1 LEAN CON DETENIMIENTO LOS PÁRRAFOS SIGUIENTES Y NO INTENTE INTRODUCIR DATOS HASTA QUE SE LE INDIQUE: Matlab es una herramienta poderosa usada por ingenieros y científicos de todo el mundo para resolver diversos problemas que requieren cálculos complejos bajo una secuencia de instrucciones y respaldado por una compañía de software Profesional: The Math Works Inc. La parte de este taller esta orientado para que el estudiante tenga capacidad de graficar señales. Su contenido se enumera a continuación: 1.- Matrices y operadores. 2.- Funciones y comandos propios de Matlab. 3.-Graficación de señales.
Sobre las pantallas que aparecen al abrir el programa: Al abrir MATLAB normalmente aparecen tres pantallas (versión 6.0 en adelante) : 1.- La primera de la izquierda (launch pad) en donde se localizan todos los directorios y demos. 2.- La segunda abajo a la izquierda (command history) en la parte inferior donde se genera un histórico de los comandos y variables que se usan. 3.- La tercera de la derecha (command window) se considera la pantalla principal y es precisamente donde se declaran las variables y comandos de un programa en la cual se ubica el símbolo ‘»’. Ver Fig.1. 2
3 Fig. No. 1 Pantallas de MATLAB versión 6.0
4 EL INDICADOR : El símbolo “??” en la pantalla principal ( command window) nos indica que MATLAB esta esperando que introduzcamos un comando o una variable. Para salir de MATLAB cuando sea pertinente use los comandos quit o exit. ESCALAR, VECTOR Y MATRIZ: A = 2.5 Un sólo dato se denomina escalar. B = ?2.5, 6.4 ? Si una matriz tiene una sola fila o una sola columna, la llamamos vector; para ser más claros llamamos vector fila o vector columna. Matriz : -2 0 3 El tamaño de una matriz se especifica por el número de filas y C = 3 -4 5 de columnas; así, C es una matriz de 3 x 3. Un dato de una 0 0 2 matriz se puede identificar por los subíndices; así C23 representa el dato 5 de la matriz C, si una matriz contiene m filas y n columnas, entonces contiene un total de m x n valores; así, C es una matriz de tamaño 3 x 3.
5 ESTILO Matlab es sensible a la diferencia entre mayúsculas y minúsculas, así que los nombres “Espacio, ESPACIO y espacio” representan tres variables distintas. Matlab tiene la posibilidad de manejar números reales (ejem. 12.7× 10-2 se escribe 12.7 e-2 ) el número complejo de parte real 5 y parte imaginaria 2 se representa en matlab 5+2*i o como 5+j*2, las letras i y j se preasignan ambas en matlab para ser Iguales a v-1. otras constantes son pi para ?. DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ La forma más sencilla de definir una matriz es usar una lista de números, como : A = [4.5] B = [1.6, 3.1] C = [-2,0,3; 3,-4,5; 0,0,2]
6 PUNTOS SUSPENSIVOS Si hay demasiados números en una fila de una matriz para que quepan en una línea, podemos continuar la instrucción en la siguiente línea, pero se requiere una coma y tres puntos al final de la línea para indicar que la fila debe continuar. Ejemplo: H = [-2,0,-3,4,-3,-4,5,0,0,2,1,1,1,3,4,-0.2] que se puede escribir como: H = [-2,0,-3,4,-3,-4,… 5,0,0,2,1,1,1,3,4,-0.2] MATLAB también nos permite definir una matriz que ya se definió: Ejemplo: B =[1.5, 4.1] D = [-3, B] este comando equivale a D = [-3,1.5,4.1]
