Anualidades ordinarias y anticipadas

Introducción

Una interesante introducción a este capitulo puede lograrse con la solución del siguiente ejemplo:

Ejemplo 1

Una persona compra un terreno cuyo valor, al contado, es de 2 millones. Si le dan la facilidad para pagarlo en 4 cuotas trimestrales de $R c/u, que se efectuarán a final de cada trimestre y, además se le cargaría un interés del 40% CT ,hallar el valor de la cuota trimestral de amortización.

Solución.

Primero construimos un dibujo que muestre las fechas, el valor de la deuda y el valor de los pagos (esto también se conoce con el nombre de flujo de caja). Puesto que la tasa tiene efectividad trimestral y los pagos son trimestrales usaremos el trimestre como período.

Si planteamos la ecuación de valor poniendo la fecha focal en cero nos quedaría la ecuación así:

2000000= R(1+0.1)-1 + R(1+0.1)-2 + R(1+0.1)-3 + R(1+0.1)-4 Factorizando R se tendrá:

2000000= R[(1.1)-1 +(1.1)-2 + (1.1)-3 + (1.1)-4] 2000000= R[3.169865] R= $ 630941.61

Si hubiésemos planteado la ecuación de valor con la fecha focal al final nos habría quedado así:

2000000(1.1)4= R[(1+0.1)0 + (1+0.1)1 + (1+0.1)2 + (1+0.1)3]

Factorizando se tiene:

2929200= R[4.641] R=$630941.61 Se observa a primera vista que la ecuación tiene una presentación muy distinta pero resultado final es el mismo.

El problema anterior no presentó dificultades para resolverlo, pero, si el número de pagos hubiese aumentado considerablemente, la solución no hubiese sido tan sencilla, como en el caso de pagar una deuda mediante pago mensuales, durante veinte años. La solución de este problema ha dado origen a un modelo matemático llamado anualidad. Antes de entrar a estudiar las anualidades daremos algunas definiciones.

Renta

Es el pago periódico de igual valor que corresponde a los $R del ejemplo anterior. A la renta también se le conoce como: cuota, depósito, retiro o pago, según sea el caso.

Periodo de renta Es el tiempo que transcurre entre dos pagos periódicos consecutivos.

Anualidad

Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones: 1. Todos los pagos son de igual valor. 2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo 3. A todos los pagos se le aplica la misma tasa de interés 4. El número de pagos es igual al número de periodos Las condiciones anteriores obedecen a ciertas normas y tienen algunas implicaciones, por ejemplo, la primera condición es indispensable para poder factorizar tal como se hizo cuando se plantearon las ecuaciones de valor del ejemplo 1. La segunda condición establece que los pagos deben hacerse a iguales intervalo de tiempo, esto es necesario para que los exponentes sea ascendentes o descendentes tal como se ve en las ecuaciones del ejemplo anterior aún si los pagos son trimestrales, o anuales y sin embargo a las series se les sigue dominando anualidad. La tercera condición establece que todos los pagos deben ser llevados a valor presente o a valor final, según sea el caso, a la misma tasa de interés. Esto nos garantiza que todos los términos dentro del paréntesis angular tienen la misma base, por lo tanto, la serie que esta dentro del paréntesis angular forma una progresión geométrica.

La cuarta condición establece que el número de pagos debe ser igual al número de periodos. Por lo tanto la serie que se muestra en la siguiente gráfica no representa una anualidad porque tiene tres pagos y sólo hay dos períodos.

Para que la gráfica anterior represente una anualidad bien conformada que es necesario agregar la un periodo que bien puede quedar al principio o al final. En el primer caso se tendrá:

La anualidad así conformada recibe en nombre de anualidad ordinaria o anualidad vencida que viene a ser aquella en que los pagos se efectúan al final del período por ejemplo pago de los sueldos de un empleado (primero viene el período de trabajo y después viene el pago)

En el segundo caso se tendrá:

La anualidad así conformada recibe el nombre de Anualidad anticipada por que los pagos se efectúan al principio del período por ejemplo el pago mensual del arriendo de una casa (primero paga y después tiene derecho a ocupar la casa durante el mes que pago).

El siguiente dibujo no representa una anualidad por qué hay tres pagos y hay cuatro períodos.

