TI Voyage 200 13 Fermí Vilà
[APPS] – Cabri Geometry
[F3]: Circle Para dibujar la circunferencia: 1º) Polígono inscrito de 4 lados:
[F2]: Point on Object Para determinar un punto de la circunferencia: [F2]: Line Para dibujar la línea que nos determinará dos vértices opuestos del cuadrado: [F2]: Intersection Point Para “marcar” dos vértices opuestos: [F4]: Perpendicular Line Para determinar la otra diagonal del cuadrado:
Fermí Vilà TI Voyage 200 14 [F2]: Intersection Point Para determinar los otros dos vértices: [F2]: Segment Para dibujar el cuadrado: [F7]: Hide / Show Para esconder las dos diagonales: Vamos a determinar el perímetro del polígono de 4 lados, pero considerando el siguiente triángulo rectángulo:
[F2]: Segment Para dibujar el radio: [F4]: Perpendicular Line Queremos determinar la apotema: [F2]: Intersection Point Para determinar el pie de la apotema:
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[F7]: Hide / Show Esconde la perpendicular: [F2]: Segment Dibuja la apotema: [F6]: Distance & Length Para determinar la longitud de la circunferencia:
Observa el triángulo rectángulo dibujado: sin?45º?=sin? 360 8 ?= l 2 d 2 = l d Es decir: l=dsin? 360 8 ? Perímetro del polígono inscrito de n = 4 lados = 4l=4d sin? 360 8 ? En efecto:
[F6]: Distance & Length Para determinar l/2 y d/2:
TI Voyage 200 16 Fermí Vilà
[F6]:Angle Para determinar el ángulo: [F6]: Calculate Para calcular el perímetro: 4dsin? 360 8 ?=8 d 2 sin? 360 8 ? De momento, la aproximación es, como es lógico, bastante mala, pero observa: Si n = 4 p=4d sin? 360 8 ? siendo “p” el perímetro del polígono inscrito y “d” el diámetro de la circunferencia.
2º) Polígono inscrito de 8 lados: (Basta considerar uno de los triángulos rectángulos):
Aver si lo consigues:
Fermí Vilà TI Voyage 200 17 Tenemos: p=8d sin? 360 16 ? Está claro que obtenemos una aproximación mejor.
TI Voyage 200 18 Fermí Vilà
3º) Polígono inscrito de 16 lados Tenemos, n= 16 p=16d sin? 360 32 ? Está claro que obtenemos una aproximación mejor.
En definitiva: Si n = 4
Si n = 8 entonces
entonces p4=4d sin?
p8=8d sin? 360 8 360 16 ?=?d por lo tanto ?=4sin?
?=?d por lo tanto ?=8sin? 360 8 360 16 ?
? Si n = 16 entonces p16=16d sin? 360 32 ?=?d por lo tanto ?=16sin? 360 32 ?
n=2 n=2 ?=2 sin? 2 360 ?=2 sin? 4 ? ?=2 sin? 4 360 Fermí Vilà TI Voyage 200 19 Calculemos la aproximación a p según el método deArquímedes, para el polígono inscrito de 16 lados:
[F6]: Calculate No es demasiado buena la aproximación a p, ¿verdad? ? = 3.12 Pero ten en cuenta que hemos llegado a un polígono de 16 lados yArquímedes llegó hasta el polígono de 96 lados.
Vamos a ver si nosotros llegamos más lejos, utilizando su método (para el caso de polígonos inscritos) y la ¡TI – Voyage 200!
En definitiva, hemos descubierto: Si
Si
Si n=22
3
4 entonces:
entonces:
entonces: 23 3 360 2
25 ?
? En general: n entonces: ?=2nsin? 360 2n?1 ?
TI Voyage 200 20 Fermí Vilà
En primer lugar:
[MODE] Graph = SEQUENCE Display Digits = FLOAT 12 Angle = DEGREE [APPS] – Y= Editor Para definir la sucesión: [APPS] – Home Escribe: Edita el valor de p calculado: Tenemos el valor de p con 13 decimales exactos: 3,1415926535897
[APPS] – [TABLE] Para visualizar los diferentes valores de la sucesión:
? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Fermí Vilà TI Voyage 200 21 Tsu Chung Chi (480 d.C)
El astrónomo chino Tsu Chung Chi consigue la mejor aproximación de p, durante todo un milenio: ?= 355 113 p = 3,141592 valor de p con 6 cifras decimales exactas. Resultado que permanecerá imbatible durante más de un milenio.