7 También podemos modificar los valores de una matriz o agregar valores adicionales usando una referencia a un lugar específico. Por ejemplo: D(3) = 6 ; Cambia el tercer valor de la matriz D del valor 4.1 por 6, para quedar como: D = [-3,1.5,6] Así también logramos extender una matriz definiendo nuevos elementos. Si ejecutamos el siguiente comando D(4) = 2.5 ; La matriz D tendrá cuatro valores en lugar de tres, así D se verá como D = [-3, 1.5, 6, 2.5]; El punto y coma ; termina la instrucción y oculta la exhibición del resultado de la operación. Teclee D = [-3, 1.5, 6, 2.5] ahora Teclee D = [-3, 1.5, 6, 2.5];
8 AHORA SI EMPIECE A TECLEAR DATOS Y COMANDOS DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SÓLO TECLEA LOS VECTORES NO ESCRIBAS EL COMENTARIO % El punto y coma ; termina la instrucción y oculta la exhibición del resultado de la operación. Teclee D = [-3, 1.5, 6, 2.5] ahora Teclee D = [-3, 1.5, 6, 2. B = [ 2; 4; 6; 10] % DEFINE UN VECTOR COLUMNA. C = [ 5, 3, 5 ; 6, 2, –3 ] % DEFINE UNA MATRIZ 2 x 3. E = [ 3, 5, 10, 0; 0, 0 , … 0, 3; 3, 9, 9, 8 ] % COMA Y TRES PUNTOS PARA CONTINUAR UNA LINEA. T = [ 4, 24, 9 ] Q = [ T, 0, T ] % INTERCALA UN VALOR DE CERO ENTRE DOS VECTORES. V = [ C ( 2, 1); B ] % DE LA MATRIZ C SELECCIONA EL VALOR (m, n) Y LO AGREGA AL VECTOR B. A (2, 1) = – 3 % CREA UNA MATRIZ LLAMADA A Y LE ASIGNA EL VALOR DE –3 EN (m, n)
9 Lee los siguientes comentarios y prueba su validez: El operador de dos puntos es útil para generar matrices nuevas; Si se usa un signo de dos puntos para separar dos enteros, el operador de dos puntos generara todos los enteros entre los dos enteros especificados. tecleé: n = 1 : 10 % Este operador es especialmente útil para generar los índices de tiempo de una señal de tiempo discreto. También se usan los signos de dos puntos para separar tres números, el operador de dos puntos generará valores entre el primer número y el tercero, usando el segundo número como incremento: tecleé: t = 0.0:0.5:6.0 % este operador es especialmente útil para generar los índices de tiempo continuo o un dominio de una función analógica. El incremento también puede ser negativo tecleé: r = 15:-1:0
10 EN LO SUSECIVO TRATE EN CADA EJEMPLO DONDE LO CREA ADECUADO DE PROBAR LA AUTENTICIDAD DE LOS COMANDOS Funciones especiales para generar matrices nuevas. La función size devuelve dos argumentos escalares que representan el número de filas y el número de columnas, podemos usar size para generar una matriz de ceros que tenga el mismo tamaño que la otra matriz ejemplo: Tecleé W = [ 4, 3, 2; 4, 6, 3 ]; F= zeros(size ( W ) ) La función ones genera una matriz que solo contiene unos. Tecleé C= [1, 2, 3; 4, 2, 5]; D = ones(size(C)) Algunas ocaciónes es necesario conocer que variables se hallan definidas y que valores tienen almcenados el comando who lleva a cabo esta acción: Tecleé who Si desea dejar una variable sin definición (sacarla de la lista ) se utiliza el comando: clear.