Claramente puede observarse que cuando se inicia el dibujo con pago y se termina con pago, como ocurre en la gráfica 1, no hay una anualidad bien conformada y cuando el dibujo inicia con un período y termina con un período, como en el caso de la gráfica 4, tampoco hay una anualidad bien conformada. Las gráficas dos y tres si representan anualidades bien conformadas y tienen una característica en común, que su inicio y fin son diferentes, en la gráfica 2 se inicia con período y se termina con pago y en la gráfica tres inicia con pago y se termina con período. En conclusión para que una anualidad esté bien conformada su inició y fin deben ser diferentes.

Plazo de una anualidad El tiempo que transcurre entre el inicio del primer período y el final del último período se denomina el plazo de una anualidad y se representa por n. Una anualidad tienes dos valores el valor final y el valor presente en el primer caso, todos los pagos son trasladados al final de la anualidad y en el segundo caso todos los pagos son trasladados al principio de la anualidad.

Valor final Hagamos los cálculos para hallar el valor final de una anualidad ordinaria. El valor final puede ser representado de dos maneras:

La primera usando la notación tradicional:

(F/A,n,i%) Donde F significa un valor final, A significa que se trata de una anualidad, n indica el número de pagos de la anualidad y la i% significa la tasa a la cual todos los pagos son trasladados al valor final.

La segunda forma de representación es con la notación actuarial: Sn( i Donde la S significa valor final, la n (cantidad que se escribe dentro del ángulo) indica el número de pagos y la i indica la tasa a la cual serán llevados todos los pagos a valor final. Debido a que la notación actuarial es más condensada les sugerimos al lector que utilice esta forma.

Ahora procederemos a calcular el valor final de una anualidad. No se pierde generalidad si suponemos que la renta es de $1 pues como se puede apreciar (reproducimos la ecuación del ejemplo 1 después de factorizar la R) 2000000= R[(1.1)-1 +(1.1)-2 + (1.1)-3 + (1.1)-4] Lo que esta dentro del paréntesis angular es el valor de $1 en un período, seguido del valor presente de $1 en dos períodos y así sucesivamente hasta llegar al valor presente de $1 en 4 períodos.

En forma general se tendrá:

Para plantear la ecuación de valor como fecha focal en n trasladamos cada uno de los pagos de $1 a valor final usando la ecuación del interés compuesto S=P(1+i))n a cada pago, pero en cada caso, P=1. El pago que está en 1 se traslada por n-1 periodos, el que está en 2 se traslada por n-2 y así sucesivamente hasta llegar al pago n el cual no se traslada por estar en la fecha focal entonces:

[1] Sn( i = 1 + (1+i) + (1+i)2 +……+(1+i)n-1 Si la ecuación [1] la multiplicamos por (1+i) obtenemos la ecuación [2] entonces:

[2] Sn( i (1+i) = (1+i) + (1+i)2 +……+(1+i)n Substrayendo la ecuación [1] de la ecuación [2], tenemos la ecuación [3]:

Sn( i (1+i) = (1+i) + (1+i)2 +……+(1+i)n Sn( i = 1 + (1+i) + (1+i)2 +……+(1+i)n-1 ———————————————————————– [3]

Sn( i (1+i) – Sn( i= (1+i)n-1 Factorizando Sn( i se tiene la ecuación [4] Sn( i (i) – Sn( i= (1+i)n-1 Finalmente despejando Sn( i se tiene la ecuación [ 5]

Valor presente

El caso del valor presente lo representaremos por an( i en la notación actuarial y por (P/A,n,i%) en la notación tradicional y significará el valor presente de una anualidad de n pagos puestos en valor presente a la tasa i%.

La fórmula se obtiene al plantear la ecuación de valor con fecha focal al principio y trasladando todos los pagos a valor presente a la tasa i (nuevamente, no se pierde generalidad si se supone que todos los pagos son de $1)

(P/A,n,i%) = an( i = (1+i)-1 + (1+i)-2 + … + (1+i)-n

Para simplificar esta ecuación, podría seguirse un procedimiento similar al, realizado para el valor final; sin embargo el camino más corto consiste en actualizar el valor final an( i = Sn( i(1+i)-n si reemplazamos Sn( i por su equivalente

se tiene:

De donde se concluye que:

Las fórmulas anteriores fueron deducidas para una renta de $1 pero si la renta hubiese sido de $R, el valor final VF o el valor presente VP hubiese sido R veces mayor. Por tanto podemos escribir:

VF = R Sn( i y también VP = R an( i

Ejemplo 2 Un documento estipula pagos trimestrales de $80.000, durante 6 años.

