En el primer cap´itulo (“Preliminares”) se presentan los resultados b´asicos para el (0) de las sucesiones de p-variaci´on acotada (el caso p = 2 corresponde al ya mencionado espacio de James) como ejemplo de un espacio isom´etricamente isomorfo a su bidual sin ser re?exivo y sus principales propiedades. Tambi´en se presentan algunas propiedades de los espa- cios Cp[a,b] y Vp[a,b] de las funciones absolutamente p-continuas y de p-variaci´on
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acotada respectivamente, as´i como sus relaciones de dualidad.
El segundo cap´itulo (“Un espacio de funciones de Tipo James”) est´a dedicado al estudio del espacio de funciones JFp[a,b] anteriormente mencionado. Se muestran interesantes propiedades de esos espacios, como su relaci´on con los ya mencionados y su separabilidad o no separabilidad. Finalmente se proponen generalizaciones en la forma de de?nir estos espacios de funciones, las cuales abren nuevas v´ias de in- vestigaci´on.
Finalmente se presentan las “Conclusiones y Recomendaciones”, donde se resumen los resultados fundamentales del trabajo, indicando posibles caminos de desarrollo para el trabajo futuro. 4
El espacio vp de las sucesiones de p-variaci´on acotada ´ Cap´itulo 1
Preliminares
En este cap´itulo se exponen los resultados fundamentales necesarios para el desa- rrollo posterior de este trabajo. Ellos incluyen el espacio de James, como ejemplo de espacio semire?exivo de orden 1 y su generalizaci´on a los espacios de sucesiones y de funciones de p-variaci´on acotada, as´i como la relaci´on de ´este ultimo con el espacio de las funciones absolutamente p-continuas (ver, por ejemplo [20]). 1.1. El espacio de las sucesiones de p-variaci´on acotada
Los resultados que se exponen en este ep´igrafe no tendr´an una aplicaci´on inmedia- ta en esta investigaci´on, referida a espacios de funciones. Sin embargo, se presentan aqu´i, pues las ideas que conducen a las de?niciones de dichos espacios de funciones parten en gran medida de estos resultados. 1.1.1. (0) n Se denota por J al espacio de todas las sucesiones reales in?nitesimales x = (?n)8 =1, para las cuales se cumple x J = sup n n i=1 |?k2i-1 – ?k2i|2 1 2 < 8, (1.1) donde el supremo se toma sobre todos los n´umeros naturales n y sobre todas las sucesiones crecientes ?nitas k1,k2,…,k2n de n´umeros naturales. El espacio J se conoce en la literatura como espacio de James y constituye un ejemplo cl´asico de espacio normado semire?exivo de orden 1, quiere decir que la codimensi´on de la proyecci´on can´onica p de dicho espacio sobre su bidual es igual a 1 (ver, por ejemplo, [4]). El espacio de James J tambi´en puede ser nombrado espacio de las
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vp v2 vp , x vp (0) vp vp ´ sucesiones de 2-variaci´on acotada.
De modo an´alogo se de?ne el espacio de las sucesiones de p-variaci´on acotada:
Definicion 1.1 (0) n sucesiones in?nitesimales de p-variaci´on acotada si y s´olo si se cumple l´im ?n = 0 n?8 (1.2) x (0) = sup n n i=1 |?k2i-1 – ?k2i|p 1 p < 8 (1.3) donde el supremo se considera como en la norma x (0) = x J. El siguiente teorema, cuya demostraci´on se desarrolla de modo cl´asico (ver [20]), caracteriza a este espacio como normado. Teorema 1.1 (0) es un espacio de Banach. (0) por ejemplo: x (1) J = sup n n-1 i=1 | ?ki – ?ki+1 |2 1 2 , (1.4) x (2) J 1 = sup v n 2 n
i=1 | ?ki – ?ki+1 |2 1 2 , (1.5) donde el supremo en ambos casos se toma sobre todos los n´umeros naturales n y todas las sucesiones crecientes ?nitas k1,k2,…,kn de n´umeros naturales (en el caso (1.4) es kn+1 = k1).
De modo an´alogo se pueden de?nir normas equivalentes en el caso general del espacio de las funciones de p-variaci´on acotada, a saber x (1) (0) = sup n n-1 i=1 | ?ki – ?ki+1 |p 1 p , (1.6) x (2) (0) 1 = sup v n 2 n
i=1 | ?ki – ?ki+1 |p 1 p , (1.7) donde el supremo se toma como en (1.4) y (1.5) respectivamente.
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´ n ´ i 8 x = En este punto se debe hacer notar lo siguiente: En la construcci´on del supremo en el caso de la norma ?jo), se consideran bajo la suma solamente diferencias de la forma | ?k2i-1 – ?k2i |p. (1) (2) (0) (0) (2) (0) adem´as el sumando | ?kn – ?k1 |p que cierra el “ciclo”. (para la equivalencia de las normas ver [20]).
Las bases de Schauder juegan un importante papel en el estudio de estos espacios.
Definicion 1.2 Sea (E, · ) un espacio de Banach. Una sucesi´on (xn)8 =1 de E se dice base de Schauder de E si para todo elemento x ? E existe una unica sucesi´on num´erica (ai) =1, tal que 8 aixi. n i 8 sup n?N i=1
Una base de Schauder (xn)8 =1 de E se dice mon´otona si para todo sistema de escalares (ai) =1, se cumple que
n i=1 aixi = 1. n n n n n i 8 Sea k un n´umero entero positivo. Una base (xn)8 =1 del espacio de Banach E es llamada k-contrahente si para la sucesi´on de funcionales biortogonales (fn)8 =1 de (xn)8 =1 se cumple
codimE*[fn] = k,
donde [fn] denota al subespacio cerrado de E* generado por (fn)8 =1. En par- ticular, si k = 0, entonces (xn)8 =1 se llama base contrahente. Para los espacios de sucesiones de p-variaci´on acotada se cumple (ver [20]):
Teorema 1.2 Los vectores unitarios can´onicos (ei) =1 constituyen una base de Schauder (0) (1) vp 8
A partir de este teorema se puede identi?car al espacio bidual vp de vp con vp la imagen can´onica de vp vp vp vp vp n i 8 sup n El siguiente teorema ofrece una importante aplicaci´on de las bases contrahentes (ver [23]).
Teorema 1.3 Sea (xn)8 =1 una base contrahente del espacio de Banach (E, · ). Entonces su espacio bidual E** puede ser identi?cado con el espacio de todas las sucesiones num´ericas (ai) =1, para las que se cumple
n l=1 alxl < 8. (0) ** (0) i 8 sup n el espacio de todas las sucesiones num´ericas (ai) =1, para las cuales se cumple
n i=1 aiei (0) < 8, es decir, con el espacio de las sucesiones que cumplen que sup n n
n=1 ak2i-1 – ak2i p 1 p < 8. (1.8) ´ Obviamente se deduce de esta ultima expresi´on la existencia del l´imite l´imn?8 an. ** Entonces vp es la c´apsula lineal de vp , o m´as exacto, la c´apsula lineal de (0) en (0) ** 0 y de la funcional x** sobre (0) * , que 0 * 0 est´a de?nida por
x**(en) = 1
para toda n ? N (es decir, x** es la funcional que se identi?ca con la sucesi´on (1,1,1,…)).