Françoise Vieta (1540 – 1603)
Determina el valor de p, como el producto infinito: 2 ? = ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 … [APPS] – Y = Editor Considera la sucesión: [APPS] – Home Para acceder al operador producto: [MATH] Calculus 5: ?( producto
Escribe:
Con la fórmula: ?=16arctan? ?-4arctan? Fermí Vilà TI Voyage 200 22 Para determinar el valor de p, escribe: Tenemos el valor de p ( con n = 10), con 5 decimales exactos: Valor de p con n = 30 y un poco de paciencia: 12 decimales exactos: 1 5 1 239 ? determina el valor de p con las 100 John Machin (1706)
primeras cifras decimales exactas.
[MODE] Angle = RADIAN
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Escribe: Aproximadamente: 12 decimales exactos con nuestra TI – Voyage 200: Lambert (1728 – 1777)
Matemático alemán demuestra que p es irracional, es decir el valor verdadero de p solamente se puede expresar como una serie infinita de decimales en los que no hay ningún posible período que se repita.
Ferdinand Lindemann (1852 – 1939)
Demuestra que p no es construible al ser un número transcendente (no es solución de ninguna ecuación algebraica). De forma que queda demostrada la imposibilidad de resolver el problema de la “Cuadratura del Círculo”
Una vez demostrada la imposibilidad de obtener p de forma exacta mediante procedimientos geométricos (uso de la regla y el compás), se desarrollaron varios métodos aproximados, uno de ellos es el siguiente:
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MÉTODO DE KOCHANSKI
[APPS] – Cabri Geometry
[F3]: Circle Para dibujar una circunferencia: [F2]: Point on Object Para determinar un punto de la circunferencia: [F2]: Segment Para dibujar un radio [F7]: Numerical Edit Para introducir 60º: [F5]: Rotation Para girar 60º el radio de la circunferencia:
TI Voyage 200 25 Fermí Vilà
[F2]: Segment Para acabar de dibujar el triángulo equilátero: [F4]: Perpendicular Bisector Para dibujar la perpendicular: [F2]: Intersection Point Para determinar las intersecciones con la circunferencia: [F4]: Perpendicular Line Para dibujar la perpendicular: [F2]: Line Para prolongar la línea: [F2]: Intersection Point Para determinar el puntoA:
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[F6]: Distance & Length Para calcular el radio: [F4]: Measurement Transfer Para “transferir” el radio en la recta de origen A:
[F4]: Measurement Transfer Para transferir 2 veces más el radio a continuación, y determinar el punto B: [F7]: Label Para “marcar” el punto C: [F2]: Segment Para dibujar el segmento BC:
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[F6]: Distance & Length Para calcular BC: Según Kochanski, p es el cociente entre la longitud del segmento BC y el radio:
[F6]: Calculate En realidad p = 3,141533
John Von Newmann (1942)
Apartir del 1942, el problemas de hallar cifras decimales para p pasa de ser matemático a informático, en efecto: John Von Newmann, padre de la informática, el 1942, utilizando la computadora electrónica ENIAC generó 2.037 decimales de p en 70 horas.
2004
Un superordenador Hitachi, en 500 horas encuentra 1,3511 billones de decimales de p.
¿Pero, necesitamos tantos decimales para p?
Si consideramos una circunferencia que abarque todo el universo conocido (radio = 40000000000 años luz), y calculamos su longitud utilizando p con 35 decimales exactos, haremos un error de dos millonésimos de centímetro.
Utilizando el valor de p, con 6 decimales exactos, podemos hacer cualquier cálculo ( ¡que no sobrepase las dimensiones del Sistema Solar !), con un error miserable.
Actualmente el hecho de determinar muchos decimales de p sirve solamente para poner a prueba la capacidad de cálculo de los nuevos ordenadores (número de decimales exactos de p y el tiempo necesario para calcularlos).
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