11 Operaciones con escalares , vectores y matrices: Los operadores matemáticos incorporados que se utilizan con frecuencia en matlab son:
Tecleé el enunciado de asignación siguiente; a=3; b=[2,6,4]; c=[4,10, 2]; los vectores y matrices pueden multiplicarse por un escalar: tecleé: a*b ans es el nombre dado a un resultado cuando el usuario no le asigna un nombre. Un escalar puede sumarse a un vector o matriz: tecleé: a+c La suma de un escalar a un vector o matriz sólo añade el escalar a cada elemento del vector o matriz la resta se define de manera similar: tecleé: a-b 12
13 Los vectores y matrices se suman (o restan) como lo hacemos en matemáticas, esto es, los dos vectores o matrices deben tener la misma forma para sumarse o restarse a menos que uno de ellos sea un matriz de 1*1, un escalar, como lo vimos antes : tecleé: b+c c-b Los vectores y las matrices se multiplican de acuerdo a las reglas del álgebra: tecleé: b*c Este resultado ilustra un error común en Matlab. Las matrices deben ser conmensurables para ser multiplicadas utilizando el operador *. La premultiplicación de un vector renglón de 1 por 3 como c por un vector renglón de 1 por 3 como b no esta definida. Sin embargo si c se transpusiera a un vector columna 3 por 1, se definiría la multiplicación. La transposición se efectúa con el operador ‘. tecleé: c’ b*c’
14 Operaciones elemento por elemento: A menudo es muy útil multiplicar dos vectores o matrices de la misma forma, elemento por elemento en vez de utilizar las reglas usuales de la multiplicación de matrices. Ese tipo de multiplicación se denomina multiplicación del arreglo en Matlab y se lleva a cabo utilizando el operador .* Las operaciones elemento por elemento, u operaciones de arreglos, no sólo se aplican a operaciones entre dos matrices del mismo tamaño, si no también a operaciones entre un escalar y un no escalar. Así pruebe las instrucciones de cada uno de los siguientes juegos: tecleé: A = [ 4, 3, 2, 4, 6 ]; C = 3.*A G = A./5 Las vectores resultantes C y G tendrán el mismo tamaño que A.
15 A fin de ilustrar las operaciones de arreglos para vectores, considere los dos siguientes vectores fila: Tecleé: B = [ -6, 3, -2, 4, 6 ]; Calculemos el producto de arreglos de A y B usando las siguientes instrucciones: Tecleé: L = A.*B El comando de división de arreglos, Tecleé: F=A./B Asimismo la exponenciación de arreglos también es una operación elemento por elemento ejemplos; Tecleé: Z = A.^2 M = A.^B También podemos usar una base escalar con un exponente vector como; P= 3.^A
16 Los ejemplos anteriores utilizaron vectores, pero las mismas reglas se aplican a matrices con filas y columnas, como lo podrás constatar declarando la matriz ‘d’ ejecutando las operaciones indicadas: d= [ 1:6; -1:-1:-6 ]; f=d.*6 w=d.^2 GRAFICA X vs. Y: Gráficas x vs. y sencillas. Suponga que queremos graficar los siguientes datos recabados de un experimento con un modelo de coche de control remoto. El experimento se repite 10 veces, midiendo la distancia que un móvil recorre en cada ensayo. (x) “Ensayo” (y) “Distancia” 1 58.5 2 63.8 3 64.2 4 67.3 5 71.5 6 88.3 7 90.1 8 90.6 9 89.5 10 90.4
17 Pruebe generar esta gráfica: creando un vector llamado x con los datos de la columna “Ensayo”, y un vector llamado y con los datos de la columna “Distancia” y en seguida teclee : plot (x, y), grid y de enter Se genera automáticamente la gráfica. “La buena práctica de ingeniería exige la inclusión de unidades y un titulo” Por lo tanto en el código anterior incluya los siguientes comandos: plot(x,y), title (‘Gráfica de experimento’), xlabel ( ‘Ensayo’), ylabel (‘Distancia’), grid Si se agrega un tercer argumento en el comando plot éste controla el color y el estilo de la gráfica. Es una cadena la que determina el color de la línea, estilo de la misma y los símbolos (si los hay ) utilizado para los puntos de marca, por tanto intente dar elegancia a su grafica anterior agregando al comando plot: plot (x,y,’ro’), grid