A partir de ello se obtiene el siguiente teorema:(ver [20])
Teorema 1.4 (0) ** isom´etricamente isomorfo a su espacio bidual vp respecto a las normas · (0) y · (1) (0) . 9
vp Sea p la inyecci´on can´onica de vp en vp vp El espacio dual del espacio vp En la literatura se de?ne tambi´en en J una cuarta norma que tiene la expresi´on x (3) (0) = sup n n i=1 |?k2i-1 – ?k2i|p + |?k2n+1|p 1 p , donde el supremo se toma sobre todos los n´umeros naturales n y todas las sucesiones crecientes ?nitas k1,k2,…,k2n+1 de n´umeros naturales. A menudo esta norma se presenta sin diferenciar de la ya conocida 2 en el art´iculo de R.C.James “Bases and re?exivity of Banach spaces” aparecido en 1950 en la revista “Annals of Mathematics”, la cual no hemos podido localizar. En ** un trabajo posterior (ver [4]), James s´olo analiza la isometr´ia entre v2 y v2 respecto a la norma 2 (3) (0) (0) vp la isometr´ia (ver [20]).
El siguiente teorema presenta la semire?exividad del espacio de las sucesiones de p-variaci´on acotada, en analog´ia a la cl´asica propiedad del espacio de James ([20]). Teorema 1.5 (0) (0) ** . Entonces es codim (0) ** p p v(0) = 1. 1.1.2. (0) i 8 (0) (0) respondida en [20] a trav´es del espacio up, que se de?ne a continuaci´on:
Partiendo del conjunto de las sucesiones reales de soporte ?nito (o sea, sucesiones ?nitas) se introducen las siguientes denominaciones:
Un escal´on es una sucesi´on de la forma (0,…,0,a,…,a,0,…,0), donde a es un n´umero real no nulo que se denomina altura del escal´on y se llama signo del escal´on al valor sg(a).
Se llama soporte del escal´on x = (?i) =1 al conjunto supp(x) = {i ? N; ?i = 0}. (Como se trata de sucesiones ?nitas, el soporte siempre tiene que ser acotado.)
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con x1 = (?i )8 =1, x2 = (?i )8 =1, ?i ?i Dos escalones x e y se dicen disjuntos, si sus soportes son disjuntos, es decir,
supp(x) n supp(y) = Ø.
Ellos se dicen estrictamente disjuntos, si sus soportes son disjuntos y existe al menos un n´umero natural k entre los soportes de x e y, es decir, para supp(x) = {i1,…,in}, supp(y) = {j1,…,jm} i 8 con in < j1, existe un k ? N con in < k < j1.
Se dice que un escal´on x est´a contenido en el escal´on y, si se cumple supp(x) ? supp(y).
Sea ahora x = (?i) =1 una sucesi´on de n´umeros reales de la forma ?i = ak tk = i = tk+1 0 i = tn (k = 1,…,n – 1) (1.9) con {t1,t2 …,tn} ? N y ak = ak+1 para k = 1,…,n – 1. Se de?ne entonces (ver [20]) |[x]|p = n |ak|p 1 p . (1.10) i 8 k=1
N´otese que el valor |[x]|p no constituye una norma, pues no cumple la desigualdad triangular, como se puede comprobar f´acilmente con las sucesiones x = (1,0,…,0) y y = (1,1,0,…,0).
Sin embargo, resulta obvio que toda sucesi´on ?nita x = (?i) =1 (a´un cuando no sea suma de escalones estrictamente disjuntos) se representar en la forma (1.9) como suma ?nita de sucesiones xj (j = 1,…,m), que son suma de escalones estrictamente disjuntos. Para ello basta tomar la representaci´on x = x1 + x2 (1) i (2) i tal que (1)
(2) =
= ak t2k = i = t2k+1 0 en otro caso ak t2k-1 = i = t2k 0 en otro caso (2k + 1 = n)
(2k = n) ´ Sin embargo, esta representaci´on no es unica.
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x up= inf SD(x) Se denota por SD(x) al conjunto de todas esas representaciones y se de?ne entonces n k=1 |[xk]|p, (1.11) x = tomando el´in?mo sobre el conjunto SD(x) de todas las representaciones de x de la forma n xk, k=1 de manera que las sucesiones xk son a su vez sumas de escalones estrictamente dis- juntos para toda k = 1,2,…,n.
Se cumple el siguiente teorema:
Teorema 1.6 El valor x up es una norma en el espacio de todas las sucesiones ?nitas. Si se denota ahora por up al completamiento del espacio de las sucesiones con soporte ?nito respecto a la norma · up, se cumple: Teorema 1.7 Si la sucesi´on ?nita x es suma de escalones estrictamente disjuntos, entonces x up= |[x]|p. 1 q p El siguiente teorema presenta la relaci´on de este espacio con el espacio de las suce- siones de p-variaci´on acotada (ver [20]).
Teorema 1.8 (0) siones in?nitesimales de q-variaci´on acotada con p+ 1 = 1 respecto a la norma · v(0), y la base can´onica de up es una base contrahente.
Tambi´en se cumple:
Teorema 1.9 (0) (0) De esta manera se ha obtenido la relaci´on directa para 1 p + 1 q =1 p = p = (v(0))** ~ (uq)* ~ v(0).
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1.2. Las funciones de p-variaci´on acotada y abso- lutamente p-continuas
En este ep´igrafe se presentan las de?niciones y los resultados conocidos sobre los espacios Vp[a,b] de las funciones de p-variaci´on acotada y Cp[a,b] de las funciones absolutamente p-continuas (ver [20]), los cuales constituyen un modo de generalizar los espacios de sucesiones del ep´igrafe anterior. 1.2.1. El espacio Vp[a,b] de las funciones de p variaci´on aco- ´ tada Definicion 1.3 Una funci´on f de?nida sobre el intervalo cerrado [a,b] es de p-variaci´on acotada (1 = p < 8) si el valor Vp(f) = sup p n i=1 |f(ti) – f(ti-1)|p 1 p es ?nito, donde el supremo se toma sobre todas las particiones p = {ti}ni =0 de [a,b]. El espacio Vp[a,b] de la funciones de p-variaci´on acotada con el valor inicial f(a) = 0 es un espacio de Banach con la norma · Vp= Vp(·). Resulta sencillo comprobar que toda funci´on de p-variaci´on acotada en el intervalo cerrado [a,b] es acotada en ese intervalo. Los siguientes teoremas presentan algunas importantes propiedades de estos espacios (ver [20]):
Teorema 1.10 Toda funci´on de p-variaci´on acotada en [a,b] es tambi´en de q-variaci´on acotada para todo n´umero real q > p y tiene a lo sumo una cantidad numerable de discontinuidades, todas evitables o no evitables de primera especie.
Teorema 1.11 El espacio Vp[a,b] no es separable y contiene un subespacio isomorfo a c0. 13
a- 2 cos(2panx) 1.2.2. El espacio Cp[a,b] de las funciones absolutamente p- ´ continuas Definicion 1.4 El m´odulo de p-continuidad (1 < p < 8) de una funci´on f de?nida en [a,b] est´a de?nido por ?p(d)(f) = sup pd n i=1 |f(ti) – f(ti-1)|p 1 p , f(x) = donde el supremo se toma sobre todas las particiones pd : a = t0 < … < tn = b del intervalo cerrado [a,b], para las que se cumple (ti – ti-1) < d para toda 1 = i = n. Una funci´on f se dice absolutamente p-continua si se cumple
l´im?p(d)(f) = 0. d?0
El espacio Cp[a,b] de las funciones absolutamente p-continuas con el valor inicial f(a) = 0 es un subespacio cerrado de Vp[a,b]. Un ejemplo interesante resulta la conocida funci´on de Weierstrass 8 n x ? [0,1], n=1 para un n´umero entero cualquiera a > 1, la cual es de 2-variaci´on acotada y absolu- tamente p-continua para todo n´umero real p > 2.
Para las funciones absolutamente p-continuas se cumple (ver [20]):
Teorema 1.12 Toda funci´on absolutamente p-continua en [a,b] es continua en ese intervalo. El rec´iproco no se cumple en general. Teorema 1.13 Para toda funci´on f de p-variaci´on acotada sobre [a,b] se de?ne para todo x del intervalo [a,b] la funci´on f(x) = Vp(f,a,x) como la p-variaci´on de f en el intervalo [a,x] ? [a,b], la cual es mon´otona creciente. Si f es absolutamente p-continua, entonces f tambi´en es absolutamente p-continua en [a,b].
