- Resumen
- Definición
- Construcción geométrica para obtener una curva continua con todos sus puntos angulosos.
- Función de Van der Waerden.
Las funciones continuas y no derivables en un punto (punto anguloso), son usadas y aplicadas en el estudio del análisis matemático en la Facultad de Ingeniería, en el presente trabajo se expone el método de construcción de las curvas continuas, con todos sus puntos angulosos, construcción de tipo geométrico, y se obtiene de forma analítica la función de Van Der Waerden.
CAPITULO I.
Las funciones elementales en su dominio de definición son generalmente de clase . Usando sólo operaciones algebraicas y de composición de funciones elementales, se construyen modelos de funciones cuya derivada no está definida en un conjunto finito o numerable de puntos.
El punto se llama anguloso si
es continua y no derivable en
.
Ejemplos.
. Esta función es continua en
, pero no es derivable en el punto
.
: Punto Anguloso.
Es continua en y presenta n puntos angulosos.
.
Es continua en 
y no es derivable en los puntos 
,
. Esta función presenta un conjunto infinito numerable de puntos angulosos.
1
-7p -5p -3p -p 0 p 3p 5p
2 2 2 2 2 2 2
CONSTRUCCION GEOMETRICA PARA OBTENER UNA CURVA CONTINUA CON TODOS SUS PUNTOS ANGULOSOS.
El principio de la construcción de tal curva es el siguiente:
Dado un segmento AB, y se divide en 3 partes iguales: 
.
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Se construye el triángulo equilátero CMD. De base CD y se obtiene la curva 
. La curva 
tiene tres puntos angulosos: los puntos C, M y D.
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Se repite el proceso en los segmentos: AC, CM, MD, DB y se obtiene la curva
, que presenta 12 puntos angulosos. Repitiendo este proceso se obtiene la curva
; y la sucesión de curvas 
converge a una curva 
que tiene todos sus puntos angulosos. Esta curva 
es llamada curva de Vonkock.
Considerando la función
si: 
(I) 
si: 
½
½ 1
La función V(x) presenta un punto anguloso: 
.
Se define la función periódica:
, 
.
Si:
. La función es periódica de período 1 y la gráfica presenta infinitos puntos angulosos y son de la forma 
y 
, 
.
V(x)
1 -½ ½ 1
La función V(kx) es periódica de período 
, en efecto:
GRAFICO DE LA FUNCION: 
.
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Ahora nos podemos imaginar el gráfico de las funciones 
, 
,
Los puntos en los cuales la función 
no es derivable, aumenta directamente proporcional con k.
Por ejemplo:
- La función:
tiene 3 puntos angulosos en el intervalo 
. - La función:
tiene 7 puntos angulosos en el intervalo 
.
- La función:
tiene 
puntos angulosos en el intervalo
Consideremos la función.
.
se observa lo siguiente:
es decir, la serie que define la función de Van Der Waerden
es una serie que converge totalmente en
.
por (I) y- Hay dos características importantes respecto a la función que no hay que perder de vista, que son su continuidad y su periodicidad.
TEOREMA 1:
es continua en 
y periódica de período 1.
Demostración.
Como la serie 
converge totalmente en 
, entonces la serie converge uniformemente en 
, y como 
son continuas entonces la serie 
es continua, y por la 1-periodicidad de 
se tiene que 
es 1-periódica.
TEOREMA 2: "Teorema de los puntos angulosos".
La función 
no es derivable en los puntos del intervalo y por su periodicidad, en 
.
Demostración.
Sea 
y lo representaremos en el sistema decimal.
Con 
son cifras del conjunto
, astutamente excluiremos la representación periódica de período 9, siguiendo las siguientes reglas.
Se introduce la sucesión: 
, definida de la siguiente forma:
-1 si 
ó 
1 si 
Nos proponemos a estudiar el cociente incremental:
, 
Usando la 1-periodicidad de 
y la definición de 
se tiene:
Y por la 1-periodicidad de 
, se tiene:
, Y por lo tanto:
Por otro lado se tiene:
.
(III) 
Para:
. se tiene:
Por (III) y por la 1-periodicidad de
, se tiene:
(IV) 
Observando la siguiente representación decimal:
Los números decimales:
y 
Son los extremos del intervalo 
ó 
. Es decir:
Y por (I) se tiene:
Sí 
Sí 
Reemplazando en (IV) se tiene:
(V) 
El segundo miembro de (V) es la suma de m números cada uno iguales a 1 o –1 y por lo tanto es un entero, par si m es par, impar si m es impar, y de esta afirmación se deduce la hipótesis del teorema 2. Si 
fuese derivable en el punto:
, entonces existe límite cuando:
, pero el límite del segundo miembro de V no existe ya que la serie 
es divergente. Y por la periodicidad dese extiende toda la hipótesis a todo 
.
LECONS D’ANALYSE FONTIONELLE.
Académie des Sciences de Hongrie 1.965
F. Riesz et Sz. Nagy.
Juan Sabas S.
Facultad de Ingeniería
Núcleo de Cagua U.C.V.