En el siguiente gráfico vemos la cónica que representa la ecuación cuadrática anterior
En este caso la matriz de la cónica y las matrices adjuntas correspondientes son
Las figuras que representan las ecuaciones cuadráticas pueden ser, además de elipses, hipérbolas y parábolas, pares de rectas tanto secantes como paralelas y estas últimas pueden ser distintas o coincidentes. También puede darse el caso de que la ecuación sea verificada por un único punto o por ninguno. Alguna de estas últimas también se pueden obtener como secciones cónicas como se ve en las imágenes siguientes:
Clasificación
Las cónicas son las curvas resultantes al cortar un doble cono de revolución mediante un plano. Dependiendo de la posición del plano nos quedarán circunferencias, elipses, hipérbolas o parábolas. Estas curvas presentan una serie de propiedades que las hacen muy útiles en gran variedad de campos, sobre todo en óptica, transmisión de señales, astronomía, etc. Repasemos un poco las características de todas ellas y veamos alguna aplicación CIRCUNFERENCIA ————— Es el lugar geométrico de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto que llamaremos centro. Las aplicaciones de la circunferencia son infinitas, empezando por el invento de la rueda, así como la cantidad de veces que la naturaleza presenta esta figura geométrica.
La ecuación de una circunferencia centrada en el origen y de radio r es
ELIPSE ———-
Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos llamados focos es constante. La ecuación de una elipse centrada en el origen y de semiejes a y b, será 
Las elipses presentan una propiedad muy curiosa. Si lanzamos un cuerpo desde uno de los focos y este rebota en las paredes de la elipse, entonces pasará por el otro foco. Y esto es cierto con un objeto, con un rayo de luz, con una onda, etc. Por ejemplo, en las llamadas capillas de los secretos, si una persona colocada en uno de los focos murmura en voz baja, el sonido rebota contra las paredes y llega al otro foco, de forma que una persona colocada en el otro foco escucha la conversación mejor que las personas que están más cercas del orador, pues todos los rebotes le llegan. Otra aplicación es la construción de hornos elípticos, donde se coloca la fuente emisora de calor en uno de los focos y el cuerpo a calentar en el otro foco, pues será el punto que más calor reciba. Por otra parte, se puede demostrar que todo sistema planetario gira alrededor de una estrella o planeta siguiendo una trayectoria elíptica con la masa central colocada en un foco PARABOLA ———–
Es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de un punto llamado foco y una recta llamada generatriz
Una ecuación de una parábola sencilla es 
Las parábolas al igual que las elipses presentan algunas propiedades interesantes. Si lanzamos el cuerpo desde el foco a cualquier punto de la parábola este seguirá una trayectoria tras el choque siempre perpendicular a la directriz. Esta propiedad tiene mucho interés pues por ejemplo: Los faros de los coches son de forma parabólica, situando la bombilla en el foco se consigue que los rayos formados por las distintas reflexiones salgan todos paralelos, de forma que alumbran más lejos. Por la simetría de la óptica, todo rayo que provenga de un emisor muy lejano, incidirá en la parábola con rayos paralelos, de forma que si orientamos bien la parábola podemos concentrar todos esos rayos en el foco. Así por ejemplo podemos construir un horno solar, de forma que colocamos el objeto a calentar en el foco. Algo parecido ocurre en las llamadas antenas parabólicas. Las ondas provenintes de un satélite que está muy lejos llegan paralelas, y si orientamos bien la parábola todas convergerán en el foco, que es deonde colocamos el receptor. El nombre de estas antenas se debe a su forma parabólica. Por otra parte todo cuerpo sometido a una fuerza central como un peso seguirá una trayectoria parabólica al ser lanzado.
HIPERBOLA ————-
Es el lugar geométrico de los puntos tales que la diferencia de la distancia a dos puntos llamados focos es constante. La ecuación de una hipérbola centrada en el origen y de semiejes a y b es 
Las hipérbolas presentan propiedades ópticas parecidas a las elipses. Debido a sus características tienen aplicaciones por ejemplo en la construcción de telescopios de tipo Cassegrain, así como en el sistema de navegación LORAN (long range navigation)
Elementos notables de las cónicas
Centro:
Polar Dado un punto P=(x0,y0) se llama polar de P respecto de una cónica C de matriz A a la recta de ecuación
Si el punto P está en la cónica C entonces la recta polar de P respecto a C es precisamente la recta tangente a la cónica en dicho punto P.
