Resumen
A partir de los resultados conocidos sobre el espacio de James y los espacios de sucesiones y de funciones de p-variaci´on acotada y sus propiedades de dualidad, en este trabajo se de?ne un espacio de funciones de Tipo James y se estudian sus propiedades, en particular su caracterizaci´on a partir de los espacios anteriormente mencionados. Igualmente se propone una posible generalizaci´on de los espacios de funciones de Tipo James con vistas al estudio del problema, a´un abierto, de la dua- lidad de los espacios de este tipo. Abstract
Starting from the well-known results on the space of James and the spaces of successions and of functions of bounded p-variation and their properties of duality, in this work it is de?ned a space of functions of James Type and their properties are studied, in particular their characterization starting from the previously mentioned spaces. It propose a possible generalization of the spaces of functions of James Type with a view to the study of the problem, even open, of the duality of the spaces of this type. III
˜ ˜ Introducci´on
La idea de dualidad de espacios normados data de los or´igenes del problema de momentos, en la Teor´ia de las Probabilidades. El presente trabajo tiene como base la investigaci´on acerca de lo concerniente a la dualidad de los espacios de funciones absolutamente p-continuas y de p-variaci´on acotada. Para ello se de?nen y estudian ciertos espacios con alguna similitud m´etrica y estructural con los anteriormente mencionados, constituy´endose esto en el objetivo principal de este trabajo.
El concepto de p-continuidad absoluta de una funci´on real de?nida sobre el intervalo [a,b] para 1 < p < 8 aparece por primera vez en el ano 1937, en los trabajos de E.R. Love y L.C. Young (ver [14]), quienes desarrollaron tambi´en la noci´on de funci´on de p-variaci´on acotada sobre el intervalo [a,b]. En esta l´inea se destacan adem´as los po- lacos Musielak y Orlicz (ver [17]), quienes en el ano 1959 demostraron en conjunto la separabilidad del espacio Cp[a,b] de las funciones absolutamente p-continuas en [a,b].
Paralelamente, en 1951 James (ver [4], [7]) present´o un ejemplo de espacio de Banach que es isom´etricamente isomorfo a su bidual, pero no es re?exivo. Dicho espacio se conoce desde entonces con el nombre de su creador y es un espacio de sucesiones in?nitesimales que juega un importante papel en la b´usqueda de un teorema de re- presentaci´on de los funcionales de Cp[a,b].
En 1984 aparece un trabajo del matem´atico ruso V.Kisliakov (ver [9]), donde se demuestra de forma indirecta que el espacio (Cp[a,b])**, bidual a Cp[a,b] es iso- morfo al espacio Vq[a,b] de las funciones de q-variaci´on acotada en [a,b] con p y q conjugados. De esta forma, la b´usqueda de una demostraci´on directa de la relaci´on (Cp[a,b])** Vq[a,b] se convierte en la columna vertebral de las investigaciones ex- 1 q puestas en la tesis de doctorado (ver [20]) de la cubana Rita Rold´an, quien, sobre la base del conocimiento del espacio de James, obtiene una representaci´on de los funcionales sobre Cp[a,b] a trav´es de integrales de Stieltjes respecto a funciones de Vq[a,b] con p + 1 = 1, pero sin obtener la isometr´ia buscada. Adem´as se hace notar que Vq[a,b] no puede ser el espacio dual de Cp[a,b], mostr´andose, no obstante, una condici´on su?ciente para la existencia de la integral de Stieltjes de manera tal que esta representa un funcional continuo. De igual forma se tratan propiedades impor- tantes de los espacios Vp[a,b] y Cp[a,b] como, por ejemplo, la relaci´on de estos con
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desarrollo de la investigaci´on. En ´el se estudia el espacio vp ˜ ˜ el espacio Lipa[a,b] de las funciones a-lipchitzianas (0 < a < 1), al igual que la no separabilidad de Vp[a,b] y la separabilidad de Cp[a,b].
Los estudios en esta direcci´on contin´uan en las tesis de licenciatura de los cubanos Y. Puig del ano 2006 (ver [19]) y de R. Mili´an del ano 2008 (ver [16]), quienes gene- ralizan las de?niciones de los espacios de funciones de p-variaci´on acotada y estudian su dualidad para funciones abstractas en el primer caso y desde el punto de vista de la ´algebras de Banach en el segundo caso.
El espacio de?nido por James tambi´en ha sido de gran utilidad en la obtenci´on de interesantes resultados. Uno de estos se encuentra en los trabajos de Lindenstrauss y Stegall (ver [13]). En ellos se presenta una de?nici´on de espacio de funciones de James JF como completamiento de la c´apsula lineal de las funciones caracter´isticas de subintervalos de [0,1] con la norma f = sup n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt 2 1 2 , donde el supremo se toma sobre todas las particiones 0 = t1 < t2 < … < tn = 1 de [0,1]. Dicha de?nici´on parece m´as cercana a la original de James que la de las funciones de p-variaci´on acotada, por lo que su estudio pudiera permitir obtener nuevos resultados en la b´usqueda del teorema de representaci´on para (Cp[a,b])*. Sin embargo, en los trabajos antes mencionados existen algunas inexactitudes que con- ducen a la necesidad de de?nir un nuevo espacio a partir de la idea original.
En la b´usqueda bibliogr´a?ca desarrollada para este trabajo se han encontrado otros trabajos relacionados con estos espacios, los cuales dedican su atenci´on sobre todo a problemas de aproximaci´on, por lo que no se incluyen en esta tesis.
En este trabajo se generaliza la idea de Lindenstrauss y Stegall, de?niendo el es- pacio JFp[a,b] de las funciones de p-variaci´on integral acotada sobre el intervalo [a,b], denominado espacio de funciones de Tipo James, y se estudia su relaci´on con el espacio de las funciones de p-
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