13
Ejercicio 2 14 Suponiendo que se utilice el generador de números seudo-aleatorios. y que la semilla se escoge eligiendo al azar un entero entre 1 y 26 – 1 inclusive, determine el promedio de la longitud del periodo y su desviación estándar.
15 Varianza:
Desviación Estándar: Varianza y Desviación Estándar para una muestra de datos.
16 1. Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos: 2 4 3 5 2 2 0 1
R = Rango 5; Varianza 2.5536 y Desviación Estándar 1.5980
2. Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos: -2 -4 -3 -5 -2 -2 0 -1 R = Rango 5; Varianza 2.5536 y Desviación Estándar 1.5980
3. Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos: 6 12 9 15 6 6 0 3 R = Rango 15; Varianza 22.9821 y Desviación Estándar 4.7940 Ejercicio
17 Frecuentemente se utilizan generadores de números seudo-aleatorios en forma encadenada; por ejemplo, el número que sale de
xn+1 = (81 ·xn + 121) mod 255
es utilizado por
yn+1 = (625 · xn+1 + 48) mod 63
para producir el número yn+1 que es el que se reporta. Usando la semilla x0 = 23 y los datos anteriores, determine los primeros 2 números aleatorios generados (y1 y y2). Ejercicio
18 Frecuentemente se utilizan generadores de números seudo-aleatorios en forma encadenada; por ejemplo, el número que sale de
xn+1 = (45 ·xn + 71) mod 127
es utilizado por
yn+1 = (125 · xn+1 + 11) mod 63
para producir el número yn+1 que es el que se reporta. Usando la semilla x0 = 49 y los datos anteriores, determine los primeros 2 números aleatorios generados (y1 y y2). Otro ejercicio
Probando generadores de números aleatorios 19 Es importante asegurarse de que el generador usado produzca una secuencia suficientemente aleatoria. Para esto se somete el generador a pruebas estadísticas. Si no pasa una prueba, podemos asumir que el generador es malo. Pasar una prueba es una condición necesaria pero no suficiente. Un generador puede pasar una prueba y luego no pasarla si se usa otra semilla u otro segmento del ciclo.
20 ¿Cómo sabemos que nuestro generador es bueno? PRUEBAS GRÁFICAS Gráfica de Serie de Tiempo. Tablas de frecuencias e histogramas
PRUEBA ESTADÍSTICA Prueba Ji-cuadrada
Usar el ejemplo: xn+1 = (75 ·xn) mod 231 – 1 Con semilla = 1, los primeros 200 números generados.
Gráfica de Serie de Tiempo 21 Es importante observar que NO exista ningún patrón o tendencia. xn+1 = (75 ·xn) mod 231 – 1 Con semilla = 1, los primeros 200 números generados
22 ¿Cómo sabemos que nuestro generador es bueno? ¿Cuál de estas series de números parecen venir de un buen generador?
23 Tabla de frecuencias e histograma
24 (Gp:) 0, x < 0 F(x) = x, 0 ? x ? 1 1, x< 1 (Gp:) 1 (Gp:) F(x) (Gp:) 1
(Gp:) 1, 0 ? x ? 1 f(x) =
0, en otro caso (Gp:) 1 (Gp:) f(x) (Gp:) 1
(Gp:) Función de densidad de probabilidad (Gp:) Función de probabilidad acumulada: P(X< = x)
x x Números aleatorios entre 0 y 1
25 * La probabilidad de observar un valor en un particular intervalo es independiente del valor previo observado. * Todo punto en el rango tiene igual probabilidad de ser elegido. * Si el intervalo (0,1) es dividido en n sub-intervalos de igual longitud, el número esperado de observaciones en cada intervalo es N/n. (N número de observaciones totales).
El objetivo de cualquier esquema de generación (generador), es producir una secuencia de números entre 0 y 1 que simule las propiedades ideales de distribución uniforme y de independencia.
Números aleatorios entre 0 y 1
Prueba estadística Ji-cuadrada 26 Esta es la prueba más comúnmente usada. En general, puede ser usada para cualquier distribución.
A partir de un histograma, se comparan las frecuencias observadas con las frecuencias obtenidas de la distribución específica (frecuencias esperadas).
Prueba estadística Ji-cuadrada 27 Hipótesis nula. Ho: no hay diferencia entre frecuencias observadas y esperadas. Hipótesis alternativa. Ha o H1 : existe una diferencia entre frecuencias observadas y esperadas.
Estadístico de prueba:
Si el ajuste es exacto, c02 es cero, pero por aleatoriedad no lo será. Se puede demostrar que tiene distribución ji-cuadrado con k-1 grados de libertad.
Distribución Ji-cuadrada 28 Ejercicio: Determine el 95º percentil de la distribución ji-cuadrada con 6 grados de libertad.
29 Región de Rechazo:
Los grados de libertad son iguales a: número de filas – 1
Prueba estadística Ji-cuadrada En esta prueba se debe cuidar que las frecuencias esperados sean mayores o iguales a 5.
Prueba estadística Ji-cuadradaEjercicio 3 30 Generador: xn+1 = (75 ·xn) mod 231 – 1
Con semilla = 1, los primeros 200 números generados.
Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si los valores vienen de una distribución uniforme. Usar nivel de significancia = a = 0.05 Ho: Los valores provienen de una distribución uniforme. Ha: Los valores NO provienen de una distribución uniforme.
Prueba estadística Ji-cuadradaEjercicio 3 31 Estadístico de prueba
32 Región de Rechazo:
Prueba estadística Ji-cuadradaEjercicio 3 2.8 no es mayor que 16.919, por lo que el estadístico de prueba NO cae en la región de rechazo. Conclusión: Ho NO se rechaza. Los valores generados sí parecen venir de una distribución uniforme
33
Ejercicio 4 Generador: xn+1 = (57 ·xn) mod 215 – 1
Con semilla = 1, considere los primeros 100 números generados entre 0 y 1.
Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si los valores vienen de una distribución uniforme. Usar 10 intervalos. Usar nivel de significancia = a = 0.05.
34
Ejercicio 5 Usando el método del cuadrado medio y semilla = 5896, se generaron los primeros 80 números aleatorios.
Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si los valores provienen de una distribución uniforme.
Usar 8 intervalos y un nivel de significancia = a = 0.05.
35
Ejercicio 6 Generador: xn+1 = (57 ·xn) mod 215 – 1
Con semilla = 14, considere los primeros 100 números generados entre 0 y 1.
Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si los valores vienen de una distribución uniforme. Usar 8 intervalos. Usar nivel de significancia = a = 0.05.
36 Generación de variables aleatorias discretas Suponga que un determinado fenómeno aleatorio tiene la siguiente distribución de probabilidad: 0 ? R ? 0.3 entonces x = 18 grs. 0.3 < R ? 0.7 entonces x = 19 grs. 0.7 < R ? 1 entonces x = 20 grs. Para esto, se necesitan números aleatorios R entre 0 y 1.
37 Usar el generador: xn+1 = (57 ·xn) mod 215 – 1 Con semilla = 1.
Generar 100 valores de la distribución:
Utilizar la prueba ji-cuadrada para decidir si los valores generados realmente parecen tener la distribución de probabilidad anterior (a = 0.05). Usar 20 semillas y observar en cuántos casos la prueba se rechaza.
Ejercicio 7
38 =NORMINV(RAND(),500,50) aleatorio entre 0 y 1 (puedes usar tu propio generador) media desv. std. Números aleatorios con distribución normal En Excel.
39
Ejercicio 8 Usar el generador: xn+1 = (59 ·xn) mod 217 – 1 Con semilla = matrícula menor del equipo.
Generar 500 valores de la distribución uniforme continua entre 0 y 1 con el generador.
Usar esos valores para generar 500 números aleatorios de la distribución normal con media 100 y desviación estándar 16 (distribución del puntaje de IQ).
Utilizar la prueba ji-cuadrada para decidir si los valores generados realmente parecen tener la distribución normal (a = 0.01). En la tabla de frecuencias, calcular a mano 3 frecuencias esperadas (mostrar procedimiento usando editor de ecuaciones). Escribir conclusión (sí o no se trata de un buen generador de números normales).
Construir el histograma de frecuencias observadas y el histograma de frecuencias esperadas.
Usar 20 semillas y observar en cuántos casos la prueba se rechaza. Indicar qué semillas se usaron y cuál fue el valor del estadístico en cada caso.
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