Coordenadas baricéntricas de los puntos notables del triángulo (página 2)

Observación 3.10:

Si ABC no es un triangulo rectángulo, las tangentes a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC (en los puntos A, B y C) se cortan en los puntos A", B" y C" y el triángulo A"B"C" se llama el triángulo tangencial asociado al triángulo ABC (figura 3.15). Obviamente, la circunferencia circunscrita al triángulo ABC es la circunferencia inscrita en el triángulo A"B"C" y las simedianas del triángulo ABC serán las rectas de Georgonne del triángulo tangencial. Así, según el teorema 3.9, las simedianas de un triángulo no rectángulo concurren en el punto de Georgonne S del triángulo tangencial y se llamará centro simedian o punto de Lemoine.

Lema 3.2: Si el triángulo ABC no es rectángulo y es el triángulo tangencial asociado al triangulo ABC,

, donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC ..

En efecto, si M (x) significa la medida del ángulo o del arco x (en radianes), entonces

Luego, teniendo en cuenta la igualdad de los triángulos rectángulos

, y operando en los triángulos rectángulos OB"C se obtiene que

La demostración de las otras igualdades es análoga.

Teorema 3.21: Si ABC no es un triángulo rectángulo, el punto de Lemoine L del triángulo ABC es el baricentro del sistema de puntos ponderados siguiente:

, donde

, o bien

Demostración: Siguiendo la figura 3.15 y teniendo en cuenta que el punto L es el punto de Georgonne del triángulo tangencial, según (2.8"),

, donde, según el lema 3.2,

y

Luego,

Multiplicando los números primero con (-1) y luego, el resultado por se obtienen las coordenadas baricéntricas del punto de Lemoine enunciadas en el teorema, de las dos maneras distintas.

Teorema 3.22: Si el triangulo ABC es rectángulo, las coordenadas baricéntricas del punto de Lemoine se calculan de acuerdo con las implicaciones siguientes:

Demostración: Si ABC es un triángulo no rectángulo y entonces la posición límite de las simedianas y del punto de Lemoine del triángulo no rectángulo serán las simedianas y el punto de Lemoine del triángulo rectángulo en

Multiplicando las coordenadas baricéntricas por se obtienen las coordenadas baricéntricas del punto de Lemoine enunciadas para el caso

En el caso se dividen las coordenadas baricéntricas del punto de Lemoine entre y se obtienen las coordenadas baricéntricas siguientes:

, y pasando al límite resulta que:

Multiplicando las coordenadas baricéntricas por se obtienen las coordenadas baricéntricasdel punto de Lemoine enunciadas para el caso

En el caso pasando al límite en las coordenadas baricéntricas del punto de Lemoine se obtienen las coordenadas baricentricas siguientes:

Multiplicando las coordenadas baricéntricas por se obtienen las coordenadas baricéntricas del punto de Lemoine, enunciadas para el caso

Si se conocen las coordenadas de los vértices de un triangulo, el código siguiente (en el lenguaje Visual-Basic) puede servir para averiguar las coordenadas de los puntos notables y el valor de algunos otros elementos y representarlos en la pantalla de un ordenador, según la teoría expuesta anteriormente:

Public Function PNTriangulo(ByRef a() As Double, ByRef b() As Double, ByRef c() As Double) As String

Dim ab As Double, ac As Double, bc As Double, per As Double, p As Double, S As Double, swtri As Integer

Dim q(3) As Double, X(3) As Double, y(3) As Double, xg As Double, yg As Double, xo As Double, yo As Double

Dim xh As Double, yh As Double, xi As Double, yi As Double, xiA As Double, yiA As Double

Dim xe As Double, ye As Double, xLE As Double, yLE As Double

Dim xiB As Double, yiB As Double, xiC As Double, yiC As Double

Dim xpg As Double, ypg As Double, xpga As Double, ypga As Double, ypgb As Double

Dim xpgc As Double, ypgc As Double

Dim xpn As Double, ypn As Double, xpna As Double, ypna As Double, xpnb As Double, ypnb As Double

Dim xpnc As Double, ypnc As Double

Dim angA As Double, angB As Double, angC As Double

Dim angAD As Double, angBD As Double, angCD As Double

Dim radioc As Double, radioi As Double, riA As Double, riB As Double, riC As Double

Dim hip As String, r() As Double, rad As Double, resultados As String, rc As String

rad = 45 / Atn(1): rc = Chr$(13) + Chr$(10)

If (a(1) – b(1)) * (a(2) – c(2)) – (a(2) – b(2)) * (a(1) – c(1)) = 0 Then

MsgBox "Los puntos A, B y C están alineados. Verifique la coordenadas introducidas", 48

