? = 26.569°

b) ? = 12.3656°

c) ? = 26.8°

• 271. Convierta de Grados Sexagesimales a Radianes.

• a) T = 46° 5? 47??

Primero a Grados Decimales

Luego a Radianes

Demuestre las siguientes identidades:

275. Determinar la longitud del eje mayor y del eje menor, las coordenadas de los focos y hacer la gráfica de la curva definida por la ecuación:

Solución:

Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre 100 y simplificando se tiene:

Que corresponde a una elipse vertical.

Por lo tanto como se tiene que =25 y= 4. Resultando que a=5 y b=2.

De acuerdo a esto, la elipse intercepta a los ejes de coordenadas en los puntos

Eje Mayor =2a= 10 y Eje Menor=2b=4.

Por otra parte si entonces Sustituyendo los valores:

Extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros

En consecuencia las coordenadas de los focos son

La siguiente figura muestra los resultados obtenidos:

• 276.  Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante el método de Cramer.

• 277. Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante el método de Gauss.

• 278. Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante el método por eliminación.

• 279.  Resolución por igualación

Tenemos que resolver el sistema:

esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales se conoce su ecuación.

Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema equivalente (en este caso elegimos y):

Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundos también lo son, por lo tanto:

Luego:

 Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):

Operamos para hallar el valor de y:

y=2

Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2):

 Ahora sí, podemos asegurar que x= 4 e y = 2

Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo y reemplazando en las dos ecuaciones.

• 280.  Resolución por sustitución.

Tenemos que resolver el sistema:

Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primera ecuación):

Y la reemplazamos en la otra ecuación:

Operamos para despejar la única variable existente ahora:

 Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la primera):

 Hallamos la respuesta x=4, y = 2, obviamente igual que en el caso anterior. No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.

Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo.

• 281.  Resolución por reducción

Tenemos que resolver el sistema:

El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número.

También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad.

Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación, para que al sumarla a la primera se obtenga cero?

La respuesta es -2. Veamos:

Con lo que obtenemos:

 Y la sumamos la primera obteniéndose:

-7y = -14

y = 2

Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación:

Y finalmente hallar el valor de x:

Ejercicio: Resuelve por este método:

• 282.  Resolución por determinante

Sabemos que un determinante se representa como:

Este se calcula de la siguiente manera: ????a·d – b·c

Sea el sistema:

a1x + b1y = c1

a2x + b2 y = c2

El valor de x está dado por:

e

Resolvamos el sistema::

El punto de intersección de las rectas dadas es {(4, 2)}

• 283. Dada la ecuación reducida de la elipse hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

• 284. Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

• 286. Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.

• 287. Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.

• 288. Halla la ecuación de la elipse conociendo:

• 289. Determina la ecuación reducida de una elipse sabiendo que uno de los vértices dista 8 de un foco y 18 del otro.

• 290. Halla la ecuación reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto (0, 4) y su excentricidad es 3/5.

• 291. Escribe la ecuación reducida de la elipse que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4.

• 292. La distancia focal de una elipse es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elipse.

• 293. Escribe la ecuación reducida de la elipse que pasa por los puntos:

• 294. Hallar las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta la recta: x + 2y – 1 = 0 en la elipse de ecuación: x2 + 2y2 = 3.

• 295. Determina la ecuación reducida de un elipse cuya distancia focal es y el área del rectángulo construidos sobre los ejes 80 u2.

• 296. Una empresa fabrica dos tipos de microcomputadoras: el modelo A con 256 K en RAM y el modelo B con 128 K en RAM. Diariamente, la empresa puede fabricar un máximo de 75 microcomputadoras del modelo A y 50 del modelo B. Una unidad del modelo A se fabrica en 8 h y una del modelo B en 3. El número de empleados puede proporcionar un total de 630 h de trabajo diario. La utilidad por la venta de cada computadora del modelo A es de US $20 y por una del modelo B, de US $27. ¿Cuántas computadoras de cada tipo es necesario fabricar diariamente para que la utilidad sea máxima?

Solución: Si x e y representan el numero de microcomputadoras del modelo A y del modelo B producidas cada día, respectivamente, entonces tenemos las siguientes restricciones.

0=x=75 No es posible fabricar más de 75 microcomputadoras del modelo A.

0=y=50 Es posible fabricar un máximo de 50 microcomputadoras del modelo B

8x+3y=630 Solo es posible trabajar 630 h diarias.

La utilidad P está dada por P=20x+27y. Esta es la función objetivo.

El conjunto de puntos factibles es la región sombreada de la figura. Aunque el procedimiento es bastante largo, es posible demostrar que la solución del problema está en el límite de la región factible. En consecuencia, y debido a que esta región está acotada por un polígono, la solución es un vértice o uno de los lados del polígono.

