Usted realiza una inspección a la “Carpintería XXX” y de la misma obtiene la siguiente información: 1.- Se fabrican mesas, sillas, puertas y camas. 2.- Las mesas se venden a Bs 180.000, las sillas a Bs 80.000, las puertas a Bs 300.000 y las camas a Bs 220.000. 3.- Los costos totales de fabricación de cada artículo son : una mesa Bs 100.000, una silla Bs 50.000, una puerta Bs 200.000 y una cama Bs 160.000. 4.- La capacidad de producción mensual es de 30 camas, 45 puertas, 90 sillas y 30 mesas. 5.- En los libros de ventas se observa que como mínimo se venden mensualmente 20 mesas, 60 sillas, 30 puertas y 24 camas. Ing. José L. Albornoz S.
6.- Nunca se han vendido menos de 134 unidades de producción ni más de 195. 7.- Los clientes compran más camas que mesas y más sillas que puertas. El gerente de la empresa quiere saber: 1.- Cuál es el Modelo Matemático de PL para la producción óptima mensual. 2.- Qué utilidad representa vender 30 mesas, 90 sillas, 30 camas y 45 puertas. Ing. José L. Albornoz S.
SOLUCIÓN Ing. José L. Albornoz S.
identificar el problema Ing. José L. Albornoz S.
identificar el problema Se nos habla de una empresa (carpintería) que fabrica mesas, sillas, puertas y camas. Situación que no es extraña a nuestra cultura general y aunque no sepamos construir ninguno de esos artículos si tenemos una idea clara de la situación planteada. Ing. José L. Albornoz S.
identificar las incógnitas Ing. José L. Albornoz S.
identificar las incógnitas El gerente quiere saber cuál es el modelo matemático de producción óptima. En este caso las incógnitas serán todos los productos que se fabrican. Ing. José L. Albornoz S.
identificar las incógnitas El gerente quiere saber cuál es el modelo matemático de producción óptima. En este caso las incógnitas serán todos los productos que se fabrican. M = Cantidad de mesas que se deben fabricar mensualmente. S = Cantidad de sillas que se deben fabricar mensualmente. P = Cantidad de puertas que se deben fabricar mensualmente. C = Cantidad de camas que se deben fabricar mensualmente. Ing. José L. Albornoz S.
Nota importante Si el gerente hubiese querido saber ÚNICAMENTE la cantidad de mesas y sillas a fabricar para maximizar sus ganancias, las incógnitas serían: M = Cantidad de mesas que se deben fabricar mensualmente. S = Cantidad de sillas que se deben fabricar mensualmente. Y no se toma en cuenta ninguna información referente a los demás artículos que se fabrican. Ing. José L. Albornoz S.
Contruir el Modelo Matemático Ing. José L. Albornoz S.
Contruir el Modelo Matemático Recuerde que debemos construir las ecuaciones o expresiones algebraicas utilizando únicamente las letras con que identificamos a las incógnitas y los signos : + – x ÷ = = = Ing. José L. Albornoz S.
Lo primero que debemos determinar en un problema de PROGRAMACIÓN LINEAL es si se quiere Maximizar la Utilidad o Minimizar los Costos: En este problema se nos dice que el gerente de la carpintería quiere conocer el Modelo Matemático de producción óptima, en otras palabras se nos está pidiendo el modelo para MAXIMIZAR la utilidad. En estos casos debo conocer la utilidad de cada producto o cada artículo que se fabrique. Recuerde : Utilidad = PVP – Costo Ing. José L. Albornoz S.
Determinemos la utilidad de cada artículo fabricado: Ing. José L. Albornoz S.
Determinemos la utilidad de cada artículo fabricado: Utilidad de cada mesa = 180.000 – 100.000 = 80.000 Utilidad de cada silla = 80.000 – 50.000 = 30.000 Utilidad de cada puerta = 300.000 – 200.000 = 100.000 Utilidad de cada cama = 220.000 – 160.000 = 60.000 Ing. José L. Albornoz S.
Determinemos la utilidad de cada artículo fabricado: Utilidad de cada mesa = 180.000 – 100.000 = 80.000 Utilidad de cada silla = 80.000 – 50.000 = 30.000 Utilidad de cada puerta = 300.000 – 200.000 = 100.000 Utilidad de cada cama = 220.000 – 160.000 = 60.000 Recordando que la ecuación de la utilidad se representa con la letra “ Z ” y que es igual a la suma de las utilidades de cada producto fabricado tendremos: Z = 80.000 M + 30.000 S + 100.000 P + 60.000 C Ing. José L. Albornoz S.
Pasemos a estudiar las restricciones del modelo matemático que no es otra cosa que cumplir con todas las condiciones que nos indica el problema. Estas condiciones están representadas por: mano de obra disponible, tiempo disponible, materia prima, capacidad de producción, capacidad de almacenaje y aspectos de mercadeo. Ing. José L. Albornoz S.
Pasemos a estudiar las restricciones del modelo matemático que no es otra cosa que cumplir con todas las condiciones que nos indica el problema. Estas condiciones están representadas por: mano de obra disponible, tiempo disponible, materia prima, capacidad de producción, capacidad de almacenaje y aspectos de mercadeo. Es recomendable ir leyendo el problema poco a poco y donde encontremos una idea completa reflejarla con el uso de las herramientas del álgebra, utilizando ÚNICAMENTE las letras asignadas a las incógnitas o variables y los signos de las operaciones indicadas anteriormente en esta presentación. Ing. José L. Albornoz S.