Exit Function

End If

X(1) = a(1): X(2) = b(1): X(3) = c(1): y(1) = a(2): y(2) = b(2): y(3) = c(2)

'Cálculo de los lados

ab = Sqr((a(1) – b(1)) ^ 2 + (a(2) – b(2)) ^ 2)

ac = Sqr((a(1) – c(1)) ^ 2 + (a(2) – c(2)) ^ 2)

bc = Sqr((b(1) – c(1)) ^ 2 + (b(2) – c(2)) ^ 2)

'Cálculo del perímetro

per = ab + ac + bc: p = per / 2

'Cálculo de las cooredenadas del centro de gravedad

xg = (a(1) + b(1) + c(1)) / 3: yg = (a(2) + b(2) + c(2)) / 3

' ¿El triángulo es rectángulo?

If (a(1) – c(1)) * (b(1) – c(1)) + (a(2) – c(2)) * (b(2) – c(2)) = 0 Then

swtri = 1: hip = "AB"

End If

If (a(1) – b(1)) * (c(1) – b(1)) + (a(2) – b(2)) * (c(2) – b(2)) = 0 Then

swtri = 1: hip = "AC"

End If

If (b(1) – a(1)) * (c(1) – a(1)) + (b(2) – a(2)) * (c(2) – a(2)) = 0 Then

swtri = 1: hip = "BC"

End If

'Cálculo de los ángulos

If swtri = 0 Then

t = 0.5 * (ac * ac + ab * ab – bc * bc) / (ac * ab)

angA = Atn(-t / Sqr(1 – t * t)) + 2 * Atn(1)

angAD = angA * rad

t = 0.5 * (ab * ab + bc * bc – ac * ac) / (ab * bc)

angB = Atn(-t / Sqr(1 – t * t)) + 2 * Atn(1)

angBD = angB * rad

t = 0.5 * (ac * ac + bc * bc – ab * ab) / (ac * bc)

angC = Atn(-t / Sqr(1 – t * t)) + 2 * Atn(1)

angCD = angC * rad

Else

If hip = "BC" Then

angA = 2 * Atn(1): angAD = 90

angB = Atn(ac / bc): angBD = rad * angB

angC = 2 * Atn(1) – angB: angCD = rad * angC

Else

If hip = "AB" Then

angC = 2 * Atn(1): angCD = 90

angB = Atn(ac / ab): angB = rad * angB

angA = 2 * Atn(1) – angB: angAD = rad * angA

Else

angB = 2 * Atn(1): angBD = 90

angC = Atn(ab / bc): angCD = rad * angC

angA = 2 * Atn(1) – angC: angAD = rad * angA

End If

End If

End If

' Cálculo del ortocentro

If swtri = 0 Then

q(1) = Tan(angA): q(2) = Tan(angB): q(3) = Tan(angC)

xh = fx(q(), X()): yh = fy(q(), y())

Else

If hip = "BC" Then

xh = a(1): yh = a(2)

Else

If hip = "AB" Then

xh = c(1): yh = c(2)

Else

xh = b(1): yh = b(2)

End If

End If

End If

'Cálculo del circuncentro

If swtri = 0 Then

q(1) = bc * Cos(angA): q(2) = ac * Cos(angB): q(3) = ab * Cos(angC)

xo = fx(q(), X()): yo = fy(q(), y())

Else

If hip = "BC" Then

xo = (b(1) + c(1)) / 2: yo = (b(2) + c(2)) / 2

Else

If hip = "AB" Then

xo = (a(1) + b(1)) / 2: yo = (a(2) + b(2)) / 2

Else

xo = (a(1) + c(1)) / 2: yo = (a(2) + c(2)) / 2

End If

End If

End If

'Cálculo del radio de la circunferencia circunscrita

radioc = Sqr((xo – a(1)) ^ 2 + (yo – a(2)) ^ 2)

'Cálculo del área del triángulo

If swtri = 0 Then

S = Sqr(p * (p – ac) * (p – bc) * (p – ab))

Else

If hip = "BC" Then

S = 0.5 * ab * ac

Else

If hip = "AB" Then

S = 0.5 * ac * bc

Else

S = 0.5 * ab * bc

End If

End If

End If

'Cálculo del incentro

q(1) = bc: q(2) = ac: q(3) = ab

xi = fx(q(), X()): yi = fy(q(), y())

'Cálculo del radio de la circunferencia inscrita

radioi = S / p

'Cálculo de los centros de las circunferencias exinscritas

q(1) = bc: q(2) = -ac: q(3) = -ab

xiA = fx(q(), X()): yiA = fy(q(), y())

q(1) = -bc: q(2) = ac: q(3) = -ab

xiB = fx(q(), X()): yiB = fy(q(), y())

q(1) = -bc: q(2) = -ac: q(3) = ab

xiC = fx(q(), X()): yiC = fy(q(), y())

