Coordenadas baricéntricas de los puntos notables del triángulo

Fórmulas fundamentales de la trigonometría plana

Teorema 1.1 (del seno): Si ABC es un triángulo entonces

Donde S es el área y R es del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC.

Demostración: En efecto, ABA"C siendo un paralelogramo,

Ahora, de las igualdades (1.2) – (1.4) resulta la igualdad (1.1).

Observación 1.1: El teorema del seno es útil sobre todo cuando en el triángulo se conocen un lado y los ángulos situados sobre este lado, dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos o dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Teorema 1.2 (del coseno): En el triángulo ABC,

Demostración: Puesto que las dos últimas igualdades se deducen de la primera por permutación circular, basta comprobar la primera:

Observación 1.2: El teorema del coseno es útil para hallar un lado de triángulo

, cuando se conocen los otros dos lados y el ángulo formado por ellos o para hallar los ángulos cuando se conocen los tres lados. En este último caso se aplicarán las fórmulas:

Teorema 1.3 (de Neper): En el triángulo ABC,

Demostración: Utilizando las propiedades de las proporciones, de (1.1) se deduce que

Observación 1.3: La fórmula (1.6.) se puede escribir también en la forma siguiente:

Teorema (1.4) (de Herón): Si se conocen los tres lados a, b y c del triángulo ABC entonces su área S se puede calcular según la fórmula siguiente:

, donde

Demostración: Según la primera fórmula de la observación (2.2),

Observación 1.5:

Conociendo las coordenadas de los puntos A, B y C en un sistema de referencia orto-normal, esta fórmula permite calcular el área del triángulo, sin hallar sus lados y sin aplicar la fórmula de Herón. Utilizando la definición del producto vectorial y el teorema del seno, de la fórmula anterior resulta también que

Baricentro

Teorema 2.1: La función vectorial de Leibniz es constante si el peso del sistema de puntos ponderados es nulo y es biyectiva en el caso contrario.

Demostración:

Definición 2.2: El baricentro del sistema de puntos ponderados (2.1) es el único punto G que cumple una de las dos condiciones equivalentes:

Propiedades del baricentro:

• 1) No depende del orden de los puntos y pertenece al espacio afín E.

4)

Observación 2.2: El isobaricentro G de los puntos A y B cumple la condición:

Así, G es el punto medio del segmento [AB].

Observación 12.2.3: Si ABC es un triángulo, el isobaricentro G del sistema (A,1), (B,1) y (C,1) es el baricentro del sistema (A",2), (C,1) , donde A" es el punto medio de [A,B]. Así G pertenece a la mediana [AA`] y

Observación 2.3: Si en el triángulo ABC A", B" y C" son los puntos medios de los lados [BC], [AC] y [AB], respectivamente entonces

Baricentros notables en un triángulo

En el párrafo anterior se ha visto que el centro de gravedad es el isobaricentro de los puntos A, B y C. A continuación se van a interpretar como baricentros de los puntos A, B , C ciertos puntos notables del triángulo, como son, por ejemplo, el incentro , el circuncentro, el ortocentro, etc.

Teorema 3.1:

Para la existencia de un único punto I que verifique la condición (3.1) es preciso la existencia de unos números reales t, s, u (únicos) tal que

No es difícil comprobar que el último sistema es equivalente a la siguiente:

La compatibilidad del sistema esta asegurada puesto, que al sustituir los valores de s u y t en la última ecuación, la igualdad se cumple. Así,

Por tanto, el punto es el baricentro del sistema de puntos ponderados (12.2.2). Luego, puesto que I es el punto de concurrencia de los tres bisetrices, el punto I se encuentra a la misma distancia de los tres lados, es decir, es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC.

