En electrostática, todo conductor se caracteriza por un potencial eléctrico constante en todos sus puntos y dentro de el. La diferencia de potencial entre dos conductores cargados pueden acelerar cargas de prueba, y es por eso que el sistema almacena energía. Un capacitor es un dispositivo de este tipo; almacena energía por que almacena carga. En este capitulo, estudiaremos como afecta a los capacitores la geometría y los materiales dieléctricos. También vamos a describir la estructura microscópica de los dieléctricos y con ello ampliaremos el conocimiento fundamental del comportamiento de la materia. 4.1 Introducción
4.2 Objetivo general Dotar al estudiante de los fundamentos teóricos necesarios para poder aplicar y utilizar la energía almacenada en un campo electroestático, así como de herramientas para calcular capacitancias de diferente geometría y para obtener la capacitancia neta de sistemas de capacitores serie y paralelo. Dimensionar la importancia del efecto de un dieléctrico sobre la capacitancia, la carga, la diferencia de potencial y la intensidad del campo eléctrico en un capacitor de placas paralelas.
4.3 Objetivos específicos Estar en capacidad de interpretar la influencia que tiene un dieléctrico (material no conductor) dentro del capacitor en variables como: la intensidad del campo eléctrico, la capacitancia, la carga y la diferencia de potencial. Proyectar la aplicabilidad temática al estudio de una lámpara de destello, de un sintonizador de frecuencia de radio, de filtros para suministro de energía eléctrica o en circuitos electrónicos en donde los voltajes y corrientes varían con el tiempo.
4.4 Capacitancia Un capacitor se compone de dos conductores aislados eléctricamente uno del otro y de sus alrededores. Una vez que el capacitor se carga, los dos conductores adquieren cargas iguales pero de signo contrario, es decir, existe un desequilibrio de carga, por tanto, hay una diferencia de potencial y un campo eléctrico entre los conductores. (Gp:) + (Gp:) –
Se comprueba experimentalmente que la diferencia de potencial es directamente proporcional a la carga en el capacitor V a Q entonces: C = V / Q FARADIO = VOLTIO / COULOMB. La capacitancia C del capacitor depende del arreglo geométrico de los conductores, la capacitancia de un dispositivo es la capacidad para almacenar carga y energía potencial eléctrica. Carga de un capacitor
Ejemplo 4.1 Cuando en un capacitor inicialmente descargado se transfieren 1*1012 electrones de una placa a la otra, la diferencia de potencial es de 20 voltios. ¿cuál es su capacitancia? Como la carga esta cuantizada: Qt = N*e, donde N es el numero de electrones y e la carga del electrón 1.6*10-19C, entonces: Qt = 160*10-9 C. Como Q = V*C C = Qt / V = 8 nC
Ejemplo 4.2 Capacitancía de una esfera aislada de radio R Q+ Consta de un conductor esférico aislado de radio r y carga Q. (el segundo conductor puede considerarse como una esfera conductora concéntrica de radio infinito) (Gp:) r Entonces, C = Q / ( KQ / r) La capacitancia C = Q / V la diferencia de potencial V = KQ / r C = r / K = r (4* p *eo)
Ejemplo 4.3 Capacitancia de un capacitor de placas paralelas (Gp:) d (Gp:) – – – (Gp:) + + + (Gp:) E Consta de dos placas (rectangulares, circulares, etc.) planas y paralelas separadas una distancia d y un campo eléctrico uniforme entre ellas La capacitancia C del capacitor, la diferencia de potencial V y el campo eléctrico entre las placas es: C = Q / V V = E * d E = s / eo V = (s / eo)*d V = (Q/A)*d / eo C = Q / ((Qd) /(A eo)) C = eo A / d