Al ir leyendo el problema notamos que los puntos 1, 2 y 3 fueron tomados en cuenta para identificar las incógnitas y construir la ecuación de la función objetivo (utilidad = Z). Ing. José L. Albornoz S.
Al ir leyendo el problema notamos que los puntos 1, 2 y 3 fueron tomados en cuenta para identificar las incógnitas y construir la ecuación de la función objetivo (utilidad = Z). Al leer el punto 4: La capacidad de producción mensual es de 30 camas, 45 puertas, 90 sillas y 30 mesas. Ing. José L. Albornoz S.
Al ir leyendo el problema notamos que los puntos 1, 2 y 3 fueron tomados en cuenta para identificar las incógnitas y construir la ecuación de la función objetivo (utilidad = Z). Capacidad de producción quiere decir “Lo máximo que puedo producir”, en tal sentido debo indicar que no puedo producir más de dicha cantidad de cada producto. Al leer el punto 4: La capacidad de producción mensual es de 30 camas, 45 puertas, 90 sillas y 30 mesas. C = 30 P = 45 S = 90 M = 30 Ing. José L. Albornoz S.
Al leer el punto 5: En los libros de ventas se observa que como mínimo se venden mensualmente 20 mesas, 60 sillas, 30 puertas y 24 camas. Ing. José L. Albornoz S.
Al leer el punto 5: En los libros de ventas se observa que como mínimo se venden mensualmente 20 mesas, 60 sillas, 30 puertas y 24 camas. Si todos los meses vendo cuando mínimo tantos artículos es lógico fabricar más de esas cantidades (sé que si fabrico esas cantidades es seguro que las voy a vender). Ing. José L. Albornoz S.
Al leer el punto 5: En los libros de ventas se observa que como mínimo se venden mensualmente 20 mesas, 60 sillas, 30 puertas y 24 camas. Si todos los meses vendo cuando mínimo tantos artículos es lógico fabricar más de esas cantidades (sé que si fabrico esas cantidades es seguro que las voy a vender). C = 24 P = 30 S = 60 M = 20 Ing. José L. Albornoz S.
Al leer el punto 6: Nunca se han vendido menos de 134 unidades de producción ni más de 195. Ing. José L. Albornoz S.
Al leer el punto 6: Nunca se han vendido menos de 134 unidades de producción ni más de 195. Si nunca se han vendido menos de 134 unidades de producción es lógico fabricar siempre 134 o más unidades de producción global : M + S + P + C = 134 Ing. José L. Albornoz S.
Al leer el punto 6: Nunca se han vendido menos de 134 unidades de producción ni más de 195. Si nunca se han vendido menos de 134 unidades de producción es lógico fabricar siempre 134 o más unidades de producción global : M + S + P + C = 134 Si nunca se han vendido más de 195 unidades de producción es lógico fabricar siempre 195 o memos unidades de producción global : M + S + P + C = 195 Ing. José L. Albornoz S.
Al leer el punto 7: Los clientes compran más camas que mesas y más sillas que puertas. Ing. José L. Albornoz S.
Al leer el punto 7: Los clientes compran más camas que mesas y más sillas que puertas. C = M S = P Ing. José L. Albornoz S.
Al leer el punto 7: Los clientes compran más camas que mesas y más sillas que puertas. C = M S = P Como ya se han considerado todos los aspectos que contempla el problema, el modelo completo de PROGRAMACION LINEAL para este caso será: Ing. José L. Albornoz S.
M + S + P + C = 134 (9) M + S + P + C = 195 (10) C = M (11) S = P (12) C = 24 (5) P = 30 (6) S = 60 (7) M = 20 (8) C = 30 (1) P = 45 (2) S = 90 (3) M = 30 (4) MAXIMIZAR Z = 80.000 M + 30.000 S + 100.000 P + 60.000 C Sujeta a las siguientes restricciones: Ing. José L. Albornoz S.
2.- Qué utilidad representa vender 30 mesas, 90 sillas, 30 camas y 45 puertas. Ing. José L. Albornoz S.
2.- Qué utilidad representa vender 30 mesas, 90 sillas, 30 camas y 45 puertas. Para determinar la utilidad solo tengo que sustituir los valores de cada producto en la ecuación de la utilidad: Z = 80.000 M + 30.000 S + 100.000 P + 60.000 C Ing. José L. Albornoz S.
2.- Qué utilidad representa vender 30 mesas, 90 sillas, 30 camas y 45 puertas. Para determinar la utilidad solo tengo que sustituir los valores de cada producto en la ecuación de la utilidad: Z = 80.000 M + 30.000 S + 100.000 P + 60.000 C Z = 80.000 (30) + 30.000 (90) + 100.000 (45) + 60.000 (30) Z = Bs 11.400.000,oo Ing. José L. Albornoz S.
Para la solución de los Modelos Matemáticos de Programación Lineal con más de 2 incógnitas, con el uso del computador, recomendamos consultar el archivo 69 ejercicios resueltos de programación lineal albornoz que se encuentra en la web. Ing. José L. Albornoz S.