18 LISTA DE CARACTERES COLOR MARCADOR ESTILO DE LINEA y amarillo . punto – continua m magenta o circulo : punteada c cyan x marca x -. guión-punto r rojo + más — guionada g verde * asterisco b azul s cuadrado w blanco d diamante k negro v triangulo(hacia abajo) ^ triangulo (hacia arriba)
19 Los archivos .m o archivos .M Este tipo de archivo es de lo más importe que se puede generar por el usuario en MATLAB, es un archivo que ejecuta las instrucciones programadas en él, y que pueden convertirse en un comando de matlab. Ahora tu crearas un archivo .m Desde la ventana de matlab selecciona new, M-file Aparecerá un blok de notas dentro de él, declara las siguientes variables: Tecleé: t =[0:0.001:2]; % Este vector se puede también generar con: linspace(0,0.001,2). m = 2; y = m .*t; plot(t, y, 'r', ‘linewidth’,4),grid %´linewidth´, 4 : te da el grueso de la linea. Después guarda este código en el mismo blok de notas en la parte superior ( file save en el drive e: pendiente.m si es memoria USB) con el nombre pendiente.m, esté nombre de archivo se convierte en un comando de Matlab con el nombre pendiente. Ejecútalo en la pantalla de comandos llamándolo sólo con su nombre “pendiente” sin la extensión.m (antes de llamarlo recuerda cambiarte de directorio del C: al e: con la instrucción cd e: si es el caso) . Este archivo .m puedes llevarlo a otra computadora que tenga el programa matlab y ejecutarlo .
MATLAB provee excelentes funciones para gráficas en una y dos dimensiones. Veamos un par de ejemplos sencillos. Suponga que queremos trazar la gráfica de la función y=t^2*e(-t.^2); Esto lo podemos lograr con las instrucciones: Tecleé: t=[-10:.1:10]; % La primera instrucción divide el intervalo [-10,10]en subintervalos de largo 0.1 y=t .^2 .*exp(-t.^2); % Esta línea evalúa la función en los puntos. plot(t,y,'linewidth',4),grid % Grafica la función. 20
Supongamos ahora que queremos dibujar una superficie: Tecleé: x=-10:0.5:10; %Las primeras dos instrucciones dividen los ejes de “x" y "y" en subintervalos de largo 0.5. y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); %la tercera instrucción genera una rejilla en el conjunto [-10,10] x [-10,10] con cuadraditos de lados 0.5 , Z=X.^2.*exp(-Y.^2); % La cuarta instrucción evalúa la función en los puntos de la rejilla, y finalmente trazamos la superficie con surf. surf(X,Y,Z),title('Grafica de superficie') 21
22 GRAFICAS LINEALES Y LOGARÍTMICAS: La mayor parte de las gráficas que generamos dan por hecho que los ejes x vs. y se dividen en intervalos equiespaciados; estas gráficas se llaman gráficas lineales. Una escala logarítmica (de base 10) es útil cuando una variable abarca varios órdenes de magnitud. Los comandos MATLAB para generar gráficas lineales y logarítmicas de los vectores x y y son los siguientes plot (x,y) Genera una gráfica lineal con los valores de x y y. semilogx (x,y) Genera una gráfica de los valores de x y y usando una escala logarítmica para x y una escala lineal para y. semilogy (x,y) Genera una gráfica de los valores de x y y usando una escala lineal para x y una escala logarítmica para y. loglog (x,y) Genera una gráfica de los valores de x y y usando escalas logarítmicas tanto para x como para y. Más adelante se verá como utilizar estos comandos (tarea código No.2)
23 GRAFICAS MULTIPLES: Una forma sencilla de generar curvas múltiples en la misma gráfica es usar múltiples argumentos en un comando de graficación, como en Plot (x, t, y ,t) Al ejecutarse este programa, se traza la curva correspondiente a x versus t, y luego se traza en la misma grafica la curva correspondiente y versus t. Más adelante se verá como utilizar estos comandos ( tarea código 3). Tarea: Comenta (con %) los comandos en los siguientes tres códigos, usa archivos .M, imprime tus graficas y preséntalos al maestro del curso son parte de la evaluación del mismo.
24 Código No.1 v1=[0:0.001:.7979]; w1=298; q=1.6022e-19; n=1.5; k=1.38e-23; num1=q.*v1; den1=n*k*w1; M1=num1./den1; x1=1e-9.*exp(M1); v2=[0:0.0001:.6379]; w2=358; num2=q.*v2; en2=n*k*w2; M2=num2./den2; x2=1024e-9.*exp(M2); plot(v1,x1,'b',v2,x2,'r'), title('ECUACION DEL DIODO'), legend('TEMPERATURA 298k', 'TEMPERATURA 358k'), grid
25 SUBGRÁFICAS: El comando subplot permite dividir la ventana de gráficos en subventanas. Las posibles divisiones pueden ser dos subventanas o cuatro subventanas o incluso 8 ventanas en una hoja.. Los argumentos del comando subplot son tres enteros: (m, n, p). Los dígitos m y n especifican que la ventana de gráficos se divida en una retícula de m por n ventanas más pequeñas, y el digito p especifica la p-ésima ventana para la gráfica actual ( donde se ubica esta grafica) . Las ventanas se numeran de izquierda a derecha y de arriba abajo. Por ejemplo el siguiente comando Subplot(2,1,1), plot(x,y) especifica que la ventana de gráficos se divida en una grafica superior y una inferior ( dos líneas de graficas en una columna ) y que la grafica actual plot(x,y) se coloque en la ventana superior (código No.2). El siguiente juego de instrucciones genera cuatro graficas que ilustran la función del comando subplot empleando escalas lineales y logarítmica.
26 Código No. 2 t=[0:0.001:1]; f=2; w=2*pi*f; x=((1/2).*(1+cos(2*w.*t))); subplot(2,2,1),plot(t,x,'r','linewidth',2),grid,… subplot(2,2,2),semilogx(t,x,'b','linewidth',2),grid,… subplot(2,2,3),semilogy(t,x,'r','linewidth',2),grid,… subplot(2,2,4),loglog(t,x,'b','linewidth',2),grid Código No. 3 t=[-6*pi:.001:6*pi]; w1=2/3; w2=1/2; w3=1/3; x1=2.*sin(w1.*t); x2=3.*sin(w2.*t); x3=4.*sin(w3.*t); plot(t,x1,'b',t,x2,'r',t,x3,'k','linewidth',2),title('Cada senoide completa un numero entero de ciclos'),grid
Código No. 3 t=[-6*pi:.001:6*pi]; w1=2/3; w2=1/2; w3=1/3; x1=2.*sin(w1.*t); x2=3.*sin(w2.*t); x3=4.*sin(w3.*t); plot(t,x1,'b',t,x2,'r',t,x3,'k','linewidth',2),title('Cada senoide completa un número entero de ciclos'),grid 27
Código No.4 t=0:.001:1; x=2*sin(8*pi*t); plot(t,x,'r','linewidth',2),grid n=0:1:15; y=2*sin(8*pi*(1/15)*n); subplot(2,1,1),plot(t,x,'r','linewidth',3),grid,subplot(2,1,2),stem(n,y,'linewidth',3),grid 28
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Intenta crear una grafica usando el ciclo for Teleé t=[-1:.005:1]; f=1; w0=2*pi*f; x=1.5*ones(size(t)); for i=1:100; x=x+((-1)^(i+1))*(1/i)*sin(i*w0.*t); end plot(t,x,'r','linewidth',2), grid 30
Una más t=[-2:0.001:2]; x=0.25*ones(size(t)); for m=1:2:99 x=x+(-1)^((m-1)/2)*1/(m*pi)*exp(i*m*pi*t); end plot(t,x,'r','linewidth',2),grid Saca tus conclusiones 31