El segundo conductor es un cascaron cilíndrico de radio b > a y densidad lineal de carga –l Para una superficie cilíndrica de radio a < r < b el campo eléctrico es radial hacia fuera C = Q / V = Q / {l / (2 p e0)} Ln (b /a) C = Q / V = Q / {(Q/l) / (2 p e0)} Ln (b /a) La capacitancia es: C = Q / V, y la diferencia de potencial V entre el cilindro de radio a y el cilindro de radio b se define como: Ejemplo 4.4 Capacitancía de un capacitor cilíndrico (Gp:) r Un capacitor cilíndrico consiste en un conductor central de radio a, con una densidad lineal de carga +l una longitud l (Gp:) a +Q (Gp:) b -Q C = 2pe0 l / Ln (b /a) (Gp:) Er = l / (2pe0 r) (Gp:) ^ (Gp:) r (Gp:) Vb – Va = – ò Er dr = -ò l/(2peo r) dr (Gp:) b (Gp:) a (Gp:) b (Gp:) a Vb – Va = -l / (2pe0) Ln(b/a) = V (Gp:) Vb – Va = – l / (2pe0)Ln r (Gp:) b (Gp:) a (Gp:) Vb – Va = – ò E · dl = -ò Er · dr (Gp:) b (Gp:) a (Gp:) b (Gp:) a (Gp:) Vb – Va = -l/(2peo) ò r dr (Gp:) b (Gp:) a
(Gp:) Vb – Va = – ò Er dr = -ò (KQ / r2)dr (Gp:) b (Gp:) a (Gp:) b (Gp:) a (Gp:) Vb – Va = – ò E · dl = -ò Er · dr (Gp:) b (Gp:) a (Gp:) b (Gp:) a Como Va > Vb Þ Va – Vb = KQ (1/a – 1/b) Ejemplo 4.5 Capacitancia de un capacitor esférico (Gp:) b (Gp:) -Q (Gp:) a (Gp:) +Q (Gp:) r (Gp:) b (Gp:) a Para la superficie de radio a < r < b el campo eléctrico es radial hacia fuera Para calcular el campo eléctrico a una distancia r tal que a < r < b se construye una superficie esférica de radio r La Capacitancía es C = Q / V, la diferencia de potencial V entre la esfera de radio a y la esfera de radio b se define como: (Gp:) Er = KQ / r2 (Gp:) ^ (Gp:) r Por tanto C = Q / V = Q / {KQ (b – a) / (a*b)} C = a*b / (K (b – a)) Consta de un cascaron conductor esférico de radio b y carga -Q y una esfera concéntrica conductora de radio a < b y carga +Q Va – Vb = KQ(b – a) / (a * b) (Gp:) Vb – Va = KQ (1/r) = kQ (1/b – 1/a) (Gp:) a (Gp:) b (Gp:) Vb – Va = -KQ ò (dr/r2) (Gp:) a (Gp:) b
Si se considerara la tierra como un inmenso capacitor ¿cuál sería su capacitancia considerándola como una esfera conductora aislada de radio r = 6.37*10*106 m. Ejemplo 4.6 C = r (4*p*eo) = 707 mF
Se tiene un capacitor de placas paralelas separadas una distancia de 2 cm. Si la placas son discos y la capacitancia es de 72*10-12 F = 72 PF ¿cuál es el radio de las placas? Ejemplo 4.7 C = eo A / d, entonces. A = Cd / eo como A = p r2 = Cd / eo r =Ö(Cd / (eo p)) r = 0.228 m = 22.77 cm (Gp:) + + + + (Gp:) – – – – (Gp:) d
¿cuál es la capacitancia por unidad de longitud de un capacitor cilíndrico de radio a = 5 cm y radio b = 10 cm? Ejemplo 4.8 C = 2pe0 l / Ln(b /a), entonces, C / l = 2 p e0 / Ln (b /a) C = 7.52 PF/m (Gp:) b – (Gp:) a (Gp:) l
¿cuál es la capacitancia de un capacitor esférico de radio a de 5 cm y radio b de 10 cm? Ejemplo 4.9 C = a * b / (K(b – a)) = 11.11 PF C = 11.11*10-12 F (Gp:) a (Gp:) +Q (Gp:) -Q (Gp:) b
Se tiene una batería, unos conductores, un capacitor de placas paralelas C descargado y un interruptor. Carga en un capacitor 4.5 Combinación de capacitores (Gp:) + + + (Gp:) – – – Cuando el interruptor se cierra cada placa adquiere la misma cantidad de carga Q pero de signo contrario, y una diferencia de potencial V.