Ejemplo:
Consideremos la cónica de ecuación
que matricialmente se escribe como
Utilizando la tabla de clasificación vemos que se trata de una elipse real puesto que
La polar del punto (1,2) será la recta
Observamos que el punto (1,2) pertenece a la cónica y por lo tanto la polar coincide con la recta tangente en dicho punto.
La polar del punto (1,1) es la recta
La polar del punto (3/2, 9/4) es la recta
Es posible que un punto P=(x0,y0) no tenga polar respecto a una cónica C. Las coordenadas de los puntos que no tienen polar deben verificar el sistema de ecuaciones
que impone que los coeficientes de x e y en la recta polar sean nulos (es decir que no exista dicha recta).
Para que este sistema tenga alguna solución se ha de verificar
Además si det A00 es no nulo, entonces la solución del sistema es única y por lo tanto habría un único punto que no poseerá recta polar. Este punto se denomina centro de la cónica. No todas las cónicas tienen centro.El centro de la cónica tiene la particularidad de ser su centro de simetría.
Si C es una elipse o una hipérbola entonces det A00 ? 0 y el sistema es compatible determinado lo que indica que estas cónicas tienen centro y que éste es único.Ejemplo:
En la elipse del ejemplo anterior el centro será el punto (2,2) única solución del sistema de ecuaciones
Sin embargo si la cónica es una parábola, todos sus puntos tienen polar. La parábola es por tanto una cónica sin centro.
Polo Dada una recta r diremos que un punto P es un polo de r respecto a una cónica C si r es la polar de P respecto a C
Diámetro Llamaremos diámetro de una cónica C a cualquier recta sin polo.
Diremos que dos diámetros son conjugados si no son asíntotas (en el caso de la hipérbola) y uno de ellos coincide con el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas determinadas por la cónica en las rectas paralelas al otro.
Ecuaciones cónicas
Ecuación de la circunferencia
Ecuación reducida
Ecuación de la elipse
Excentricidad
Ecuación reducida
Elipse de eje vertical
Elipse de eje horizontal y centro distinto al origen
Elipse de eje vertical y centro distinto al origen
Ecuación de la hipérbola
Excentricidad
Asíntotas
Ecuación reducida
Hipérbola de eje vertical
Hipérbola de eje horizontal y centro distinto al origen
Hipérbola de eje vertical y centro distinto al origen
Hipérbola equilátera
Hipérbola equilátera referida a sus asíntotas
Ecuación de la parábola
Ecuación reducida de la parábola
De ejes el de abscisas y de vértice el origen de coordenadas
De ejes el de ordenadas y de vértice el origen de coordenadas
Parábola con eje paralelo a OX y vértice distinto al origen
Parábola con eje paralelo a OY, y vértice distinto al origen
Aplicaciones de las cónicas
Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.
También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.
Las órbitas planetarias son elipses, así que el estudio de éstas permite determinar la posición futura de los planetas, si habrá eclipses, etc. Otra propiedad de la elipse es que si imaginamos que una onda parte de uno de sus focos y rebota contra la pared, esta pasará por el otro foco.Algunos cuerpos celestes como los cometas o también partículas atómicas describen trayectorias hiperbólicas en lugar de elípticas.Las antenas para ver la televisión por satélite reciben el nombre de parabólicas. Esta forma es la adecuada para concentrar la señal sobre un punto, que recibe el nombre de foco de la parábola. Incluso he oído hablar de un ingenio parabólico que concentra los rayos del sol en un punto y nos permite cocinar los alimentos con energía limpia. Los faros de los coches funcionan también con espejos parabólicos que proyectan la luz hacia delante.
Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.
La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.
Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se desplaza de la posición focal.
Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol. También le corresponde esta figura a los cometas y satélites. Además se cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos.
Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se vuelven elípticas.
La Circunferencia en la Música
Se utilizan técnicas circunferenciales para muchas cosas. Por ejemplo; Los Cds, piezas ordinarias en la música actual, son una placa circular con un borde que termina siendo una circunferencia. Al centro se observa un orificio redondo que sirve para tomar el Cd y para que la radio lo reproduzca. Estas piezas de la electrónica requieren de mucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo tanto para su fabricación se usan las técnicas del radio y el diámetro.
La Circunferencia en las Armas
Como ya hemos dicho, el diámetro es un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro, este diámetro es lo que se usa para medir el tamaño de agujeros como lo es en las armas. Se habla normalmente de pistolas calibre de 6.35 mm, 7.65 mm, 9 mm, etc. Esto no es solo un "nombre", sino que esto se refiere al tamaño del agujero (cañón) por donde salen los proyectiles (balas) del arma, usando el tamaño del diámetro y usando una medida milimétrica para lograrlo.