'Cálculo de los radios de las circunferencias exinscritas

riA = S / (p – bc): riB = S / (p – ac): riC = S / (p – ab)

'Cálculo de las coordenadas del punto de Gorgonne y de sus adjuntos

q(1) = 1 / (p – bc): q(2) = 1 / (p – ac): q(3) = 1 / (p – ab) '''''''''''''''''''

xpg = fx(q(), X()): ypg = fy(q(), y())

q(1) = 1 / p: q(2) = -1 / (p – ab): q(3) = -1 / (p – ac)

xpga = fx(q(), X()): ypga = fy(q(), y())

q(1) = -1 / (p – ab): q(2) = 1 / p: q(3) = -1 / (p – bc)

xpgb = fx(q(), X()): ypgb = fy(q(), y())

q(1) = -1 / (p – ac): q(2) = -1 / (p – bc): q(3) = 1 / p

xpgc = fx(q(), X()): ypgc = fy(q(), y())

'Cálculo de las coordenadas del punto de Nagel y de sus adjuntos

q(1) = p – bc: q(2) = p – ac: q(3) = p – ab

xpn = fx(q(), X()): ypn = fy(q(), y())

q(1) = p: q(2) = ab – p: q(3) = ac – p

xpna = fx(q(), X()): ypna = fy(q(), y())

q(1) = ab – p: q(2) = p: q(3) = bc – p

xpnb = fx(q(), X()): ypnb = fy(q(), y())

q(1) = ac – p: q(2) = bc – p: q(3) = p

xpnc = fx(q(), X()): ypnc = fy(q(), y())

'Cálculo de centro y del radio de la circunferencia de Euler

xe = 0.5 * (xh + xo): ye = 0.5 * (yh + yo): Radioe = 0.5 * radioc

'Cálculo de las coordenadas del punto de Lemoine

If swtri = 0 Then

"Caso del triángulo no rectángulo

q(1) = -1 – Tan(angB) / Tan(angC)

q(2) = -Tan(angB) * (Tan(angA) + Tan(angC)) / (Tan(angA) * Tan(angC))

q(3) = -1 – Tan(angB) / Tan(angA)

xLE = fx(q(), X()): yLE = fy(q(), y())

Else

" Caso de los triángulos rectángulos

If hip="BC" Then

q(1) = Tan(angB)+Tan(angC):q(2) = Tan(angB):q(3) = Tan(angC)

End If

If hip = "AC" Then

q(1) = Tan(angA): q(2) = Tan(angA)+Tan(angC): q(3) = Tan(angC)

End If

If hip = "AB" Then

q(1) = Tan(angA):q(2) = Tan(angB):q(3) = Tan(angA)+Tan(angB)

End If

xLE = fx(q(), X()): yLE = fy(q(), y())

End If

'EDICIÓN DE LOS RESULTADOS

resultados = "Vertices del triángulo:" + rc

resultados = resultados + "A ( " + Str$(a(1)) + " , " + Str$(a(2)) + " ) ; "

resultados = resultados + "B ( " + Str$(b(1)) + " , " + Str$(b(2)) + " ) ; "

resultados = resultados + "C ( " + Str$(c(1)) + " , " + Str$(c(2)) + " )" + rc

resultados = resultados + "Longitud de los lados:" + rc

resultados = resultados + "AB = " + Format$(ab, "0.##0") + " ; "

resultados = resultados + "AC = " + Format$(ac, "0.##0") + " ; "

resultados = resultados + "BC = " + Format$(bc, "0.##0") + rc

resultados = resultados + "Medidas de los ángulos" + rc

resultados = resultados + "Ángulo A = " + Format$(angAD, "0.##0") + " ; "

resultados = resultados + "Ángulo B = " + Format$(angBD, "0.##0") + " ; "

resultados = resultados + "Ángulo C = " + Format$(angCD, "0.##0") + rc

resultados = resultados + "Coordenadas del centro de gravedad G:" + rc

resultados = resultados + "G ( " + Format$(xg, "0.##0") + " , " + Format$(yg, "0.##0") + " )" + rc

resultados = resultados + "Coordenadas del ortocentro H:" + rc

resultados = resultados + "H ( " + Format$(xh, "0.##0") + " , " + Format$(yh, "0.##0") + " ) ; " + rc

resultados = resultados + "Coordenadas del circuncentro O:" + rc

resultados = resultados + "O ( " + Format$(xo, "0.##0") + " , " + Format$(yo, "0.##0") + " )" + rc

resultados = resultados + "Coordenadas del incentro I:" + rc

resultados = resultados + "I ( " + Format$(xi, "0.##0") + " , " + Format$(yi, "0.##0") + " )" + rc