(Gp:) + + + (Gp:) – – – (Gp:) – – – (Gp:) + + + Se tienen dos capacitores en serie C1 y C2, inicialmente descargados, una batería, un interruptor y unos conductores. Los dos capacitores conectados en serie tiene cargas iguales de signos opuestos. Capacitores en serie
Esto hace que el sistema se comporte como si fuera un solo capacitor. entonces V – V1 – V2 = 0 como C = Q / V reemplazando Q/C – Q1/C1 – Q2/C2 = 0. La carga en cada capacitor es la misma 1/C = 1/C1 + 1/C2 Para un circuito cerrado la suma de los potenciales es igual a cero SV = 0 Cuando se cierra el interruptor las placas de los extremos obtienen idéntica cantidad de carga pero de signo contrario, positiva a la izquierda y negativa a la derecha. las placas exteriores inducen la misma cantidad de carga de signo contrario a las placas interiores. (Gp:) + + + (Gp:) – – – (Gp:) – – – (Gp:) + + +
Para cada capacitor conectado en serie la carga es la misma Q1 = Q2 =…………… = Qi =……………… = Qn. Para un circuito de capacitores conectados en serie el voltaje de entrada es igual a la suma de los voltajes individuales V = V1 – V2 –……….. – Vi –…………………. – Vn Para un circuito con capacitores en serie el inverso de la capacitancia equivalente es igual a la suma de los inversos de cada uno de ellos 1/Ce = 1/C1 + 1/C2 + …………….. + 1/Ci +…………… + 1/Cn la capacitancia equivalente es el reciproco de la ecuación anterior, Conclusiones (Gp:) n (Gp:) i = 1 (Gp:) 1/Ce = å 1/Ci
Se tienen tres capacitores conectados en serie con una batería de 100 V. Si C1 = 30mF, C2 = 40mF, C3 = 24mF. ¿cuál es la capacitancia equivalente y cual es el voltaje en cada capacitor? Ejemplo 4.10 (Gp:) – – (Gp:) + + (Gp:) – – (Gp:) + + (Gp:) – – (Gp:) + + (Gp:) C1 (Gp:) C2 (Gp:) C3 1 / Ce = 1/ C1 + 1/ C2 + 1/ C3 ; 1 / Ce =1 / (10mF). entonces, Ce = 10 mF y Qe = V*Ce = 1000 mC = 1*10-3 C Como la carga es la misma para capacitores en serie, y Q = V* C, entonces, V1 = Q / C1 = 33.33 V V2 = Q / C2 = 25.00 V V3 = Q / C3 = 41.64 V
La carga total Qt = SQi = Q1 + Q2 Q = C*V V*Ce=V1*C1+V2*C2 V = V1 = V2 C e = C1 + C2 Cuando se cierra el interruptor los capacitores C1 y C2 conectados en paralelo tienen el mismo potencial ya que la línea ace es una equipotencial y la línea bdf hace otra equipotencial. Se tienen dos capacitores conectados en paralelo C1 y C2, inicialmente descargados, una batería, un interruptor y unos conductores. (Gp:) a (Gp:) b (Gp:) c (Gp:) d (Gp:) e (Gp:) f (Gp:) a (Gp:) b (Gp:) c (Gp:) d (Gp:) e (Gp:) f (Gp:) + + + (Gp:) + + (Gp:) – – (Gp:) – – – Capacitores en paralelo
Para un circuito de capacitores en paralelo la carga total es igual es igual a la suma de las cargas individuales Qt = SQi = Q1 + Q2 + Q3 + ……….. + Qi + …………… + Qn Para un circuito de capacitores en paralelo la capacitancia equivalente es igual a la suma de las capacitancias individuales Ce = SCi = C1 + C2 + C3 +……………… + Ci +………+ Cn Para un circuito de capacitores en paralelo el voltaje es igual para cada capacitor V1 = V2 = V3 = ………………….. = Vi = …………………. = Vn Conclusiones
Se tienen tres capacitores conectados en paralelo con una batería de 100 V .Si C1 = 1mF, C2 = 2mF, C3 = 3mF.¿cuál es la capacitancia equivalente y cual es la carga en cada capacitor?. Ejemplo 4.11 (Gp:) – – (Gp:) + + (Gp:) C1 (Gp:) – – (Gp:) + + (Gp:) C2 (Gp:) – – (Gp:) + + (Gp:) C3 La capacitancia equivalente es: Ce = C1 + C2 + C3 = 6mF Qt = VCe = 600 mC como el voltaje es el mismo en cada capacitor, y Q = VC, entonces, Q1 = VC1 = 100 mC Q2 = VC2 = 200 mC Q3 = VC3 = 300 mC
