1. INTRODUCCIÓN
Desde hace mucho tiempo se ha tratado de tener a la teoría de conjuntos como el pilar fundamental de ese frondoso árbol que denominamos matemática. Por ello se ha trabajado con mucho afán en su completa elaboración. Fue Georg Cantor quien sembró esta teoría por allá en el siglo XIX y desde entonces un gran número de muy buenos matemáticos han desfilado por ella haciendo nuevos e interesantes aportes. Sin embargo, al aplicar las leyes de la lógica junto a las del álgebra, seguimos encontrando absurdos como los siguientes:
a) 2 3 o 2 3
b) {0, 1} {0, 1, 2}; etc.
El siguiente trabajo pretende corregir o subsanar al anterior, titulado "PROYECTO PARA MEJORAR LA TEORÍA DE CONJUNTOS", publicado en la página web "monografías.com". En éste de ahora se exhibe una dúctil propuesta sobre cómo evitar los absurdos que se presentan en tan bella teoría, y se acepta que los conjuntos de conjuntos (conjuntos cuyos elementos son conjuntos) pueden seguir llamándose conjuntos, pero adicionando algunas definiciones que le atañen. Dicha propuesta no es exhaustiva, pues, es imposible serlo en un trabajo de una dimensión tan pequeña como el que acá se exhibe. Pero queda abierta la posibilidad de seguirla expandiendo hasta hacerla absoluta. Se supone conocido por el lector todo lo referente a teoría de conjuntos.
2. DEVELANDO DEBILIDADES EN LA TEORÍA DE CONJUNTOS
Al estudiar la teoría de conjuntos aprendemos que "para todo conjunto A, si existe una función cualquiera f: A B, entonces
f(A) = {f(x) / x A}". (I)
Como lo anterior es A y f aplicada a A, y, además, se nos enseña que todo objeto es un conjunto, entonces, si A y B son equipotentes, para una función
f: A B, siendo A = y B =
Podemos suponer que
f(
) = 
. (1)
Ahora tenemos que A1 = {0, 1}. f(
) = f(A1) = B1. Nuestra pregunta ahora es: ¿Cómo evitar que alguien le aplique a f(A1) la definición de (I)? No es posible evitarlo, pues, en f(A1) se tiene una función f aplicada al conjunto A1, que por (I) es
f(A1) = {f(x) / x A1}.
(2) Ahora por (1) y (2) se tiene
{f(0), f(1)} = {1, 2, 3}. (3)
Y en (3) tenemos un absurdo, pues, tenemos un conjunto binario igual a uno ternario.
Ahora bien, meditemos un poco sobre el absurdo anterior. Usted como matemático tal vez razonaría así: No es posible ese absurdo porque la función f es para el conjunto A, es decir, f es una función f: A B, y no para ningún elemento A1 de A. Por su parte, otro actor podría razonar así: La imagen del conjunto A1, por medio de la función f, es el conjunto B1, es decir, f(A1) = {1, 2, 3} = B1. Entonces existe f: A1 B1. En consecuencia, es aplicable la igualdad (I). Y de esta manera, nuestra formalidad es muy débil para detener el absurdo anterior. Para evitar esto, es necesaria una definición que nos obligue a ver al conjunto A1 como a un objeto y no como a un conjunto; dicha definición se expondrá más adelante.
Otro absurdo que podemos obtener de nuestra teoría se da por el hecho de aceptar que los números naturales son conjuntos. Veamos.
Sabemos que
2 = {0, 1} (a) y 3 = {0, 1, 2} (b). Pero
{0, 1} {0, 1, 2} (c) y 2 {0, 1, 2} (d). Ahora, por (a), (b), (c), (d) y el principio de identidad, se tiene
{0, 1} {0, 1, 2}; 2 3 y 2 3. (1) Y las tres expresiones de (1) son incorrectas (un absurdo).
Ahora bien, el absurdo anterior sólo tiene una manera de soslayarlo y es aceptando que cada número natural es un objeto y no un conjunto. Por otra parte, al tomar a cualquier objeto como un conjunto debemos especificar qué cosas o elementos pertenecen a dicho conjunto. En consecuencia, si un punto A, por poner un ejemplo, es un conjunto, ¿qué cosas pertenecen al punto A? Puesto que un punto es nada, al ser un conjunto, sus elementos son nada. Por lo tanto, un punto es un conjunto de puntos y esto es una falsedad.
Todo lo anterior nos hace inferir que nuestra teoría de conjuntos necesita algunas correcciones. Pero estas correcciones no se deben cimentar en explicar que "lo de tomar a un objeto cualquiera como conjunto es sólo una forma de hablar". En una ciencia como la matemática, en la cual siempre está implícita la lógica, una cosa es "por lo que es" y no por una mera forma de hablar.
3. DEFINICIONES QUE PERMITIRÍAN MEJORAR LA TEORÍA DE CONJUNTOS
3.1. Objetos bien determinados (obds)
Se entenderá por objeto bien determinado (obd) a cualquier elemento con una propiedad específica. Por ejemplo, un punto A (que pertenece a una recta, a un plano, etc.). Ahora bien, una vez que los puntos de una recta se constituyen en dicha recta, ésta pasa a ser un obd. De manera que una recta, al igual que un plano, se puede ver como un conjunto de puntos o como un obd si se toma a dicha recta como elemento de un plano o del espacio; o a dicho plano como elemento del espacio. Un hombre es un conjunto de átomos, pero una vez que los átomos se agrupan y forman al hombre, éste se puede tomar como un obd. Otros obds son: un plano, una letra de nuestro alfabeto, un libro, una silla, etc.
De manera que la propuesta es: no tomar a toda cosa como conjunto, sino como objeto. Al hacer esto, tal vez se necesite un nuevo axioma que rece: "Para todo obd (objeto bien determinado), existe al menos un conjunto que lo contiene". Y de allí en adelante, los demás axiomas de la teoría, ya sea ZF o NBG.
3.2. Conjuntos
En nuestra teoría de conjuntos los conceptos: elemento, conjunto y pertenencia no se definen. Sin embargo, es necesario especificar lo que se entenderá como conjunto. Se entenderá como conjunto a una colección o reunión de obds. Ejemplo: el conjunto V de las vocales V = {a, e, i, o, u}; el conjunto de integrantes de un equipo de beisbol. Un par ordenado, (a, b), es un obd y una colección de pares ordenados, {(a, b), (a, c),…} es un conjunto. El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto es un conjunto, etc. Así, existen cosas que son conjuntos y cosas que no lo son.
Observe el lector, que a los conjuntos de conjuntos se les puede seguir llamando conjuntos. Pero para evitar el primer absurdo que vimos en la sección 2 debemos dar algunas definiciones, en cuanto a las funciones, que no aparecen en nuestra teoría de conjunto tradicional. Por otra parte, a los conjuntos que son elementos de un conjunto se les deberá tratar como si fueran obds. Veamos por qué. Sean A y B dos conjuntos dados como sigue
A = 
y B = {0, 1}. Entonces
A B = C =
.
Si ahora decimos que los elementos del conjunto C son conjuntos, estaríamos aceptando que 0 y 1 son conjuntos y ya vimos que no debe ser así. En consecuencia, a los elementos de C se les debe ver, sencillamente, como objetos.
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