If swtri = 0 Then

resultados = resultados + "Coordenadas del punto de Lemoine LE:" + rc

resultados = resultados + "LE( " + Format$(xLE, "0.##0") + " , " + Format$(yLE, "0.##0") + " )" + rc

End if

resultados = resultados + "Coordenadas de las circunferencias exinscritas., Ia,Ib e Ic" + rc

resultados = resultados + "Ia ( " + Format$(xiA, "0.##0") + " , " + Format$(yiA, "0.##0") + " ) ; "

resultados = resultados + "Ib ( " + Format$(xiB, "0.##0") + " , " + Format$(yiB, "0.##0") + " ) ; "

resultados = resultados + "Ic ( " + Format$(xiC, "0.##0") + " , " + Format$(yiC, "0.##0") + " )" + rc

resultados = resultados + "Área S, Perimetro Pm del triángulo:" + rc

resultados = resultados + "S = " + Format$(S, "0.##0") + " ; Pm = " + Format$(per, "0.##0") + rc

resultados = resultados + "Radio de la circunferencia circunscrita R, redio de la circunferencia inscrita r:" + rc

resultados = resultados + "R = " + Format$(radioc, "0.##0") + " ; " + "r = " + Format$(radioi, "0.##0") + rc

resultados = resultados + "Radios de las circunferencias exiscritas, Ra,Rb y Rc:" + rc

resultados = resultados + "Ra = " + Format$(riA, "0.##0") + " ; "

resultados = resultados + "Rb = " + Format$(riB, "0.##0") + " ; "

resultados = resultados + "Rc = " + Format$(riC, "0.##0") + rc

resultados = resultados + "Coordenadas del punto de Georgonne PG y de sus adjuntos PGa,PGb y PGc:" + rc

resultados = resultados + "PG ( " + Format$(xpg, "0.##0") + " , " + Format$(ypg, "0.##0") + " ) ; "

resultados = resultados + "PGa ( " + Format$(xpga, "0.##0") + " , " + Format$(ypga, "0.##0") + " ) ; "

resultados = resultados + "PGb ( " + Format$(xpgb, "0.##0") + " , " + Format$(ypgb, "0.##0") + " ) ; "

resultados = resultados + "PGc ( " + Format$(xpgc, "0.##0") + " , " + Format$(ypgc, "0.##0") + " )" + rc

resultados = resultados + "Coordenadas del punto de Nagel PN y de sus adjuntos PNa,PNb y PNc:" + rc

resultados = resultados + "PN ( " + Format$(xpn, "0.##0") + " , " + Format$(ypn, "0.##0") + " ) ; "

resultados = resultados + "PNa ( " + Format$(xpna, "0.##0") + " , " + Format$(ypna, "0.##0") + " ) ; "

resultados = resultados + "PNb ( " + Format$(xpnb, "0.##0") + " , " + Format$(ypnb, "0.##0") + " ) ; "

resultados = resultados + "PNc ( " + Format$(xpnc, "0.##0") + " , " + Format$(ypnc, "0.##0") + " )" + rc

resultados = resultados + "Centro Ie y el radio Re de la circunferencia de los 9 puntos de Euler:" + rc

resultados = resultados + "Ie ( " + Format$(xe, "0.##0") + " , " + Format$(ye, "0.##0") + " ) ; "

resultados = resultados + "Re = " + Format$(Radioe, "0.##0") + rc + rc

PNTriangulo = resultados

End Function

Public Function fx(ByRef q() As Double, ByRef X() As Double) As Double

Dim suma As Double

suma = q(1) + q(2) + q(3)

fx = (q(1) * X(1) + q(2) * X(2) + q(3) * X(3)) / suma

End Function

Public Function fy(ByRef q() As Double, ByRef y() As Double) As Double

Dim suma As Double

suma = q(1) + q(2) + q(3)

fy = (q(1) * y(1) + q(2) * y(2) + q(3) * y(3)) / suma

End Function

Bibliografía

N.N. Mihaileanu, Complemente de Geometrie Sintetic?, Editura Didactica ?i Pedagogica, Bucure?ti, 1965

C. Gautier, D. Gerll, G Girard, C. Thircé, A Warusfel, ALEPH1, GÉOMÉTRIE, Terminale CE, Classiques Hachette, 79 Boulevard Saint-Germain, Paris, 1975

C.Mihalescu, GEOMETRIA ELEMENTELOR REMARCABILE, Editura Tehnica,, Bucure?ti, 1957.

Autor:

Aladár Péter Sántha