(Gp:) C1 (Gp:) C2 (Gp:) C3 (Gp:) V (Gp:) + (Gp:) + + + (Gp:) + + (Gp:) – – – (Gp:) – (Gp:) – – (Gp:) C1 (Gp:) C2 (Gp:) C3 (Gp:) V Se tiene un capacitor C1 = 1mF, en paralelo con un capacitor C2 = 2 mF, y un capacitor C3 = 6 mF en serie con los dos anteriores, conectados a una fuente de 24 Voltios ¿cuál es la carga y el voltaje en cada capacitor? Ejemplo 4.12 Como C1 y C2 están en paralelo la Capacitancía equivalente C4 = C1 + C2 C4 = 3 mF
(Gp:) C4 (Gp:) C3 (Gp:) V (Gp:) + + + (Gp:) + + + (Gp:) – – – (Gp:) – – – los capacitores C4 y C3 están en serie la capacitancia equivalente es 1/C5=1/C4+1/C3 1/C5 = 1/(3mF) + 1/(6mF) entonces, C5 = 2 mF
(Gp:) C5 (Gp:) V (Gp:) + + + (Gp:) – – – (Gp:) – – – La carga Q5 = V * C5 = 24V * 2mF = 48 mC teniendo la carga y la capacitancia equivalente, nos regresamos encontrando los voltajes y las cargas en cada capacitor
(Gp:) C4 (Gp:) C3 (Gp:) V (Gp:) + + + (Gp:) + + + (Gp:) – – – (Gp:) – – – Como la carga de capacitores en serie es la misma Q5 = Q4 = Q3 = 48 mC V4 = Q4 / C4 = 48mC / 3 mF = 16 voltios V3 = Q3 / C3 = 48mC / 6 mF = 8 voltios En un circuito cerrado la suma de los potenciales es igual a cero SV = 0 entonces 24 V – 16 V – 8 V = 0
(Gp:) C1 (Gp:) C2 (Gp:) C3 (Gp:) V (Gp:) + (Gp:) + + + (Gp:) + + (Gp:) – – – (Gp:) – (Gp:) – – V1 = V2 = V4 = 16 voltios V3 = 8 voltios Q1 = V1 * C1 = 16 mC Q2 = V2 * C2 = 32 mC Qt = Q1 + Q2 = 48 mC
(Gp:) + (Gp:) + + + (Gp:) + + (Gp:) – – – (Gp:) – (Gp:) – – 1 mF 16 V 16 mC 24 V 2 mF 16 V 32 mC 3 mF 8 V 48 mC
Entre los dos conductores de un capacitor cargado hay un campo eléctrico, y ese campo puede acelerar una carga de prueba. Así, un capacitor cargado es capaz de realizar trabajo, y debe contener energía. Una partícula positiva que se mueve en dirección contraria al campo eléctrico realiza un trabajo DW = DU Un capacitor se carga tomando una carga positiva dq, de un conductor y pasándolo al otro conductor. El primer conductor tiene una carga +dq y el segundo una carga –dq. Al continuar moviendo cargas adicionales dqi, las cargas existentes en los conductores se opondrán a la transferencia de mas carga y tenemos que efectuar un trabajo para mover cada carga adicional. 4.6 Energía almacenada en un capacitor cargado (Gp:) + (Gp:) – (Gp:) 50 VOLTIOS + + + + + + + + + + +
El trabajo total efectuado cuando iniciamos con cero cargas y terminamos con las cargas ± Q En cualquier instante la diferencia de potencial V = q / C entonces dW = Vdq = q / C dq La energía de un capacitor cargado es U = ½ Q2 / C = ½ C V2 = ½ Q V (Gp:) dW (Gp:) W (Gp:) ò (Gp:) = (Gp:) = (Gp:) (q / C) dq = ½ Q2 / C (Gp:) ò (Gp:) 0 (Gp:) Q + – (Gp:) 50 VOLTIOS
Se tienen tres capacitores conectados en serie con una batería de 100 V. Si C1 = 30mF, C2 = 40mF, C3 = 24mF. ¿cuál es la energía en cada capacitor y cual es la energía de todo el sistema?. Ejemplo 4.13 (Gp:) – – (Gp:) + + (Gp:) – – (Gp:) + + (Gp:) – – (Gp:) + + (Gp:) C1 (Gp:) C2 (Gp:) C3 1 / Ce = 1/ C1 + 1/ C2 + 1/ C3 ; 1 / Ce =1 / (10mF). entonces, Ce = 10mF y Qe = V * Ce = 1000 mC Ut = ½ Qe V = 50 mJ U1 = ½ Q12/C1 = 16.66 mJ U2 = ½ Q22/C2 = 12.5 mJ U3 = ½ Q32/C3 = 20.83 mJ Ut = U1 + U2 + U3 = 50 mJ