Si este documento se cancela con un solo pago de:

• a. $A al principio o,

• b. $S al final, con una tasa del 32% CT.

Solución:

El número de pagos es n = 4 x 6 = 24 , R = -$80.000 i= 32/4 = 8% efectivo trimestral

a)-

b)-

Ejemplo 3

Una persona empieza el día primero de julio de 1986 a hacer depósitos de $1.000 mensualmente el día primero de cada mes. Estos depósitos son efectuados en una entidad financiera que le paga el 24% CM; pero, a partir del primero de octubre de 1987, decidió que de ahí en adelante, sus depósitos serían de $2.500. El último depósito lo hizo el primero de agosto de 1.989. Si el primero de diciembre de 1989 decide cancelar la cuenta. Cuál será el monto de sus ahorros? Solución:

Observemos que hay 2 anualidades: la de renta de $1.000 y la de renta de $2,500. La primera anualidad empieza el 1-6-86 (primero de junio de 1986) y termina el 1-9-87 (primero de septiembre de 1987) y la segunda anualidad empieza el 1-9-87 y termina el 1-8-89. De ésta forma la primera anualidad tendrá 15 períodos y su valor final deberá ser trasladado por 27 períodos para llevarlo a la fecha focal (desde el 1-9-87 hasta el 1-12-89). La segunda anualidad tendrá 23 períodos y su valor final lo debemos trasladar por 4 períodos y así la ecuación de valor será:

1000S15(2%(1.02)27 + 2.500 S23(2%(1.02)4 = X De donde se obtiene que: X = $107.574.69 Comentario: Al cambiar de posición la fecha focal por ejemplo: si en lugar de ponerla al final la hubiéramos puesto al principio la respuesta no varía, aunque a primera vista la ecuación de valor es muy distinta, porque en vez de usar Sn( i hubiéramos podido utilizar an( i, el uso de los factores anteriores depende de la posición de la fecha focal.

Ejemplo 4

Una deuda de $50.000 se va a cancelar mediante 12 pagos uniformes de $R. Con una tasa del 2% efectivo para el período, hallar el valor de la cuota R situando:

• a. la fecha focal el día de hoy y

• b. poniendo la fecha focal en 12 meses

Solución:

En este caso se usa an( i porque todo el flujo de caja debe ser puesto al principio que es donde está la fecha focal y la ecuación de valor quedará así:

50.000 = R a12( 2% de donde R = $4.727.98 b.

En este caso puede usarse Sn( i porque todo el flujo de caja debe ser puesto en el punto 12 que es donde está la fecha focal, pero la deuda de los $50.000 sigue en 0 lo cual implica que deberá ser trasladada a valor final con todos los pagos, entonces la ecuación quedará así:

50.000(1.02)12 = R S12( 2% y vuelve a dar R = $4.727.98

Anualidades anticipadas

Como ya dijimos, una anualidad anticipada es aquella en que los pagos se hacen al principio del período. El valor presente y el valor final se representarán respectivamente por:

.. än( i y Sn( i o por (P/Ä, n, i%) y (F,/Ä, n, i%) Los dos puntos o diéresis indican que es anticipado Existen relaciones entre las anualidades ordinarias y las anualidades anticipadas, las cuales podrán ser deducidas del análisis de las siguientes gráficas:

• a. Para facilitar el planteamiento de la ecuación de valor comenzamos con el pago que está en n, siguiendo con el que está en n-1 y así sucesivamente hasta llegar al pago situado en 1, entonces para valor final con anualidad ordinaria la ecuación de valor quedará así:

Sn( i = 1 + (1+i) + (1+i)2 + … + (1+i)n

Para la anualidad anticipada en valor final, la gráfica del flujo de caja quedará así:

Observe que en este caso hemos usado una doble numeración la que está encima de la línea de tiempo indica el número del pago, mientras que la que se encuentra debajo de la línea de tiempo señala los períodos y así en el período 0 que es el comienzo del primer período se está haciendo el pago número 1 en el período 1 que es el final del primer período pero a su vez es el comienzo del segundo período y por eso se realiza el segundo pago y así sucesivamente hasta que lleguemos al punto n – 1 debajo de la línea de tiempo que representa el final del período n – 1 pero también es el comienzo del período n y por tanto ahí debe estar el pago n y su ecuación de valor será:

.. Sn( i =(1+i)1 + (1+i)2+…..(1+i)n-1 + (1+i)n La diferencia entre las dos anualidades estriba en que la serie de la anualidad ordinaria empieza con 1 termina con (1+i)n-1 , en cambio, la serie de la anualidad anticipada comienza con (1+i) y termina con (1+i)n . Si a la serie anticipada se le agrega un 1 y se le resta al final y, si además, le introducimos el paréntesis angular, el resultado no se altera.

.. Sn( i =[1+(1+i) + (1+i)2+ (1+i)3…..(1+i)n-1] + (1+i)n-1 Obsérvese que la parte que está dentro del paréntesis es igual a la serie ordinaria, por tanto, podemos decir que:

.. Sn( i = Sn( i+ (1+i)n-1 Si reemplazamos Sn( i por su equivalente ((1+i)n-1)/1 se tendrá:

Reduciendo a un común denominador el miembro de la derecha se tendrá:

Si factorizamos se tendrá:

Entonces se tiene que:

Que es equivalente a:

(F/Ä,n,i%)=(F/A,n,i%)(1+i)

Ejemplo 5

Una persona arrienda una casa en $50.000 pagaderos por mes anticipado. Si tan pronto como recibe cada arriendo, lo invierte en un fondo que le paga el 2% efectivo mensual. Cuál será el monto de sus ahorros al final de un año?

Solución:

Obsérvese que de todos modos hay 12 períodos y 12 pagos. El valor final de ésta anualidad está en el punto 12 (porque si comienza con pago debe terminar con período) y la ecuación será:

.. X=50000S12( 2%=50000S12( 2%(1.02)=$684016.58

Anualidad Ordinaria en Valor Presente

La ecuación de valor la comenzamos a plantear con el pago que ésta en 1 y terminando con el pago que está en n.

(P/A,n,i%) = an( i =(1+i)-1 + (1+i)-2+(1+i)-3…..(1+i)-(n-1) + (1+i)-n

Anualidad Anticipada en Valor Presente

La diferencia entre las dos series estriba en que la ordinaria empieza con 1 y termina con (1+i)-n y la anticipada comienza con 1 y termina con (1+i)-(n-1)

Y la correspondiente ecuación de valor quedará así:

(P/Ä,n,i%) = än( i =1+(1+i)-1 + (1+i)-2+(1+i)-3…..(1+i)-(n-1) Si a la serie de la anualidad anticipada le agregamos (1+i)-n y le restamos esa misma cantidad y además le introducimos un paréntesis angular, el resultado no se altera entonces:

än( i =1+[(1+i)-1 + (1+i)-2+…..(1+i)-(n-1)+(1+i)-n]-(1+i)-n Ahora podemos observar que la serie que está dentro del paréntesis angular corresponde a la serie ordinaria, por tanto podemos decir que:

än( i =1+an( i-(1+i)-n = an( i + 1 – (1+i)-n

Si los dos últimos términos de la ecuación anterior se encierran en un paréntesis angular y se multiplican y dividiendo por i, no se altera la igualdad, por tanto se tiene:

Factorizando än( i se tiene la fórmula final

Ejemplo 6

El contrato de arriendo de una casa estipula pagos mensuales de $40.000, al principio de cada mes, durante un año. Si suponemos un interés del 30% CM. Cuál será el valor del pago único que, hecho al principio del contrato, lo cancelaría en su totalidad?

Solución:

X=40000 ä12( 2.5% = 40000 an( 2.5%(1+0.025) = $420586.35

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

"ANTONIO JOSÉ DE SUCRE"

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

CÁTEDRA: INGENIERÍA FINANCIERA

Profesor:

Ing. Andrés Eloy Blanco

Integrantes:

Briceño, Francisco Delgado, Erika López, Roberto

Autor:

Iván José Turmero Astros

Puerto Ordaz, Julio de 2006