Una funci´on f de?nida en el intervalo cerrado [a,b] se dice Lipschitz-continua del orden a para 0 < a = 1, si para cualesquiera dos puntos x,y de [a,b] se cumple la desigualdad |f(x) – f(y)| = M|x – y|a,
con una constante M que s´olo depende de f.
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1 1 Teorema 1.14 Toda funci´on Lipschitz-continua del orden a es de a-variaci´on acotada y ab- solutamente p-continua en [a,b] para todo n´umero real p > a.
Teorema 1.15 El espacio Cp[a,b] es separable.
Teorema 1.16 La inmersi´on Idp de Cp[a,b] (p > 1) en el espacio C[a,b] de las funciones continuas sobre [a,b] no es compacta. 1.2.3. Estudios sobre el espacio dual de Cp[a,b] ´ sp(f,g) = Las integrales de Riemann-Stieljes, cuya de?nici´on se presenta a continuaci´on, juegan un importante papel en los teoremas de representaci´on de espacios de normados.
Definicion 1.5 Sean f,g dos funciones cualesquiera de?nidas sobre el intervalo cerrado [a,b]. Sea p : a = t0 < t1 < … < tn = b una partici´on cualquiera de [a,b] y sean los puntos ?i ? [ti-1,ti] para 1 = i = n. Entonces el valor
n f(?i)(g(ti) – g(ti-1)) I = i=1
se llama suma de Riemann-Stieltjes de f respecto a g y p. Se dice que la funci´on f es Riemann-Stieltjes integrable respecto a g en [a,b], si existe un n´umero real I, tal que, para todo e > 0 existe un n´umero real de > 0 con
|sp(f,g) – I| <
para cualquier partici´on p de norma menor que de y cualquier selecci´on de los puntos intermedios ?i. En ese caso, el n´umero real I se llama integral de Riemann-Stieltjes de f respecto a g en [a,b] y se denota por
b f(x)dg(x). a
En [20] se presentan ciertas desigualdes de tipo H¨older, a partir de las cuales se deduce el siguiente teorema. 15
21+ q 1 q Teorema 1.17 Para dos funciones f,g de p-variaci´on acotada y q-variaci´on acotada respecti- vamente en [a,b] con p + 1 > 1 y para una partici´on cualquiera p de [a,b] se cumple la acotaci´on |sp(f,g)| = 1+ ? 1 p + 1 q Vp(f)Vq(g), donde sp(f,g) es la suma de Riemann-Stieltjes de f respecto a g y p y ?(t) = 8
n=1 1 nt F(f) = es la funci´on Zeta de Riemann.
A partir de esta acotaci´on, en [20] se presenta adem´as la relaci´on de dualidad:
Teorema 1.18 Toda funcional lineal continua F sobre Cp[a,b] para 1 < p < 8 se puede representar a trav´es de una integral de Riemann-Stieltjes de la forma
b a f(x)dg(x), 1 p + 1 q = 1 y se donde g es una funci´on de q-variaci´on acotada en [a,b] con cumple g Vq= 1 F . 1 q Rec´iprocamente, si f es una funci´on absolutamente p-continua y g es una funci´on de q-variaci´on acotada en [a,b] con p+1 > 1, entonces existe la integral de Riemann-Stieltjes de f respecto a g en [a,b] y se cumple la acotaci´on b a f(x)dg(x) = 1+ ? 1 p + 1 q Vp(f)Vq(g), donde ?(t) es la funci´on Zeta de Riemann.
Sin embargo, el espacio dual del espacio Cp[a,b] no puede ser identi?cado con Vq[a,b], lo cual se comprueba f´acilmente a partir de sue relaciones con c0 y l1 respectivamente.
En un intento por responder a la pregunta sobre la existencia de un espacio de Banach, cuyo espacio dual sea isomorfo al espacio Vp[a,b] de las funciones de p- variaci´on acotada en el intervalo cerrado [a,b], y en analog´ia al caso de los espacios
16
1 q vp de las sucesiones de p-variaci´on acotada (ver [20]), R.Rold´an de?ne (generalizando la idea del espacio up) el espacio Ip[a,b] como completamiento de las funciones escalonadas de?nidas en [a,b] con una norma adecuada que denota por . Ip. En el trabajo citado se estudian las propiedades de este espacio, como su separabilidad y, a pesar de no obtener tampoco por esta v´ia la deseada relaci´on de dualidad, se demuestra el siguiente importante resultado:
Teorema 1.19 El dual de ILp[a,b] es isomorfo al espacio Vq[a,b] de las funciones q-variaci´on acotada con p + 1 = 1. 17
Cap´itulo 2
Un espacio de funciones de Tipo James 2.1. De?niciones y propiedades preliminares En cap´itulo 1 han sido presentadas las principales propiedades del espacio de James como espacio no re?exivo de codimensi´on 1 y su generalizaci´on a los espa- cios de sucesiones y de funciones de p-variaci´on acotada. Sin embargo, se observa que la interpretaci´on de los espacios de funciones de p-variaci´on acotada como gene- ralizaci´on de los correpondientes espacios de sucesiones no permite prolongar las propiedades de dualidad. Otra forma de generalizar dichos espacios lo constituyen el espacio JT “James tree” y espacio JF de las funciones de James que aparecen en los trabajos de Lindenstrauss y Stegall (ver [13]), como ejemplos de espacios de funciones de Banach separables no re?exivos, que contienen una copia de c0, mien- tras su dual no contiene a l1.
Conviene comentar la de?nici´on de estos autores. Para Lindenstrauss y Stegall el espacio de funciones de tipo James se considera como el completamiento de la c´apsula lineal de las funciones caracter´isticas de subintervalos de [0,1] con respecto a la “norma” f = sup n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt 2 1 2 . (2.1) Sin embargo, una sencilla comprobaci´on permite veri?car que la expresi´on anterior no constituye una norma en la c´apsula lineal de las funciones caracter´isticas de subintervalos de [0,1], pues para la funci´on no nula Ia(x) = 1 x = a 0 x = a se obtiene f = 0. 19
´ f(x) = En este trabajo se pretende de?nir con rigor un nuevo espacio de funciones que generalice al espacio de sucesiones de James y estudiar sus propiedades. Para ello se toma como punto de partida al espacio Ip[a,b] de las funciones indicadoras de intervalos [a,b], que se de?ne de la manera siguiente:
Definicion 2.1 Se denota por Ip[a,b] a la c´apsula lineal de las funciones indicadoras de subin- tervalos de [a,b]; es decir, si c,d denota a un subintervalo de cualquier tipo de [a,b] (aceptando c,c = {c}) y ? c,d denota a la funci´on indicadora de c,d , entonces
Ip[a,b] = span{? c,d ; c,d ? [a,b]}.
Resulta f´acil comprobar que cualquier funci´on f de Ip[a,b] se puede escribir de la forma n ak?Ik (ak ? R), (2.2) ´ k=1
donde (Ik)nk=1 es una partici´on de intervalo [a,b] (es decir, (Ik)nk=1 es un sistema de intervalos disjuntos dos a dos, cuya uni´on es todo el intervalo [a,b]). Esta repre- sentaci´on no es unica, pero si se considera adem´as que los Ik est´an ordenados de izquierda a derecha y la condici´on ak = ak+1 para todo k = 1,…,n, se logra la unicidad deseada. Esta forma de escribir la funci´on f ? Ip[a,b] se denomina re- presentaci´on can´onica de f, siendo los ak sus coe?cientes y n el orden de la representaci´on.
Una representaci´on can´onica de la forma (2.2) se dice alternada si los coe?cientes forman una sucesi´on de n´umeros reales de signos alternos, es decir, si akak+1 < 0 para todo k = 1,…,n.