Se tienen tres capacitores conectados en paralelo con una batería de 100 V .Si C1 = 1mF, C2 = 2mF, C3 = 3mF.¿cuál es la energía total y cual es la energía en cada capacitor?. Ejemplo 4.14 (Gp:) – – (Gp:) + + (Gp:) C1 (Gp:) – – (Gp:) + + (Gp:) C2 (Gp:) – – (Gp:) + + (Gp:) C3 La capacitancia equivalente es: Ce = C1+C2+C3 = 6mF Qt = VCe = 600 mC Ut = ½ Qe V = 30*10-3 J U1 = ½ C1 V2 = 5*10-3 J U2 = ½ C2 V2 = 10*10-3 J U3 = ½ C3 V2 =15*10-3 J Ut = U1 + U2 + U3 = 30 mJ
Ejemplo 4.15 (Gp:) a (Gp:) b (Gp:) e (Gp:) C1 (Gp:) C2 Considérese el circuito de la figura donde C1 = 2 mF. C2 = 4 mF y e = 24 voltios. El capacitor C1 se carga primero llevando el interruptor a a, el capacitor cargado se conecta al capacitor descargado C2 pasando el interruptor a b. Calcule a) la carga inicial del capacitor C1 y su energía inicial, b) la carga final de cada capacitor, la energía final y el voltaje en cada capacitor. c) la variación de la energía. Se cierra el interruptor
(Gp:) a (Gp:) b (Gp:) e (Gp:) C1 (Gp:) C2 La carga Qt cuando se lleva el interruptor a a Qt = C1 * V = 2 mF * 24 V = 48 mC y su energía Ui = ½ Qt2 / C1 = 576 mJ
La energía de C1 es : U1 = ½ Q12 / C1 = 64 mJ La energía de C2 es : U2 = ½ Q22/ C2 = 128 mJ La energía total Uf = U1 + U2 = 192 mJ DU = Ui – Uf = 576 mJ – 192 mJ = 384 mJ Esta energía se transformo en calor o en forma de ondas electromagnéticas (Gp:) a (Gp:) b (Gp:) e (Gp:) C1 (Gp:) C2 Cuando el interruptor se lleva de a, a b, la carga Qt se redistribuye con el capacitor dos, el capacitor uno cede una carga Q al capacitor dos. La nueva carga de C1 y C2 es: Q1 = Qt – Q y de C2 es Q = Q2. Como el voltaje en paralelo es el mismo; V1 = V2 ; V1 = (Qt – Q) / C1 ; V2 = Q / C2 entonces, (Qt – Q1)/C1 = Q/C2 Q=Qt * C2 / (C1+C2) = 32 mC = Q2; Q1=Qt – Q=16 mC; V1= Q1/C1 = 8V.; V2 =Q2/C2 = 8 V
La capacitancia de un capacitor C de placas paralelas, la diferencia de potencial entre las placas de un capacitor y la energía de un capacitor cargado es: es: C = eo A / d ; V = E d ; U = ½ C V2 ; U = ½(eoA/d ) (E d )2 = ½ eo (A*d) E2 Como el volumen v = A*d, entonces, La densidad de energía o la energía por unidad de volumen es : UE = U/ v = ½ eo E2 4.7 Densidad de energía en un campo eléctrico
En un capacitor de placas paralelas las placas tienen un área de 40 cm2 y están separadas 2.5 mm. El capacitor se conecta a una batería de 24 voltios. Encuentre a) La capacitancia; b) la energía almacenada; c) el campo eléctrico; d) la densidad de energía en el campo eléctrico. Ejemplo 4.16 A = 40*10-4 m2; d = 2.5*10-3 m a) La capacitancia; C = eo A / d = 14.15 PF C = 14.15*10-12 F b) La energía almacenada; U = ½V2C = 8.15 nJ U = 8.15*10-9 J
En un capacitor de placas paralelas las placas tienen un área de 40 cm2 y están separadas 2.5 mm. El capacitor se conecta a una batería de 24 voltios. Encuentre a) La capacitancia; b) la energía almacenada; c) el campo eléctrico; d) la densidad de energía en el campo eléctrico. A = 40*10-4 m2; d = 2.5*10-3 m c) El campo eléctrico; V = Ed E = V/d = 9600 V/m d) La energía en la unidad de volumen (densidad de energía); UE = ½ eo E2 = 407.4 mJ
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