Probaremos ahora el valor de la función objetivo en cada uno de los cinco vértices de la región factible. Si evaluamos la función objetivo P=20x+27y en cada uno de estos vértices, obtendremos la siguiente tabla de valores.

En la tabla podemos ver con claridad que la utilidad máxima ocurre cuando se fabrican diariamente 60 microcomputadoras del modelo A y 50 del modelo B.

• 297. Cada semana, una compañía de productos electrónicos fabrica artículos de entretenimiento para el hogar. Algunos productos son reproductores de discos compactos (CDs) y televisores (TVs). El número de horas necesarias para fabricar cada artículo, el costo de los materiales y las utilidades se muestran en la tabla siguiente, en cuyo último renglón se observa la cantidad máxima de cada artículo disponible por semana. ¿Cuántos aparatos de cada tipo debe producir la compañía para obtener la utilidad máxima?

Solución: Debido a que la compañía gana US $67 por cada reproductor y solo US $58 por cada televisor, podría sugerirse que sólo fabrique reproductores. Como semanalmente se dispone de 488 h de tiempo y para fabricar un reproductor se requieren 3.5 h, es posible fabricar un total de

488 ÷ 3.5 = 139.4 reproductores

Para elaborar cada reproductor se requieren US $112 de material, de modo que para un total de 139 aparatos se necesitan 112 x 139 = $ 15,568. Desafortunadamente sólo se dispone de US S13,500 por semana para material.

Siguiendo un razonamiento semejante, advertimos que no sería prudente fabricar tantos reproductores como se pudiera con el dinero disponible para material. Debido a que para elaborar cada reproductor se necesitan US $112 de material y se dispone de US $13,500, entonces ¿Por qué no fabricar

$13,500 ÷ $112 =120.5 reproductores?

En consecuencia, sería posible manufacturar 120 reproductores de CD semanalmente (y obtener también semanal 120 x $67 = $8,040). Para fabricar estos aparatos se requieren 120 x 3.5 = 420 h. Así, quedarían 68 h como tiempo sin manufactura, aunque tampoco se contaría con fondos para producir televisores. La compañía debe fabricar reproductores y aparatos de televisión, de modo que esta solución no es aceptable.

Ahora veremos cual es la solución más optima a partir de la programación lineal para ver cuantos reproductores y cuantos televisores deben fabricarse para obtener la utilidad máxima.

Si c representa el número de reproductores y t el número de televisores que es posible fabricar en una semana, entonces la utilidad semanal P es

P = 67c+58t

Esta ecuación, P = 67c+58t, es la función objetivo.

El tiempo de manufactura no puede ser mayor a 448 h, de modo que 3.5c+4t = 488.

El costo de los materiales no puede ser mayor a US $13,500, entonces 112c+75t = 13,500.

Por último, suponemos que c = 0 y t = 0. Estas dos desigualdades contienen signos de igualdad porque queremos permitir la respuesta posible (aunque inesperada) de que sólo deben fabricarse reproductores y ningún televisor, o sólo televisores y ningún reproductor. Ahora ya tenemos la función objetivo y cuatro restricciones. La grafica de las restricciones se muestra en la figura.

Tres vértices de la región factible son (0,0), (0,120) y (120,0). El cuarto vértice de la región factible lo determinamos al resolver simultáneamente el sistema de ecuaciones

3.5c+4t=448

112c+76t=13,500

De donde encontraremos que c = 92.92 y t=40.69. Estas cantidades no son enteras, de modo que la solución aún no está clara. Si redondeamos las cantidades hasta el número entero más próximo. Podríamos concluir que deben fabricarse 93 reproductores y 41 televisores. No obstante, para hacer lo anterior se necesitan 489.5 horas de manufactura y 13,532 dólares de materiales a la semana. Estas dos cantidades exceden lo permitido.

La alternativa es redondear hacia arriba una de las cantidades en cuestión y hacia abajo la otra. Así se obtienen las dos posibilidades siguientes.

c = 92 y t = 41

c = 93 y t = 40

Para determinar la respuesta sustituimos cada par de valores en la función objetivo P=67c+58t y vemos que pareja de números produce la ganancia máxima. Cuando

c=92 y t=41: P=67(92)+58(41)

P=$ 8,542

c=93 y t=40: P=67(93)+58(40)

P=$ 8,551

En consecuencia, la compañía obtendría la utilidad máxima, $ 8,551, cuando fabrique 93 reproductores y 40 televisores.

Autor:

Carlos Arturo Acosta Bustos

Especialista en matemáticas

Noviembre, 2009.

UNAN 2010