no es un número racional, es imposible encontrar un valor T que satisfaga por consiguiente f(t) no es una función periódica.
Ejemplo 3: Encontrar el periodo de la función
Si aplicamos la identidad trigonométrica se tiene
Puesto que una constante y una función periódica de periodo T para cualquier valor de T, el período de cos 2t es p , se concluye que el periodo de f(t) es p .
Demostrar que si f(t + T) = f(t), entonces.
Existen muchos tipos de series de Fourier. Las mas sencillas son las Series de Fourier Trigonométricas. Un ejemplo es la serie de Fourier del seno
Se vera que las series de Fourier tienen interpretaciones físicas importantes en las aplicaciones. Sin embargo, las series de Fourier están basadas en un tipo distinto de teoría a las familiares series de potencias.
De manera equivalente, una función diferenciable f(x) es una función tal que en cualquier intervalo finito se puede dividir en un número de partes, cada una de las cuales es continua y tiene derivada continua. Además, las únicas discontinuidades de F8x) y f’(x) son discontinuidades de salto.
Ejemplo Funciones Ortogonales
Las dos funciones f(x) = x y g(x) = x2 son ortogonales en el intervalo [-1,1] puesto que
Conjunto Ortogonal de Funciones
Un conjunto de funciones {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] si cualesquiera dos funciones son ortogonales entre si.
(n ¹ m).
se considerará solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones son idénticamente iguales a cero en [a,b].
Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tiene una forma útil, que se deducirá ahora. Suponga que {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] y que
.
Se quiere obtener una formula para los coeficientes Cn en términos de f(x) y de las funciones ortogonales f n(x). Se selecciona un miembro del conjunto ortogonal, digamos, f n(x), y tome el producto interno con f(x). es decir, se multiplican ambos lados de por f n(x), y se integra sobre el intervalo para obtener
suponga que la integración y la suma se puede intercambiar para dar
.
Pero f , forma un conjunto ortogonal, de manera que (f n, f m) = 0 si n ¹ m. Entonces se convierte en
Teorema fundamental de una función por una serie de funciones ortogonales.
Suponga que f(x) es diferenciable por partes en el intervalo [a,b] y que
donde {f n(x)} es un conjunto ortogonal de funciones en [a,b]. Entonces
Una prueba rigurosa del teorema incluye consideraciones técnicas que están más allá del nivel de esta investigación. Estas consideraciones se refieren a la convergencia de y a la demostración de que la suma y la integral se pueden intercambiar. Además cuando se escribe , de hecho, no se requiere que la serie converja a f(x) para toda x. Las condiciones suficientes para garantizar el intercambio de Fourier del seno y del coseno, también se analizan en que sentido es igual a f(x). Sólo se necesita la continuidad por las partes de f y las f n para este teorema.
Coeficiente de una serie de senos
Suponga que
Ejemplo: Se tiene que {sen nx: n ³ 1} es un conjunto ortogonal de funciones en [0,p ]. Entonces se Obtiene
ya que
Representación de una constante por una serie de senos
Exprese f(x) = 1 como una serie en términos del conjunto ortogonal de funciones {sen nx : n ³ 1} en [0, p ].
Así es
Esta serie se puede expresar como
Suponga que se tiene una función f(x) definida en el intervalo [0,L]. Primero se mostrará cómo construir la serie de cosenos. Como se tiene interés en los valores de la serie sólo en el intervalo [0, L], se puede definir f(x) de cualquier manera fuera de este intervalo. Con el fin de obtener una serie solo con términos de cosenos, se definirá una extensión periódica par de f(x).
Si f(x) es una función diferenciable por partes [0,L], la serie de Fourier de cosenos para f(x) es
donde
(n ³ 1)
Ejemplo: Serie de Fourier de cosenos
Sea f(x) = x en [0, 2]. Encuentre la serie de Fourier de cosenos para f(x)
Se tiene, con L = 2 y f(x) = x
Entonces
La transformada de Fourier se emplea con señales periódicas a diferencia de la serie de Fourier. Las condiciones para poder obtener la transformada de Fourier son (Condiciones de Dirichlet):
- Que la señal sea absolutamente integrable, es decir:
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- Que tenga un grado de oscilación finito.
- Que tenga un número máximo de discontinuidades.
La transformada de Fourier es una particularización de la transformada de Laplace con S=jw (siendo w=2*pi*f), y se define como:
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Y su antitransformada se define como:
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He mencionado al principio que la transformada de Fourier se usa con señales aperiódicas. Con la invención de la función delta(t) a principios de este siglo es posible calcular la transformada de Fourier de una señal periódica:
Sabiendo que Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
Y que la transformada de Fourier tiene la propiedad de dualidad: Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
Obtenemos que Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
De esta forma, podemos calcular la transformada de Fourier de cualquier señal periódica x(t) de potencia media finita, esto es:
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Ya que
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Luego para una x(t) periódica se cumple que:
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Ejemplo: Si f(t) es real, demostrar que su espectro de magnitud 
es una función par de w y su espectro de fase f (w ) es una función impar de w
Si f(t) es real, entonces, se tiene
Propiedades de La Transformada de Fourier
En efecto
Hito 1. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
Hito 2.
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Donde, Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
Tenemos dos casos posibles Si r=s entonces
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Creado Por Sergio E. D'Ambrosio
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