La Circunferencia en el Transporte
En el transporte también podemos apreciar la presencia de la Circunferencia, de hecho, donde se puede notar y ejemplificar mejor es en la Bicicleta, un conjunto de tubos metálicos con dos ruedas que aplican la geometría perfectamente: Las ruedas están hechas de un "arco" . La mejor parte de esto es que la rueda se afirma desde el centro y desde este salen un montón de alambres delgados llamados "rayos" y estos son radios que mantienen la forma circunferencial de la rueda perfectamente. Otra cosa es que el tamaño de la rueda es medido en Aro 24, 26, etc. Y esto se hace usando el diámetro.
La Circunferencia en los Deportes
Quizás parezca que en la única parte en donde podría aplicarse la Circunferencia en los deportes sería en los balones… Pero no, si solo nos detenemos a pensar un poco nos daremos cuenta que muchas de las canchas o lugares en donde se practican deportes tienen marcas geométricas y Circunferencias que determinan situaciones reglamentarias, etc. Los campos de Futbol, las canchas de Basquetbol, los campos de Futbol Americano y en muchas más.
La Circunferencia, también presente en la Naturaleza
La circunferencia también está presente en la naturaleza, aunque no sea totalmente precisa.
Los árboles, tipos de vida antiquísimos, crecen con el pasar de los años. Primero crecen pequeñas ramificaciones desde el suelo. Luego crecen más y con esto va aumentando el grosor de su Tronco. La circunferencia se aplica entonces debido a que las personas relacionadas con la Naturaleza como los Ingenieros Forestales, saben perfectamente que al cortar un árbol, se pueden apreciar muchos "anillos" que están en el tronco. Y con el "tamaño" de cada anillo, se puede determinar la edad que tiene cierto árbol. Lo que nuevamente se usa, entonces, es el diámetro de cada anillo.
En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica.
Propiedad Óptica
Consideremos un espejo que tenga forma de hipérbola. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejará alejándose directamente del otro foco.
Trayectorias de cometas
Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas.
El reloj de sol
Cada día el Sol, desde que sale por el Este y se pone por el Oeste, describe sobre el cielo un arco de circunferencia. Este movimiento es aparente, porque, en realidad, es consecuencia del movimiento diario de rotación de la Tierra. Desde hace mucho tiempo se sabe que, cuando el Sol recorre el cielo a lo largo de un día, la sombra que proyecta un objeto fijo describe una curva cónica. Esto se puede comprobar experimentalmente si se va marcando, por ejemplo, cada media hora, sobre una superficie plana el límite de la sombra que proyecta un objeto cualquiera. Los relojes de sol se fundamentan en este hecho. Están provistos de un marcador o estilete, llamado gnomon, que proyecta su sombra sobre una superficie plana donde están señalizadas las horas. El extremo de la sombra indica la hora solar correspondiente. El sol, por lo lejano que está, se considera como un foco puntual de luz. La línea imaginaria que le une con el extremo del gnomon recorre a lo largo del día parte de la superficie de un cono, también imaginario. La superficie de este cono se corta por el plano del reloj donde se observa la sombra del extremo del gnomon. Por eso, la trayectoria que sigue esa sombra es la de una cónica. En las latitudes de la Península Ibérica (de 38º a 42º) esa cónica es siempre una hipérbola, tanto más curvada cuanto más próximo esté el día 21 de Junio (solsticio de verano) o al 21 de Diciembre (solsticio de invierno). En dos días del año, la trayectoria de la sombra que proyecta el gnomon es una recta en todos los lugares de la Tierra. Esto ocurre en los días 21 de marzo (equinoccio de primavera) y 23 de septiembre (equinoccio de otoño). La razón es que, en esos días, la trayectoria del Sol y el extremo del gnomon están en un mismo plano que corta al plano de observación en una recta.
Autor:
Chacaltana Martínez, Pierre
Siancas Pérez, Marcelo
Pérez Cumpa, Franklin
Loyola Chávez, Jhonatan
Lozano Gonzalo, Erick
Montoya Miranda, Jonathan
García Cruz, Luis
Huamán De La Cruz, Diego
Ávila Collantes, Kelvin
MONOGRAFÍA
CURSO: MATEMÁTICA
EAP: TECNOLOGÍA MÉDICA
RADIOLOGÍA
2010
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