Observación 3.1: Utilizando el teorema del seno resulta que el incentro del trián-gulo ABC es también baricentro del siguiente sistema de puntos ponderados:

Teorema 3.2:

Demostración: Puesto que los vectores

El último de los sistemas equivalentes es compatible determinado, puesto que la cuarta ecuación del sistema se cumple al sustituir en esta ecuación los valores obtenidos para u y t a partir de las tres primeras ecuaciones. Sustituyendo los valores obtenidos para s,t, u en las relaciones (3.8) resultan las fórmulas (3.4) – (3.6).

Teorema 3.3:

Teorema 3.4:

La demostración de los teoremas 3.3 y 3.4 se hace de la misma manera que la del teorema 3.2.

Teorema 3.5:

Si el triángulo ABC no es rectángulo entonces el baricentro H del sistema ponderado

, es el ortocentro del triángulo.

Demostración:

Luego, de manera análoga, se obtiene que

Así, las rectas (AH), (BH) y (CH) son las alturas del triángulo y su punto común H es el ortocentro.

Observación 3.2: De la demostración del teorema anterior resulta que los vectores:

Observación 3.3: Si el triángulo ABC no es rectángulo, El ortocentro del triángulo es el baricento también de los siguientes sistemas ponderados:

En efecto, utilizando los teoremas del seno y del coseno, se puede ver que las ternas siguientes son iguales o proporcionales:

Teorema 3.6:

Demostración: En efecto, (12.3.11) se cumple si y solamente si existen unos números reales t, s, u tales que:

Sustituyendo s en la última ecuación y teniendo en cuenta que para los ángulos de un triángulo se verifica siempre la igualdad:

Así, el sistema (3.23) es equivalente a:

Teorema 3.7:

Si ABC es un triángulo, el punto O, centro de la circunferencia circunscrita, es el baricentro del sistema de puntos ponderados siguiente:

Demostración: Según (12.2.14)

Entonces,

Luego,

Por tanto,

y, según (3.25), el teorema queda demostrado.

Observación 3.4:

En efecto, de lo expuesto en la demostración del teorema anterior resulta que

, y luego, por permutación circular se obtiene que:

Teorema 3.8 (de Ceva):

Si ABC es un triángulo,

Demostración: Primero hay que comprobar las igualdades siguientes:

Luego,

Por tanto, si K es el baricento del sistema de puntos ponderados (3.28)

Para obtener el sistema de puntos ponderados (3.28"), hay que observar que, utilizando la relación de Chasles,

Teorema 3.9 (de Georgonne): Si ABC es un triángulo y C es la circunferencia inscrita en el triángulo, sean D, E y F los puntos de contacto de esa circunferencia con las rectas (BC), (CA) y (AB), respectivamente. Entonces

(3.29)

, y las rectas

(3.30)

, son concurrentes en un punto R que es le baricentro de los puntos ponderados:

, donde son los lados del triángulo y p es el semiperimetro.

Sumando las dos igualdades del sistema, se obtiene que:

Así, sustituyendo el valor obtenido de ? en la segunda ecuación del sistema (3.32) se obtiene que:

, donde se ha tenido en cuenta que los tangentes trazados a una circunferencia desde un mismo punto tienen la misma longitud. Por tanto,

, donde las dos últimas igualdades se pueden obtener de la misma manera que la primera.

Puesto que según el teorema de Ceva, las rectas (3.30) son concurrentes en un punto R, que es el baricentro del sistema ponderado (3.31), puesto que las ternas siguientes son proporcionales:

Lema 3.1:

Demostración: Utilizando (3.4) y (3.20),

De la primera ecuación del sistema resulta que:

Finalmente, (12.3.33) y (12.3.34) se obtienen de (12.3.32) por permutación circular.

Teorema 3.10 (De Georgonne):

Entonces, las rectas

, respectivamente, donde y p es el semiperimetro del triángulo.

Demostración: Según el lema 3.1,

El resto de las afirmaciones del teorema se demuestra de manera análoga.

Teorema 3.11 (de Nagel):

Demostración: Según el lema 3.1,

Por tanto, según el teorema de Ceva, N es el baricentro de los sistemas de puntos ponderados siguientes:

Teorema 3.12 (de Nagel):

Demostración: En efecto, utilizando el lema 3.1,

La demostración del resto de las afirmaciones del teorema es análoga.