A continuaci´on se estudia la expresi´on (2.1) para algunos tipos de funciones del espacio Ip[a,b]. Para ello se considera una funci´on · p : Ip[a,b] ? R tal que f p = sup n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p 1 p donde a = t0 < t1 < … < tn = b es una partici´on cualquiera de intervalo [a,b]. Entonces se tienen los siguientes resultados. 20
f(x) = Teorema 2.1 Sea f ? Ip[a,b] una funci´on de signo constante con la representaci´on can´onica
n ak?Ik (ak = 0 ´o ak = 0, ?k = 1,…,n – 1), k=1
entonces se cumple que f p = n |ak|?(Ik), k=1
donde ?(Ik) representa la longitud del intervalo Ik.
Demostraci´on: Sea p : a = t0 < t1… < tm = b una partici´on cualquiera de [a,b] y sea Ji = [ti,ti+1] para i = 0,…,m – 1. Entonces se tiene m-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p 1 p = m-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt . Si f es no negativa, es decir, ak = 0 para todo k = 1,…,n-1, entonces se cumple m-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt = m-1 i=0 ti+1 ti n k=1 ak?(Ik)dt = m-1 n i=0 k=1 ak?(Ik n Ji) = n m-1 k=1 i=0 ak?(Ik n Ji) = n k=1 ak m-1 i=0 ?(Ik n Ji) = n k=1 ak?(Ik) = n k=1 |ak|?(Ik). f p = – f p = Por otra parte, si f es no positiva, es decir, ak = 0 para todo k = 1,…,n – 1, resulta sencillo comprobar que
n k=1 |ak|?(Ik), quedando as´i demostrado el teorema. Q.e.d En el caso particular en que la representaci´on can´onica de la funci´on f ? Ip[a,b] es alternada se tiene la relaci´on siguiente: 21
f = Teorema 2.2 Sea f ? Ip[a,b] con la representaci´on can´onica
n ak?Ik, k=1
tal que akak+1 = 0 para todo k = 1,…,n – 1. Entonces se cumple que f p = n (|ak|?(Ik))p 1 p , (2.3) k=1
donde ?(Ik) representa la longitud del intervalo Ik.
Demostraci´on: (Por inducci´on).
En el caso n = 2 se tiene que f = a1?I1 + a2?I2, donde a1a2 = 0, I1 n I2 = Ø y I1 ? I2 = [a,b]. Sea p : a = t0 < t1 < … < tm = b una partici´on cualquiera del intervalo [a,b] y sea c ? [a,b], tal que a,c = I1, entonces c tiene que estar en alg´un subintervalo de la partici´on p de [a,b]. Sea k tal que c ? (tk,tk+1), entonces es tk+1 f(t)dt p = c tk p f(t)dt + tk+1 c p f(t)dt . tk Luego, se tiene m-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p = k-1 i=0 ti+1 ti p f(t)dt + tk+1 tk p f(t)dt + m-1 i=k+1 ti+1 ti f(t)dt p = k-1 i=0 ti+1 ti p f(t)dt + c tk p f(t)dt + tk+1 c p f(t)dt + n-1 i=k+1 ti+1 ti p f(t)dt . Pero, como f tiene signo constante en el subintervalo I1, se cumple k-1 i=0 ti+1 ti p f(t)dt + c tk f(t)dt p = k-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt + c tk f(t)dt p = c f(t)dt p = (|a1|?(I1))p. a De modo an´alogo se obtiene para el subintervalo I2 tk+1 c p f(t)dt + n-1 i=k+1 ti+1 ti f(t)dt p = b c f(t)dt p = (|a2|?(I2))p. 22
= ((|a1|?(I1))p + (|a2|?(I2))p) p , +|ak(sk+1 – tl)| + |ai?(Ii)| + |ak(sk+1 – sk)| + Entonces es sup p m-1
i=0 ti+1
ti f(t)dt p 1 p 1 por lo que el teorema es v´alido para n = 2
Ahora si (2.3) es cierta para todo orden m = n-1 con n-1 = 2, entonces se debe demostrar que (2.3) es tambi´en v´alida para una representaci´on de orden n k = 1,…,n – 1 y sea p : a = t0 < t1 < … < tm = b una partici´on de [a,b]. Est´a claro que siempre existe tl tal que tl ? sk-1,sk para alg´un k. Si se particiona el intervalo [a,b] en los dos subintervalos [a,tl] y (tl,b], entonces en cada subintervalo la funci´on f tiene ahora una representaci´on can´onica alternada de orden menor que n. Al aplicar la hip´otesis de induci´on para f en cada subintervalo [a,tl] y (tl,b] se obtiene que m-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p = l-1 i=0 ti+1 ti p f(t)dt + m-1 i=l ti+1 ti f(t)dt p = k-1 i=1 |ai?(Ii)|p + |ak(tl – sk)|p p n i=k |ai?(Ii)|p = k-1 p p n i=k |ai?(Ii)|p = i=1 n |ai?(Ii)|p i=1
Con esta desigualdad queda demostrado el teorema. Q.e.d Ya se ha comprobado que la expresi´on (2.1) no constituye una norma de este espacio. Por tanto, se debe buscar otra norma o una manera de construir una norma parecida a la expresi´on (2.1). Para ello se considera (de manera an´aloga a los espacios Lp[a,b]) una relaci´on de equivalencia en Ip[a,b], la cual est´a dada por f ~ g ? sup p n-1
i=0 ti+1
ti (f(t) – g(t))dt p 1 p = 0, 23
donde el supremo se toma sobre el conjunto de todas particiones de [a,b] de la forma p : a = t0 < t2 < … < tn = b .
Est´a claro que “~” es una relaci´on re?exiva y sim´etrica. Luego, para justi?car que “~” es una relaci´on de equivalencia basta demostrar que es transitiva. Para ello sean f,g,h ? Ip[a,b], tales que f ~ g y g ~ h. Por la desigualdad de Minkowski es n-1 i=0 ti+1 ti (f(t) – h(t))dt p 1 p = n-1 i=0 ti+1 ti (f(t) – g(t) + g(t) – h(t))dt p 1 p = n-1 i=0 ti+1 ti (f(t) – g(t))dt p 1 p + n-1 i=0 ti+1 ti (g(t) – h(t))dt p 1 p , ´ por lo que f ~ h, siendo as´i “~” una relaci´on de equivalencia en Ip[a,b].
A partir de esto, tiene sentido de considerar el espacio cociente Ip[a,b]/ ~, el cual se denota por JFp[a,b].
N´otese que si dos funciones f,g ? Ip[a,b] pertenecen a una misma clase de equi- valencia de JFp[a,b], ellas son iguales casi donde quiera. Ello permite identi?car al espacio JFp[a,b] como espacio de funciones, al identi?car a cada clase de equivalencia con uno cualquiera de sus representantes. Igualmente, resulta sencillo comprobar que el valor de la expresi´on (2.1) se mantiene constante dentro de cada clase. Entonces se de?ne:
Definicion 2.2 Se llama p-variaci´on integral de f ? JFp[a,b] a la funci´on · p : JFp[a,b] ? R, de?nida por f p = sup n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p 1 p , (2.4) siendo f un representante de la clase f.
A partir de lo anteriormente mencionado y para simpli?car la notaci´on, se denotar´a a partir de ahora a f p por f p. Respecto al espacio JFp[a,b] se cumple el siguiente teorema.
Teorema 2.3 El espacio JFp[a,b] es un espacio normado respecto de la norma (2.4), pero no es de Banach.
24
x ? 0, 12 ? x ? 2n+1, 2n 2+1 2k-1 k ´o x ? 22n+1 -1,1 0 2 2 + n+3 + … + n+r+2 1 Demostraci´on: Es obvio que para comprobar que (2.4) es una norma, s´olo resta demostrar la de- sigualdad triangular, la cual se deduce directamente de la desigualdad de Minkowski, pues para todos f,g ? JFp[a,b] se tiene n-1 i=0 ti+1 ti (f + g)(t)dt p 1 p = n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt + ti+1 ti g(t)dt p 1 p = n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p 1 p + n-1 i=0 ti+1 ti g(t)dt p 1 p Para la segunda a?rmaci´on se considera por simpli?car al intervalo [0,1] y se cons- truyen las funciones fn(x)(n = 1,2,3,…) seg´un el siguiente esquema: 1 2 1 x ? 12,1 f1(x) = … fn(x) = x ? k-1 2n k k 2n 1 n , 2n ,(kn= 1,…,2n – 1) x ? 22-1,1 . Est´a claro que esas funciones pertenecen al espacio JFp[0,1] y fn+r(x) = fn(x) para todo x ? [0,1]. En particular, para r = 1 es (fn – fn+1)(x) = k- k- ? ? 2n+1 x ? 2(n+1 1), 2n+1 , (k = 1,…,2n+1 – 1) n+1 , por lo que la funci´on fn – fn+1 toma s´olo los valores cero y 2n+1, y alcanza esos valores 2n veces en intervalos de longitud 2n+1. Entonces aplicando el teorema (2.1) para calcular la p-variaci´on integral de fn – fn+1 se cumple fn – fn+1 p = 2n 1 2n+1 1 2n+1 = 1 2n+2 . Aplicando ahora la desigualdad triangular para r ? N se obtiene fn – fn+r p = fn – fn+1 p + fn+1 – fn+2 p + … + fn+r-1 – fn+r p =
= 1 n+2 1 n+2 2 2 r
k=0 1 1
2k . 25
Pero la suma en el miembro derecho de esta expresi´on representa la suma parcial de orden r de una serie geom´etrica de raz´on 12, por lo que puede ser acotada por el valor 2, entonces fn – fn+r p = 2 2n+2 = 1 2n+1 . 1 2e tal que para De ese modo, para todo e > 0 existe un n´umero natural N > log2 todo n = N se cumple fn – fn+r p < e, siendo as´i la sucesi´on {fm} de Cauchy en JFp[0,1].
Por otra parte, resulta obvia la convergencia puntual de la sucesi´on {fn} a la funci´on f(x) = x en [0,1], la cual no pertenece a JFp[0,1], por no ser combinaci´on lineal de funciones indicadoras en ese intervalo. Con esto de observa que JFp[0,1] no es un espacio de Banach. Q.e.d 2.2. El espacio JFp[a,b] de Tipo James ´ ´ El ultimo teorema conduce a la necesidad de de?nir el espacio de funciones de Tipo James del siguiente modo:
Definicion 2.3 Se de?ne el espacio de funciones de tipo James como el completamiento del espacio JFp[a,b] respecto la norma (2.4) y se denota por JFp[a,b]. Es decir, JFp[a,b] es el espacio de las clases de equivalencia f de sucesiones de Cauchy {fn} de JFp[a,b], dadas por la relaci´on {fn} ~ {?n} ? fn – ?n p ? 0, con la norma f p = l´im fn p, siendo {fn} un representante de la clase f.
Primeramente resulta importante observar que si f ? JFp[a,b], entonces f ? L1[a,b], lo cual se comprueba f´acilmente, considerando en (2.4) la partici´on can´onica p : a < b de [a,b], lo que implica la integrabilidad de |f| en [a,b]. Se debe hacer notar que esto no implica necesariamente que se cumpla que f L1 = f p.
26
> JVp p(f;c,b) + . Por otra parte, si f ? L1[a,b] y p : a = t0 < t1 < … < tm = b es una partici´on cualquiera de [a,b], se tiene que n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p 1 p n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt n-1 i=0 ti+1 ti |f(t)|dt = b a |f(t)|dt = f L1, o sea f p f L1. . M´as adelante se comprobar´a que los espacios JFp[a,b] y L1[a,b] no son iguales.
Si se denota por JVp(f;a,ß) a la p-variaci´on integral de la funci´on f en el intervalo [a,ß], entonces se cumple:
Teorema 2.4 Sea f ? JFp[a,b], c ? (a,b) y ?p > 1. Se cumple la acotaci´on
1
Adem´as si p ? N entonces se tiene tambi´en la relaci´on
1
Demostraci´on: (i) Por la de?nici´on de JVp(f), para cada > 0 existen particiones p : a = t0 < t1 < … < tm = c y p : c = t0 < t1 < … < ts = b
de [a,c] y [a,b] respectivamente, tales que m-1
i=0 ti+1
ti f(t)dt p > JVp p(f;a,c) + 2 s-1
i=0 ti+1
ti f(t)dt p 2 Si se unen estas particiones se obtiene una nueva partici´on
p : a = t0 < t1 < … < tn = b
27
|a + b| = (|a| + |b|) = |a| + |b| + = (|a| + |b| ) 1 + de [a,b], para la cual se cumple n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p = m-1 i=0 ti+1 ti p f(t)dt + s-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p > JVp p(f;a,c) + JVp p(f;c,b) – . Pero esto es v´alido para cualquier > 0, por lo que 1
de donde se deduce la primera parte del teorema.
(ii) Sea ahora p : a = t0 < t1 < … < tn = b una partici´on del intervalo [a,b] que contiene al punto c = tk. Entonces n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p 1 p = k-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p 1 p + n-1 i=k ti+1 ti f(t)dt p 1 p o sea, n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p 1 p = (JVp(f;a,c) + JVp(f;c,b)). (2.5) Sea ahora p : a = t0 < t1 < … < tn = b una partici´on cualquiera de [a,b]. Entonces existe un n´umero natural 0 < k = n, tal que tk-1 = c = tk. N´otese primeramente que de la monoton´ia de la funci´on exponencial se deduce que si 1 = k = p – 1, entonces para todo par de n´umeros reales a,b es
|a|k|b|p-k = |a|p + |b|p.
Para comprobar esta desigual basta reescribirla en la forma a b k – 1 = a p b . De esto se deduce que p p p p p-1
k=1 p k |a|k|b|p-k p p p-1
k=1 p k 28
= (2 – 1) = (2p – 1)p(JVp(f;a,c) + JVp(f;c,b)), p k = 2p – 2, Pero por el teorema binomial es p-1
k=1 de donde |a + b|p = (|a| + |b|)p = (2p – 1)(|a|p + |b|p).
Entonces para tk-1 = c = tk se cumple ti+1 ti f(t)dt p = c f(t)dt + ti+1 f(t)dt p ti p c ti c p f(t)dt + ti+1 c f(t)dt p . Luego, si se denota a la suma correspondiente a la partici´on p de [a,b] por Sp y por S a la suma correspondiente a la partici´on p ? {c}, es decir Sp = n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p 1 p S = n-1 i=0,i=k ti+1 ti p f(t)dt + c tk p f(t)dt + tk+1 c f(t)dt p 1 p , se cumple Sp = (2p – 1)S.
Aplicando ahora la acotaci´on (2.5) se obtiene n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p 1 p 1 con ello queda demostrado el teorema. Q.e.d Partiendo de la primera parte del teorema anterior, es f´acil demostrar por inducci´on la relaci´on n-1 JVp p(f;ti,ti+1) 1 p = JVp(f;a,b), (2.6) i=0 donde p : a = t0 < t1 < … < tn = b es una partici´on cualquiera de [a,b]. Entonces se cumple el siguiente teorema.
29
Teorema 2.5 Sean p,q > 1 con 1 p + 1 q = 1 dados. Entonces se cumple la desigualdad n-1 JVp(f;ti,ti+1)JVq(g;ti,ti+1) = JVp(f;a,b)JVq(g;a,b) i=0
para toda partici´on de p : a = t0 < t1 < … < tn = b de [a,b] y para dos funciones cualesquiera f ? JFp[a,b] y g ? JFq[a,b]
Demostraci´on: La esencia de este teorema se deduce de la desigualdad (2.6) y la desigualdad de H¨older, pues n-1 0 JVp(f;ti,ti+1)JVq(g;ti,ti+1) = n-1 i=0 JVp p(f;ti,ti+1) 1 p n-1 i=0 JVqq(g;ti,ti+1) 1 q . Entonces por (2.6) se tiene
n-1 JVp(f;ti,ti+1)JVq(g;ti,ti+1) = JVp(f;a,b)JVq(g;a,b) i=0 Q.e.d
La siguiente es una importante propiedad que se extiende a estos espacios desde los conocidos espacios de funciones de variaci´on acotada.
Teorema 2.6 Si f ? JFp[a,b], x ? [a,b], entonces la funci´on JVp p(f;a,x) es mon´otona creciente en [a,b].
Demostraci´on: Sean x1 y x2 puntos cualesquiera de [a,b] con x1 < x2. Por el teorema 2.3 es 1
o sea, JVp p(f;a,x2) = JVp p(f;a,x1), con lo cual queda demostrado el teorema. Q.e.d Una relaci´on entre los espacios JFp[a,b] est´a dada por el teorema siguiente.
Teorema 2.7 Para 1 = p < 8, cada elemento de JFp[a,b] es tambi´en elemento de JFq[a,b] para todo n´umero real q > p.
30
Demostraci´on: Sea la funci´on f de JFp[a,b] dada y sea M = sup x,y?[a,b] y x f(t)dt . Entonces es n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt q 1 q = n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p ti+1 ti f(t)dt q-p 1 q para toda partici´on p : a = t0 < t1 < … < tn = b de [a,b], o sea, n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt q 1 q = (Mq-p) 1 q n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p 1 p . De aqu´i se deduce entonces f q = M f p < 8, siendo M = M q-p q , y por tanto f pertenece tambi´en a JFq[a,b]. Esta condici´on se extiende sin di?cultad al espacio JFp[a,b], quedando as´idemostra- do el teorema. Q.e.d ´ En este punto conviene de?nir un subespacio de Vp[a,b] (funciones de p-variaci´on acotada) que tiene mucha relaci´on con el estudio de espacio de las funciones de Tipo James.
Definicion 2.4 Se denota por LCVp[a,b] al subespacio de Vp[a,b] de las funciones continuas lineales a trozos y por LCVp[a,b] a su completamiento respecto la norma de p-variaci´on, es decir, respecto a la norma de Vp[a,b] g Vp = sup p n k=1 |g(ti) – g(ti-1)|p 1 p , donde el supremo se toma sobre todas las particiones p : {ti}ni =0 de [a,b].
Una relaci´on entre estos espacios se muestra en el siguiente teorema, que juega un papel importante en este trabajo.
31
t?t- t?t+ F(f)(t) = g(t) ?f ? JFp[a,b] con g(t) = Teorema 2.8 El espacio JFp[a,b] es isom´etricamente isomorfo al espacio LCVp[a,b].
Demostraci´on: Para demostrarlo se considera la funci´on F : JFp[a,b] ? LCVp[a,b] tal que t f(u)du. f(t) = a Para comprobar que g(t) ? LCVp[a,b], sea f ? JFp[a,b] con la representaci´on can´onica n ai?(ti-1,ti) i=1 con a = t0 < t1 < … < tn = b (se puede considerar que f se anula en los extremos de los intervalos (ti-1,ti), pues ello no in?uye en el c´alculo de su norma en JFp[a,b]). Entonces para k ?jo, tal que t ? (tk,tk+1), se cumple g(t) = t a f(u)du = k i=1 ai(ti – ti-1) + ak+1(t – tk), lo que implica la linealidad de g y su continuidad en todo t = ti para todo i = 1,…,n. La continuidad de g en t = ti para i = 1,…,n se comprueba a partir de la coincidencia de los l´imites laterales k-1 k i=1 ai(ti – ti-1) l´im g(t) = k
l´im g(t) = k i=1 k
i=1 ai(ti – ti-1) + ak(tk – tk-1) =
ai(ti – ti-1). Sea ahora f ? JFp[a,b] cualquiera, entonces f p = sup n-1 i=0 ti+1 ti f(t)dt p 1 p = sup n-1 i=0 |g(ti+1) – g(ti))|p 1 p = F(f) Vp, por lo que F es una isometr´ia de JFp[a,b] en LCVp[a,b].
Por la linealidad de la integral, es obvio que F tambi´en es una funci´on lineal de dichos espacios.
Para demostrar la inyectividad de F, sean f1,f2 en JFp[a,b] tales que
F(f1) = F(f2) = g(t) ? LCVp[a,b].
32
Entonces se cumple que
t (f1(u) – f2(u))du = 0, a lo que implica que f1 ~ f2, es decir, que F es inyectiva.
Para comprobar la sobreyectividad n´otese que toda g ? LCVp[a,b] tiene la forma g(a) = 0 y
g(a) = 0, g(x) = aix + bi para x ? (ti-1,ti] (i = 1,…,n) donde p : a = t0 < t1 < … < tn = b es una partici´on de [a,b]. Adem´as, por la continuidad de g, los coe?cientes (ai)ni =1, (bi)ni =1 tienen que satisfacer las condiciones a1a + b1 = 0; aiti + bi = ai+1ti + bi+1 (i = 1,…,n), o sea a1a + b1 = 0; bi+1 – bi = aiti – ai+1ti (i = 1,…,n). (2.7) bk+1 – b1 = Sumando en (2.7) desde i = 1 hasta i = k se tiene
k (aiti – ai+1ti). (2.8) i=1
Construyendo ahora la funci´on f(x) = ai para x ? (ti-1,ti] y f(a) = 0, es decir, n t a f(u)du = t n a k=1 ak?Ikdu = i-1 k=1 ak?Ikdu + t ti-1 ai?Iidu = i-1 (aktk – aktk-1) + ait – aiti-1 = k=1 i-1 aktk – i k=1 aktk-1 + ait = k=1 i-1 (aktk – ak+1tk) – a1a + ait (2.9) (2.10) k=1
De (2.7),(2.8)y(2.9) tenemos que
t f(u)du = bi – b1 – a1a + aix = bi + ait a
33
n n ´ n n con lo que se demuestra la sobreyectividad de F y, por tanto, la isometr´ia entre JFp[a,b] y LCVp[a,b].
Ahora, para cualquier f ? JFp[a,b], sea (fn)8 =1 una sucesi´on de Cauchy de funciones de JFp[a,b] en la norma · p, tal que (fn)8 =1 ? f. Como fn ? JFp[a,b] para todo n, entonces por lo anteriormente demostrado va a existir una unica sucesi´on (gn)8 =1 de funciones de LCVp[a,b] tales que F(fn) = gn. Para comprobar que la sucesi´on (gn)8 =1 es de Cauchy en LCVp[a,b], dado e > 0 sea N > 0 tal que fn – fm p < e para todos n,m = N. Esto es equivalente a sup p k-1
i=0 ti+1
ti (fn – fm)(u)du p < p ? sup p k-1
i=0 ti+1
ti fn(u)du – ti+1
ti fm(u)du p < p . sup p Sustituyendo por la expresi´on de g se tiene
k-1 i=0 |(gn(ti+1) – gn(ti)) – (gm(ti+1) – gm(ti))|p < p ? sup p k-1 i=0 |(gn – gm)(ti+1) – (gn – gm)(ti)|p < p , de donde se deduce que gn – gm Vp < n ´ para todos n,m = N. Con esto se demuestra que la sucesi´on (gn)8 =1 es de Cauchy en LCVp[a,b], por lo que corresponde a una clase g ? LCVp[a,b].
El mismo proceso en sentido inverso muestra que a cada elemento g0 ? LCVp[a,b] corresponde un unico elemento f ? JFp[a,b], lo que demuestra el teorema. Q.e.d
Resulta sencillo comprobar que el sistema de las funciones indicadoras de subinter- valos de [a,b] de extremos racionales es un conjunto numerable siempre denso en JFp[a,b]. De ello se deduce el siguiente teorema:
Teorema 2.9 El espacio JFp[a,b] es separable.
Sin embargo, el siguiente teorema muestra que esta propiedad no se extiende al espacio dual correspondiente.
34
? c,d (f) = Teorema 2.10 El espacio dual de JFp[a,b] no es separable. Demostraci´on: Sea M un conjunto siempre denso en (JFp[a,b])*. A continuaci´on se demuestra que M no es numerable. Para ello se consideran las funciones ? c,d : JFp[a,b] ? R tales que d f(t)dt donde c,d ? [a,b] c = d. 1 c Est´a claro que ? c,d (JFp[a,b])* = 1 por de?nici´on de . p. Particularmente para las funciones f = d-c? c,d se tiene f p = 1 y |? c,d (f)| = 1. Por lo tanto ? c,d (JFp[a,b])* = 1; ? c,d ? [a,d]. Sean ahora dos funciones ?[a,t] y ?[a,s] cualesquiera con s < t. Como que M es denso en (JFp[a,b])*, entonces existen F1;F2 ? M tales que ?[a,t] – F1 (JFp[a,b])* < 1 4 y ?[a,s] – F2 (JFp [a,b])* < 1 4 Por otra parte que es ?[a,t] – ?[a,s] (JFp[a,b])* = ?[s,t] (JFp[a,b])* =1 Aplicando la desigualdad triangular se obtiene ?[a,t] – ?[a,s] (JFp[a,b])* = ?[a,t] – F1 + F1 – F2 + F2 – ?[a,s] (JFp[a,b])* = ?[a,t] – F1 (JFp[a,b])* + F1 – F2 (JFp[a,b])* + F2 – ?[a,s] (JFp[a,b])* , de donde se deduce la desigualdad F1 – F2 (JFp[a,b])* > 1 2 Esto muestra la existencia en el conjunto M de al menos tantos elementos como las funciones de tipo ?[a,t] con t ? (a,b], lo cual implica la no numerabilidad del conjunto M. Q.e.d N´otese que este teorema implica que los espacios JFp[a,b] y L1[a,b] son diferentes, * pues en caso contrario JFp[a,b] tendr´ia que ser separable.
Las siguientes propiedades muestran la relaci´on del espacio JFp[a,b] con los conoci- dos espacios de sucesiones c0 y l1. Teorema 2.11 El espacio JFp[a,b] contiene un subespacio isomorfo a c0. En ([13]) se demostr´o un caso particular s´olo para el caso p = 2, aqu´i se presenta una demostraci´on m´as general y sencilla para 1 < p < 8. Para ello resulta necesario introducir primeramente los siguientes resultados (ver[20]):
35
´ n sup n Definicion 2.5 Sea B un espacio de Banach cualquiera. Una serie in?nita
8 xn n=1
con xn ? B (n = 1,2,…), se dice incondicionalmente convergente d´ebil, si para toda funcional f del espacio dual B* de B es ?nita la suma
8 |f(xn)|. n=1
Lema 2.1 BESSAGA/PELCZYNSKI Sea B un espacio de Banach cualquiera. Una serie in?nita
8 xn n=1
de elementos xn (n = 1,2,…) de B es incondicionalmente convergente d´ebil, si y s´olo si existe una constante real positiva C, tal que para toda sucesi´on (an)8 =1 ? l8 se cumple la acotaci´on
8 n=1 akxk = C sup|an|. n i 8 8 i 8 8 Sean B1 y B2 espacios de Banach cualesquiera con bases (xi) =1 y (yi)i=1 respecti- vamente. Decimos que (xi) =1 y (yi)i=1 son equivalentes, si la convergencia de la serie 8 anxn n=1
es equivalente a la convergencia de la serie
8 anyn; n=1
es decir, si existe un isomor?smo de B1 sobre B2 que a cada elemento xn asigna el elemento yn.
36
-2 x ? 12,1 ? 4 x ? 0, 14 -4 x ? 14, 12 ? 4 x ? 2, 34 -4 x ? 34,1 (-1)k2n n = 2 p n Corolario 2.1 Dada la sucesi´on (xn)8 =1 del espacio de Banach B, sea la serie in?nita 8 xn n=1
incondicionalmente convergente d´ebil, y supongamos adem´as que inf n xn > 0. n n Entonces (xn)8 =1 es equivalente a la base can´onica de c0. A continuaci´on se presenta la demostraci´on del teorema.
Demostraci´on: (del teorema 2.11)
El principio de esta demostraci´on consiste en presentar una sucesi´on (fn)8 =1 de elementos de JFp que cumple la condici´on infn fn > 0 y cuya serie in?nita es incondionalmente convergente d´ebil, de modo que del corolario anterior se deduce la tesis del teorema. (i) Para simpli?car la demostraci´on se consideran las funciones de p-variaci´on integral acotada sobre el intervalo cerrado [0,1]. Se construyen las funciones gn(x) (n = 1,2,…) seg´un el siguiente esquema: 1 2 x ? 0, 2 ? ?
? g1(x) =
g2(x) =
… gn(x) = 1 2n (-1)k2n x ? k 2n , k+1 2n x ? 0, 2n (k = 1,…,2n – 1) i gn = Para toda n ? N la funci´on gn(x) es obviamente elemento de JFp. Adem´as si se denota por si = 2n para i = 0,…,2n y Ji = (si-1,si], (i > 1), J1 = [0,s1], entonces gn tiene la representaci´on can´onica alternada 2n (-1)k2n?Jk+1. (2.11) k=0 Por tanto, del teorema (2.2) se deduce que gn p = 2n-1
k=0 1 2 p 1 p n (2.12) 37
Si ahora se considera fn = 2- pgn, de (2.12) resulta que fn an2- pgn x 2 -1 n p = 1, entonces inf fn n p = fn p = 1. (2.13) n n (ii) Sea ahora (an)8 =1 una sucesi´on acotada cualquiera de n´umeros reales, es decir (an)8 =1 ? l8. Se busca una cota superior para el valor k n=1 anfn p = k n=1 n p (2.14) x 0 gn(u)du. Aplicando la f´ormula Primeramente conviene calcular Gn(x) = (2.8, 2.9) con x ? (sk,sk+1] = Jk se obtiene Gn(x) = x 0 gn(u)du = 0 n
i=0 (-1)i2n?Ji+1du = k-1
i=1 (-1)i-12n 1 2i + x
sk (-1)k2n?Jkdu, k 2n de donde para x ? [2n, k+1] se tiene (ver ?gura 2.1) Gn(x) = l l n l n l 2nx – 2l para k = 2l;x ? [2n, 22+1] -2nx + 2l para k = 2l – 1;x ? [22-1, 2n] . (2.15) Figura 2.1: 38
-np 2- p(Gn(ti) – Gn(ti-1)) = S1 + S2 2- p(Gn(ti) – Gn(ti-1) 2- p(Gn(ti) – Gn(ti-1). 2- p2n(ti – ti-1) 2n(1- p) 2n(1- p), Sea p : 0 = t0 < t1 < … < tm = 1 una partici´on cualquiera del intervalo cerrado [0,1]. Entonces es claro que m-1 i=0 ti+1 ti k n=1 anfn du p 1 p = m-1 i=0 k n=1 ti+1 ti anfndu p 1 p = m-1 i=0 k n=1 an2 -n p ti+1 ti gndu p 1 p , es decir, para a = supn |an| se tiene m-1 i=0 ti+1 ti k n=1 anfndu p 1 p = m-1 i=0 k n=1 2 (Gn(ti-1) – Gn(ti)) p 1 p (2.16) Sea ahora 1 = i = m ?jo. Se divide la suma k n (2.17) n=1
en dos sumas S1,S2, donde
S1 = n:ti-ti-1=2-n S2 = n:ti-ti-1>2-n n
n (2.18)
(2.19) Obviamente se cumple para ti – ti-1 = 1 2n la acotaci´on ti
ti-1 gn(u)du = 2n(ti – ti-1). |Gn(ti) – Gn(ti-1)| =
Entonces es n S1 = n:ti-ti-1=2-n = (ti – ti-1) n:ti-ti-1 =2-n n (2.20) Reescribiendo esta desigualdad es S1 = (ti – ti-1) mi n=0 n (2.21) 39
n(1-np) 2(mi+1)(1-p) – 1 21-p – 1 2(1-p) – 1 2(mi+1)(1-p) 2(1-p) 2(1-p) – 1 2mi(1-p). S1 = Cp (1)(ti – ti-1) p 2(1-p) 2(1-p) – 1 2- p. 2- p, donde 2mi = 1 ti – ti-1 , (2.22) pero 2mi+1 > 1 ti – ti-1 . (2.23) Pero la suma en la parte derecha de (2.21) es una progresi´on geom´etrica ?nita. Entonces mi
n=0 2 1 1 1 =
=
= 1 1 1
1 1 (2.24) De ello se deduce entonces por (2.22) la acotaci´on
1
con C(1) p = 1 1 . Por otra parte, de (2.15) es f´acil de ver que 0 = Gn(x) = 1 para todo x ? [0,1], entonces
|Gn(x) – Gn(y)| = 1
para todos x,y del intervalo cerrado [0,1] y todo n´umero natural n. Por tanto S2 = n n:ti-ti-1 0 existe un n´umero real de > 0 con |sp(f,g) – I| < , para cualquier partici´on p de [a,b] de norma menor que de y cualquier selecci´on de los puntos intermedios ?i. En ese caso el valor I se llama integral de tipo Riemann-Stieltjes de f respecto a g en [a,b] y se denota b f(x)Dg(x). a
42
G(x) = N´otese que si en lugar de funci´on g ? JFp[a,b] se considera la funci´on x a g(u)du, sp(f,g) = entonces por (2.30) se tiene
n i=1 f(?i) ti ti-1 g(u)du = n i=1 f(?i)(G(ti) – G(ti-1)). Por tanto, se deduce que existe la integral de tipo Riemann-Stieltjes de f respecto a una funci´on g ? JFp[a,b] en [a,b] si y s´olo si existe la integral cl´asica de Riemann- Stieltjes de f respecto a la funci´on G en [a,b].
Por otra parte, se tiene que sp(f,g) = n i=1 f(?i) ti ti-1 g(u)du = n i=1 ti ti-1 f(?i)g(u)du. Ahora, dada la relaci´on entre las funciones g y G, obviamente es g p = G Vp = Vp(g) 1 q y aplicando el teorema 1.17 se obtiene entonces:
Teorema 2.13 Sean f,g dos funciones de?nidas en el intervalo cerrado [a,b], tal que f(a) = 0 y g ? JFq[a,b] y sean p,q tales que p + 1 > 1. Entonces para toda partici´on p de [a,b] se cumple |sp(f,g)| = 1+ ? 1 p + 1 q Vp(f) g q, donde ?(t) = 8
n=1 1 nt es la funci´on Zeta de Riemann.
Este teorema permite a?rmar que si la funci´on f, de p-variaci´on acotada en [a,b], es integrable de tipo Riemann-Stieltjes respecto a la funci´on g ? JFq[a,b], entonces se cumple b a fDg = 1+ ? 1 p + 1 q Vp(f) g q, 43
1 q 1 q para p + 1 > 1. De hecho, la integrabilidad de f respecto a g queda garantizada si f es absolutamente p-continua en [a,b] (ver ([20]), de donde se deduce el siguiente teorema: Teorema 2.14 Sean las funciones f ? Cp[a,b] y g ? JFq[a,b] con p + 1 > 1. Entonces f es integrable de tipo Riemann-Stieltjes respecto a g en [a,b] y se cumple b a fDg = 1+ ? 1 p + 1 q Vp(f) g q. donde ? es la funci´on Zeta de Riemann. Este teorema permite identi?car al espacio JFp[a,b] como subespacio del espacio dual de Cp[a,b]. Sin embargo, la obtenci´on de un teorema de representaci´on para los elementos de (Cp[a,b])*, exige un estudio m´as profundo de la relaci´on entre estos espacios, lo cual queda como objetivo de trabajos futuros. Es en esta l´inea que se de?nen tambi´en en el siguiente ep´igrafe ciertas variaciones en la de?nici´on del espacio de funciones de tipo James, las cuales pudieran apoyar en dicha investigaci´on. 2.4. Sobre posibles generalizaciones del espacio ´ de funciones de tipo James
La siguiente constituye una variaci´on de la de?nici´on del espacio de funciones de tipo James a partir de la misma idea original de Lindenstrauss y Stegall (ver [13]): Definicion 2.6 Se llama p-variaci´on integral de una funci´on f : [a,b] ? R al valor JVp(f) = sup p n-1 i=0 ti+1 ti f(u)du p 1 p (el supremo se toma sobre todas las particiones p : a = t0 < t1 < … < tn = b de [a,b]). Se denota por IVp[a,b] al espacio de las funciones de p-variaci´on integral acotada. Es decir, JVp(f) < 8}. IVp[a,b] = {f : [a,b] ? R;
En IVp[a,b] se de?ne la relaci´on f ~ g ? JVp(f – g) = 0. Resulta sencillo comprobar que ´esta de?ne una relaci´on de equivalencia en IVp[a,b]. Se denota por IV p[a,b] al espacio cociente IVp[a,b]/~.
44
= e De manera an´aloga al comentario desarrollado en la de?nici´on de JFp[a,b] se com- prueba que este espacio (de clases de equivalencia) puede ser f´acilmente identi?cado como un espacio de funciones. Entonces se cumple el siguiente teorema.
Teorema 2.15 El espacio IV p[a,b] es un espacio de Banach con la norma f p = JVp(f). Demostraci´on: La demostraci´on de las propiedades de la norma es totalmente an´aloga a la desa- rrollada en el teorema 2.3.
Para comprobar que IV p[a,b] es un espacio de Banach, sea {fn} una sucesi´on de Cauchy en IVp[a,b], es decir, para todo e > 0 existe N > 0 tal que fn – fm p 1.
En los estudios por la obtenci´on de un teorema de representaci´on para este espacio, se proponen adem´as dos posibles generalizaciones, de las cuales una se re?ere en particular a funciones abstractas f : [a,b] ? X, siendo X un espacio normado. La ventaja de este tipo de de?nici´on es que se basa en una cierta convergencia d´ebil, lo cual pudiera conducir a buenos resultados en relaci´on con la dualidad. 49
´ Recomendaciones
Al obtener en esta tesis una colecci´on considerable de resultados acerca de la estructura del espacio JFp[a,b] surge como inquietud natural la cuesti´on sobre la dualidad de este; dej´andose esta ultima como l´inea de trabajo para dar continuidad a la investigaci´on.
Tambi´en, dada la naturaleza de algunas t´ecnicas de demostraci´on utilizadas se im- pone la idea de buscar apoyo en la teor´ia de aproximaci´on para esclarecer y establecer relaciones entre los espacios que aqu´i se estudian y otros ya conocidos.
Tampoco resultar´ia ocioso trabajar sobre las ideas de generilaci´on expuestas, con- siderando X un espacio con determinadas caracter´isticas pre?jadas. 50
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