Teorema 3.13 (de Euler):

Si en el triángulo ABC , H es el ortocentro, A1, B1 y C1 son las proyecciones ortogonales de los vértices A, B y C sobre las rectas (BC), (AC) y (AB), respectivamente, A", B" y C" son los puntos medios de los segmentos [BC], [AC] y [AB], respectivamente y A", B" y C" son los puntos medios de los segmentos [AH], [BH] y [CH], respectivamente, entonces los nueve puntos siguientes:

Demostración: G siendo el centro de gravedad del triángulo ABC, consideremos las homotécias

Luego, puesto que

A continuación, suponiendo que

Teorema 3.14:

Donde S es el área del triángulo y p es el semiperimetro.

Demostración: En efecto sea I el cetro de la circunferencia inscrita e IA el centro de la circunferencia exinscrita tangente al lado [BC].

El punto I se encuentra a la misma distancia r de los lados del triángulo puesto que I es el punto común de las bisectrices de los ángulos interiores. Así,

Teorema 3.15: Si las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo ABC , correspondientes a los vértices A, B y C, cortan los lados [BC], [CA] y [AB] en los puntos A", B" y C", respectivamente, entonces

, donde p es el semiperìmetro del triángulo.

Demostración:

Así

Las otras dos fórmulas se obtienen por permutación circular.

Teorema 3.16:

Demostración:

Así

Definición 3.1: Si ABC es un triángulo, P es un punto cualquiera del plano, y la recta r que pasa por P corta las rectas (BC) y (AC) en D y E, respectivamente, entonces r es antiparalela a la recta (AB) si

Observación 3.8:

Teorema 3.17: Si ABC es un triángulo y una recta r corta los lados [BC] y [AC] en los puntos D y E, respectivamente, entonces r es antiparalela a la recta (AB) si, y sola-mente si,

Al revés, si se cumple la igualdad 3.39, entonces, teniendo en cuenta que el ángulo C es común en los triángulos ABC y DEC y que los lados que forman este ángulo son proporcionales, resulta que los triángulos son semejantes. Por tanto, los ángulos, que se oponen a los lados correspondientes, son iguales.

Teorema 3.18: Si ABC es un triángulo y SC es la simetría ortogonal respecto a la bisectriz del ángulo entonces la transformada de una antiparalela a la recta (AB) por SC es una paralela a (AB), y al revés.

Demostración: Se recuerda que las simetrías ortogonales son aplicaciones biyectivas que conservan las distancias y los ángulos. Sea r una antiparalela a la recta (AB), que corta las rectas (BC) y (AC) en los puntos D y E, respectivamente (figura 3.12)

Definición 3.2: Una simediana en el triángulo ABC es el simétrico de una mediana respecto a la bisectriz correspondiente al mismo vértice.

Observación 3.9:

Puesto que la mediana (CC") divide el segmento [P"Q"] en dos partes iguales y SC conserva las distancias, resulta que la simediana SMC pasa por el punto medio de [PQ].

Luego, teniendo en cuenta que la mediana (CC") es el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos [P"Q"], paralelos al lado [AB], la simediana SMC será el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos antiparalelos al lado [AB].

Teorema 3.19:

Demostración: Sea (DE) la antiparalela a la recta (AB) que pasa por el punto P. Entonces,

Al revés, si PU = PV, teniendo en cuenta las igualdades (3.40) y (3.41) resulta que los triángulos PUD y PVE son iguales y, por tanto, PD = PE. Así, según la observación 3.9, el punto P pertenece a la simediana SMC.

Teorema 3.20: Si ABC es un triángulo y las rectas (TA) y (TB) son las tangentes a la circunferencia circunscrita al triángulo en los puntos A y B, respectivamente, entonces el punto T se encuentra sobre la simediana SMC.

Demostración: