La Trigonometría

Introducción

La Trigonometría, palabra que significa "medición" de triángulos, en la que la palabra deriva de "tri" que significa "tres", el "gono" que significa "ángulo" y por ultimo "metria" que es "medición es parte fundamental de la Matemática que estudia los ángulos y lados de los triángulos, con ella se es posible calcular o medir distancias indirectamente, como por ejemplo, la distancia que separa la Tierra de la Luna.

Ya desde tiempos de la antigüedad, los Egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos; pero aun así, la trigonometría no empezó a haber hasta la Grecia clásica, donde la escuela de Pitágoras desarrollo el Teorema que lleva su nombre, en la que expone que "En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la Hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".

El conocimiento de esta Ciencia Matemática nos ha dejado grandes monumentos de la antigüedad, en aquellos países donde se estudiaba la trigonometría, plasmando en ellas la precisión matemática aun más que la artística.

Pero la Trigonometría es extensa y complicada, y su vez es indispensable en demás ramas científicas, como la Física, la Arquitectura e ingeniera; y es por ello que desarrolle y presento LA INNOVACION EN EL MUNDO TRIGONOMÉTRICO, donde la idea fundamental, es la de facilitar el estudio y la aplicación de la Trigonometría, de una forma diferente a la presenta y estudiada por muchos años.

El teorema que presentare se basa principalmente en el conocimiento del Perímetro de una circunferencia. Además dejare en claro que la Matemática no es una ciencia limitada, sino más bien que la Ciencia es una Matemática y que en ella se encierra todo el conocimiento que creo al Universo, visto por el horizonte de la Lógica Matemática.

Trigonometría

Para empezar definiré lo que es un Triángulo, el Angulo y lo que es el Perímetro.

El Triángulo es un polígono que posee tres lados, y según la longitud de esos lados, el triángulo se clasificara en tres formas, la primera Equiláteros, cuando poseen sus tres lados iguales, el Isósceles, si poseen dos lados iguales y por ultimo Escaleno, si todos sus lados son diferentes. La suma de los tres ángulos de un Triángulo es de 180° independientemente de la longitud de sus lados.

No olvidemos que el Triángulo recto cumple con una relación métrica entre sus lados, la cual es el teorema de Pitágoras, en la que reza que la Hipotenusa será igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

• TRIANGULO EQUILATERO: si todos sus lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)

• TRIANGULO ISOSCELES: (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

• TRIANGULO ESCALENO: ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

La Circunferencia se define como una curva cerrada y plana, cuyos puntos equidistantes de otro interior llamado centro; y el Perímetro como la longitud de sus lados.

Si trazamos dos (2) segmentos a una semicircunferencia (90°), los cuales serán denominados AB y CD, donde el segmento AB es el que une los puntos extremos del radio a 90°, y si a esta se le traza otro segmento CD, el cual se sitúa a la mitad de la semicircunferencia y el segmento AB; obtenemos que sumando ambos segmentos AB +CD/2, obtenemos el perímetro de la semicircunferencia; es decir, de radio igual a 1, con el ángulo alfa 90°, el segmento AB es igual a 1,4 y el segmento CD 0,34/2, lo que es 0,17.

P=AB+CD/2

=1,4+0,34/2

=1,57.

Todo esto nos lleva a definir un enunciado, el cual es:

EL PERIMETRO DE UNA SEMICIRCUNFERENCIA VENDRA DADA POR LA SUMA DE LOS SEGMENTOS AB Y CD/2.

P=AB + CD/2.

De lo anteriormente expuesto, se deduce la siguiente expresión matemática:

P=R x Sen alfa x 1,57.

Donde P es igual al perímetro

R es igual a radio.

Seno de alfa igual a 90°.

1,57 es la suma de AB+CD/2

Para demostrar ello citaré un ejemplo, donde calculare el perímetro de una circunferencia a partir de la ecuación anteriormente expuesta (P=R x Sen Alfa x 1,57.) Y la ecuación que ya todos conocemos (P=2 x Pi x R).

Ejemplo: Se tiene una circunferencia de Radio igual a 2 cms, calcular su perímetro.

Según la ecuación de P=2 x Pi x R;

=2 x 3,14 x 2 cms.

=12,56 cms.

Ahora según la ecuación de P=R x Sen Alfa X 1,57.

= 2 cms. x Sen 90° x 1,57

= 3, 14 cms.

Pero ahora bien, según esta ecuación el perímetro de la circunferencia es igual o para los 90°, por lo que solo es una parte del perímetro real, es decir, de los 360° ; y para ello, se procederá a realizar una simple regla de tres (3).

3,14cms.————- 90°

12,56cms.————360°

NOTA: Si se necesita obtener o conocer el perímetro de una semicircunferencia X, en la cual el valor del Seno de Alfa es mayor o menor a los 90°; se deberá realizar una regla de tres (3) para hallar o conocer el valor real de dicho perímetro; ya que el perímetro que se obtenga con la ecuación P=R x Sen Alfa. (90°) x 1,57. Es con respecto a los 90° grados.

Perímetro y trigonometría

El teorema de Pitágoras dice que en un triangulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos; por lo que se representa de la siguiente forma: los catetos tienen longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece lo siguiente:

Ahora bien, si se es posible calcular el perímetro de una circunferencia con el enunciado anteriormente expuesto, se puede también resolver problemas trigonométricos; veamos como hacerlo:

Si tenemos un triángulo cualquiera, y de una u otra forma conocemos la hipotenusa de dicho triángulo, podemos ver que se puede dibujar una semicircunferencia, lo que quiere decir que es posible obtener o conocer los demás lados restantes del triángulo.

Ejemplo: Si se tiene un triángulo del cual solo se conoce su hipotenusa, la cual es de 5,6cms su ángulo (Sen alfa) es de 45°; y además sus otros dos catetos restantes son iguales entre sí. Calcule los dos catetos.

Procedemos primero a calcular el perímetro.

P= 5,6cms x Sen 90° x 1,57.

= 8,79cms.

Una vez obtenido el perímetro, procedemos a calcular el valor de los segmentos AB y CD.

Para hallar los valores de los segmentos antes mencionados procedemos de la siguiente forma:

P=AB + CD/2 es decir, P=1,4 + 0,34/2=1,57.

Se procede ahora a un simple despeje, así:

AB=Px/1,57×1,4.

CD=Px/1,57×0,34/2.

8,79cms/1,57=5,59cms.x 1,4= 7,83cms.

8,79cms/1,57=5,59cms.x 0,34/2=0,95cms.

Una vez conocidos los valores de los segmentos y del perímetro, se procederán a calcular los dos catetos.

El cateto adyacente vendrá dado por la resta de la Hipotenusa o del radio y del valor del segmento CDx2, así:

C.A.=Hipotenusa o radio – CDx2=

= 5,6cms.- 0,95cmsx2-

=3,7cms.

Teniendo en cuenta que ambos catetos son iguales entre sí, se deduce que el cateto opuesto es también de 3,7 cms.

Un paso más

Como lo he demostrado, conociendo el valor de la hipotenusa y el valor del ángulo Alfa, la resolución del problema es simple; solo hay que calcular el perímetro de dicha semicircunferencia, luego calcular los valores de los segmentos AB y CD para así entonces hallar el valor de los catetos adyacente y opuesto.

Pero ahora bien, que tal si no conocemos el valor de la hipotenusa, sino el valor de cualquier cateto, pero conociendo el valor del ángulo Alfa.

Para resolver este problema, se procederá a realizar una operación sencilla de "conversión o una escala"; es decir, el valor del cateto X conocido lo tomaremos como el valor de la hipotenusa. De esta manera se procederá a resolver el problema sin ninguna dificultad.

Pero una vez resuelto el problema, se procederá a dividir el valor del cateto X obtenido en la operación por la del cateto X conocido anteriormente, el valor o producto de dicha operación se lo multiplicara por el valor del cateto restante y de la hipotenusa, obtenida inicialmente en la operación, de esta forma, se obtiene el valor real de todos los lados del triángulo.

Para ello citare un ejemplo: Si se tiene un triángulo cualquiera, de cual se conoce su cateto adyacente, el cual mide 4 cms. Y el ángulo Alfa es de 40°. Calcule el cateto opuesto y la hipotenusa.

DATOS:

H=?

C.A.=4cms.

C.O.=?

P=?

AB=?

CD=?

Alfa=40°

Para empezar, tomaremos al valor C.A. como Hipotenusa.

C.A.=H.

Ahora procedemos a calcular el perímetro de la circunferencia.

P=RxSen Alfa 1,57.

P=4cms x Sen 90° x 1,57.

P=6,28 cms.

Enseguida procedemos a la regla de tres (3) para hallar el valor real del perímetro en este caso de 80°.

90°———6,28cms.

80°———5,58cms.

Entonces el valor real del perímetro en este caso es de 5,58cms.

El siguiente paso, es de hallar los valores de los segmentos AB y CD., lo que para ello procederemos de la siguiente forma:

P=AB + CD/2

5,58 cms.= 1,4 + 0,34/2=1,57

AB=5,58/1,4 x 1,57=6,25.

CD=5,58/1,57 x 0,34/2=0,60.

C.A.=H o R-( CD x2)=

=4 cms. – 1,20cms. =2,8cms.

C.O.=AB/2

=4,9 cms./2 = 2,45 cms.

Ahora bien, hecho ya todo esto, se procederá a realizar las "conversiones":

Se tiene que C.A.=4cms inicialmente.

El valor de C.A. final es de 2,8cms.

El siguiente paso será el de dividir el C.A. inicial sobre el C.A. final:

C.A.i/C.A.f=4cms/2,8cms.

=1,428cms.

El valor 1,428 será el factor multiplicador, así:

H=4cms. 4cms. x 1,428=5,68 cms.

C.O.=2,45cms. 2,45 cms. x 1,428cms.=3,47cms

C.A.=2,8 cms. 2,8cms. x 1,428cms.=3,97cms.

NOTA: Si le restamos el valor de la hipotenusa o el radio al valor del segmento CD, se puede obtener el valor del C.A.; pero el valor del CD, debe ser multiplicado por el factor 2, ya que el valor CD/2 nos da la suma, junto con el segmento AB, del perímetro, pero el valor real de la distancia entre el segmento AB y el punto de la circunferencia, es el doble del valor usado para calcular el perímetro.

TRIGONOMETRIA

Circunferencia

Se define una circunferencia como una curva cerrada y plana, cuyos puntos equidistantes de otro interior llamado centro; y el perímetro como la longitud de sus lados.

Si trazamos dos (2) segmentos a una semicircunferencia (90°), los cuales serán denominados AB y CD, donde el segmento AB es el que une los puntos extremos del radio a 90°, y si a esta se le traza otro segmento CD, el cual se sitúa a la mitad de la semicircunferencia y el segmento AB; obtenemos que sumando ambos segmentos AB +CD/2, obtenemos el perímetro de la semicircunferencia; es decir, de radio igual a 1, con el ángulo alfa 90°, el segmento AB es igual a 1,4 y el segmento CD 0,34/2, lo que es 0,17.

P=AB+CD/2

=1,4+0,34/2

=1,57.

Todo esto nos lleva a definir un enunciado, el cual es:

EL PERIMETRO DE UNA SEMICIRCUNFERENCIA VENDRA DADA POR LA SUMA DE LOS SEGMENTOS AB Y CD/2.

P=AB + CD/2.

De lo anteriormente expuesto, se deduce la siguiente expresión matemática:

P=R x Sen alfa x 1,57.

Donde P es igual al perímetro

R es igual a radio.

Seno de alfa igual a 90°.

1,57 es la suma de AB+CD/2

.

NOTA: Si se necesita obtener o conocer el perímetro de una semicircunferencia X, en la cual el valor del Seno de Alfa es mayor o menor a los 90°; se deberá realizar una regla de tres (3) para hallar o conocer el valor real de dicho perímetro; ya que el perímetro que se obtenga con la ecuación P=R x Sen Alfa. (90°) x 1,57. Es con respecto a los 90° grados.

Ahora bien, si se es posible calcular el perímetro de una circunferencia con el enunciado anteriormente expuesto, se puede también resolver problemas trigonométricos; veamos como hacerlo:

Si tenemos un triángulo cualquiera, y de una u otra forma conocemos la hipotenusa de dicho triángulo, podemos ver que se puede dibujar una semicircunferencia, lo que quiere decir que es posible obtener o conocer los demás lados restantes del triángulo.

Ejemplo: Si se tiene un triángulo del cual solo se conoce su hipotenusa, la cual es de 5,6cms su ángulo (Sen alfa) es de 45°; y además sus otros dos catetos restantes son iguales entre sí. Calcule los dos catetos.

Procedemos primero a calcular el perímetro.

P= 5,6cms x Sen 90° x 1,57.

= 8,79cms.

Una vez obtenido el perímetro, procedemos a calcular el valor de los segmentos AB y CD.

Para hallar los valores de los segmentos antes mencionados procedemos de la siguiente forma:

P=AB + CD/2 es decir, P=1,4 + 0,34/2=1,57.

Se procede ahora a un simple despeje, así:

AB=Px/1,57×1,4.

CD=Px/1,57×0,34/2.

8,79cms/1,57=5,59cms.x 1,4= 7,83cms.

8,79cms/1,57=5,59cms.x 0,34/2=0,95cms.

Una vez conocidos los valores de los segmentos y del perímetro, se procederán a calcular los dos catetos.

El cateto adyacente vendrá dado por la resta de la Hipotenusa o del radio y del valor del segmento CDx2, así:

C.A.=Hipotenusa o radio – CDx2=

= 5,6cms.- 0,95cmsx2 =3,7cms.

Teniendo en cuenta que ambos catetos son iguales entre sí, se deduce que el cateto opuesto es también de 3,7 cms.

UN PASO MÁS

Como lo he demostrado, conociendo el valor de la hipotenusa y el valor del ángulo Alfa, la resolución del problema es simple; solo hay que calcular el perímetro de dicha semicircunferencia, luego calcular los valores de los segmentos AB y CD para así entonces hallar el valor de los catetos adyacente y opuesto.

Pero ahora bien, que tal si no conocemos el valor de la hipotenusa, sino el valor de cualquier cateto, pero conociendo el valor del ángulo Alfa.

Para resolver este problema, se procederá a realizar una operación sencilla de "conversión o una escala"; es decir, el valor del cateto X conocido lo tomaremos como el valor de la hipotenusa. De esta manera se procederá a resolver el problema sin ninguna dificultad.

Pero una vez resuelto el problema, se procederá a dividir el valor del cateto X obtenido en la operación por la del cateto X conocido anteriormente, el valor o producto de dicha operación se lo multiplicara por el valor del cateto restante y de la hipotenusa, obtenida inicialmente en la operación, de esta forma, se obtiene el valor real de todos los lados del triángulo.

Para ello citare un ejemplo: Si se tiene un triángulo cualquiera, de cual se conoce su cateto adyacente, el cual mide 4 cms. Y el ángulo Alfa es de 40°. Calcule el cateto opuesto y la hipotenusa.

DATOS:

H=?

C.A.=4cms.

C.O.=?

P=?

AB=?

CD=?

Valor C.A.

Alfa=40°

Para empezar, tomaremos al C.A.=H. como Hipotenusa.

Ahora procedemos a calcular el perímetro de la circunferencia.

P=RxSen Alfa 1,57.

P=4cms x Sen 90° x 1,57.

P=6,28 cms.

Enseguida procedemos a la regla de tres (3) para hallar el valor real del perímetro en este caso de 80°.

90°———6,28cms.

80°———5,58cms.

Entonces el valor real del perímetro en este caso es de 5,58cms.

El siguiente paso, es de hallar los valores de los segmentos AB y CD., lo que para ello procederemos de la siguiente forma:

P=AB + CD/2

5,58 cms.= 1,4 + 0,34/2=1,57

AB=5,58/1,57 x 1,4=4,9.

CD=5,58/1,57 x 0,34/2=0,60.

C.A.=H o R-( CD x2)=

=4 cms. – 1,20cms.

=2,8cms.

C.O.=AB/2

=4,9 cms./2

= 2,45 cms.

Ahora bien, hecho ya todo esto, se procederá a realizar las "conversiones":

Se tiene que C.A.=4cms inicialmente.

El valor de C.A. final es de 2,8cms.

El siguiente paso será el de dividir el C.A. inicial sobre el C.A. final:

C.A.i/C.A.f=4cms/2,8cms.

=1,428cms.

El valor 1,428 será el factor multiplicador, así:

H=4cms. 4cms. x 1,428=5,68 cms.

C.O.=2,45cms. 2,45 cms. x 1,428cms.=3,47cms

C.A.=2,8 cms. 2,8cms. x 1,428cms.=3,97cms.

NOTA: Si le restamos el valor de la hipotenusa o el radio al valor del segmento CD, se puede obtener el valor del C.A.; pero el valor del CD, debe ser multiplicado por el factor 2, ya que el valor CD/2 nos da la suma, junto con el segmento AB, del perímetro, pero el valor real de la distancia entre el segmento AB y el punto de la circunferencia, es el doble del valor usado para calcular el perímetro.

CUANDO EL ÁNGULO Q ES MAYOR QUE 90°

Para resolver un determinado problema trigonométrico, donde el valor del ángulo Q es mayor que los 90° y se lo desconoce, se necesitara saber entonces el ángulo Alfa y el ángulo Y, dos lados, la Hipotenusa y un cateto cualquiera.

Citaremos un ejemplo donde se tiene un triángulo, cuya Hipotenusa se conoce junto con el cateto opuesto, y el ángulo Alfa es X, calcularemos entonces el cateto Adyacente.

1) Lo primero será calcular el Perímetro que describe el triángulo.

2) Luego calculamos es seg. AB.; el resultado lo dividiremos sobre 2.

3) Se tiene que el seg. AB, será igual al C.O., del "segundo triángulo", entonces el cateto del "primer triángulo" será ahora la Hipotenusa.

4) Por el Teorema de Pitágoras, podemos conocer el valor del C.A. del segundo triángulo; también se puede proceder a calcularlo por el método del Perímetro, pero seria un poco más extenso.

5) Teniendo todo esto, se procede ahora a calcular el C.A. del primer triángulo, sumando el valor del C.A. del segundo triángulo mas el valor del CD del primer triángulo(Multiplicado por 2), y luego se lo restamos a la Hipotenusa del primer triángulo.

De esta forma, se puede calcular o conocer el lado deseado, a partir de los otros lados, además de conocer el ángulo Alfa y que el ángulo Q no sea mayor que 90°.

Problemas trigonométricos

CONTINUACIÓN, BRINDARE UN ESQUEMA A SEGUIR PARA RESOLVER PROBLEMAS TRIGONOMÉTRICOS.

Para hallar el cateto opuesto y el adyacente conociendo la Hipotenusa, el ángulo Alfa y el ángulo Q igual a 90; procedemos así:

Procedemos a calcular El Perímetro.

P=R x Sen Alfa 90° x 1,57.

Ángulo mayor o menor que 90°

Si No.

Procede a la regla de Tres, para conocer el valor real Del Perímetro de la semicircunferencia Descrita por el triángulo.

Calculamos el valor del segmento AB.

AB=P/1,57 x 1,4.

El valor del segmento AB lo dividimos Sobre dos (2), ello será igual a El cateto opuesto.

Calculamos el segmento CD.

CD=P/1,57 x 0,17.

Para hallar el Cateto Adyacente, multiplicamos el seg. CD x 2, luego restamos la H. Al seg. CD. , Así:C.A=H-(CD x 2).

ESTE ESQUEMA NOS SERVIRA PARA DESCRIBIR LOS PASOS A SEGUIR SI DESEAMOS CALCULAR EL PERÍMETRO DE CUALQUIER CIRCUNFERENCIA.

Multiplicamos el Radio o la Hipotenusa Por el Sen 90° y todo ello por el valor de 1,57.

P=R x Sen Alfa 90° x 1,57.

El valor calculado es con respecto A los 90°, para hallar el Perímetro de la Circunferencia de un ángulo mayor o menor A los 90°, procedemos a la regla de tres.

Si deseamos también calcular El segmento AB, procedemos así: Dividimos el Perímetro sobre 1,57 luego lo multiplicamos por 1,4

AB=P/1,57 x 1,4.

Si también deseamos calcular El segmento CD, procedemos de la Siguiente forma: Dividimos el Perímetro sobre 1,57, luego lo multiplicamos por 1,4.

CD=P/1,57 x 0,17.

PARA HALLAR LA HIPOTENUSA Y EL CATETO CUALQUIERA, CONOCIENDO SOLO UN CATETO Y EL ÁNGULO ALFA.

Tomaremos el valor del cateto Conocido y lo consideraremos como La Hipotenusa.

Procedemos a calcular el Perímetro

P=R x Sen Alfa 90° x 1,57.

Ángulo mayor o menor que 90°

Si No

Procedemos a la regla De tres para conocer El valor real del Perímetro.

Calculamos el valor del segmento AB.

AB=P/1,57 x 1,4.

Calculamos el segmento CD.

CD=P/1,57 x 0,17.

Para hallar el C.A. multiplicamos seg. CD x 2, Luego restaremos la H.al seg. CD.

C.A.=H.-(CD x 2).

Una vez realizado todo lo anterior, procedemos a realizar una conversión, lo cual ya a sido explicada anteriormente.

Perímetro y demás

Si repasamos acerca de la ecuación de P=AB+CD/2, podemos hacer una deducción interesante, y es que si se nos presenta un determinado caso, adonde solo se conozca cualquier segmento (AB y/o CD) además del ángulo, se es posible conocer el valor de las demás interrogantes, veamos como:

Según el enunciado, el perímetro de una semicircunferencia (90°) vendrá dado por la suma de los segmentos AB y CD/2, lo que nos permite con un simple despeje, resolver las demás interrogantes, veamos como:

Se tiene una semicircunferencia de 90°, lo cual solo se conoce su segmento CD, el cual es de 0,50cms, calcularemos las demás interrogantes, siendo estas AB, R y P.

Ahora,

P=4,11cms.+ 0,50cms.

=4,61cms.

Y se tiene que,

P=R x Sen Alfa x 1,57-

R=P/Sen Alfa x 1,57.

=4,61cma/Sen 90° x 1,57.

=2,93cms.

Si queremos estar seguros de ello, o comprobarlo, podemos hacerlo con la ayuda de la ecuación P=2 x Pi x R., a sí se tiene que:

P=2 x 3,14 x 2,93cms.

=18,40 cms.

Pero no olvidemos que esta ecuación nos da el Perímetro de una circunferencia de 360°, por lo que a este resultado, se le debe aplicar la regla de tres, para así conocer el perímetro de 90° de dicha circunferencia.

Entonces se tiene que:

18,40cms————360°

4,60cms———— 90°

Realizado todo esto, se concluye que conociendo el valor de cualquier segmento, ya sea AB o CD, además del ángulo 90° de la semicircunferencia, se es posible hallar el valor de las demás interrogantes.

PERÍMETRO Y EL VALOR DE PI

El valor del Pi, desde tiempos antiguo, es conocido; un matemático holandés Adrián Anthonisz (1527-1607), tomo el valor de 355/113 para el valor del Pi, el cual fue empleado durante los siglos XVI y XVII.

El alemán Johana Heinrich Lambert, (1728-1777) obtuvo el valor de una fracción ordinaria la que el numerador tenia dieciséis cifras y el denominador quince.

Pero continuación demostrare el valor de Pi, según a todo lo anteriormente planteado.

Si entendemos bien, que si tenemos una semicircunferencia de 90°, donde el radio es igual a 1, y a esta se le traza dos segmentos, los que serán AB y CD, ello nos dará el valor de 1,57. y es curioso que ello sea igual al valor de Pi dividido por dos, así: Pi/2=1,57.

Si tenemos una circunferencia de radio igual a 1, y entendemos que el Perímetro de ella será igual a 6,28, y procedemos a dividir la circunferencia en dos partes iguales, ello nos dará el valor igual al del Pi 3,14., Es decir, Pi es igual a P/2 pero también es P=(AB+CD/2) x 2.

RESOVER PROBLEMAS TRIGONOMÉTRICOS, A TRAVES DEL TEOREMA DE PITAGORAS, PERO CON EL ÁNGULO Q MAYOR QUE 90°.

El Teorema de Pitágoras nos es útil para resolver problemas Trigonométricos, pero su uso es limitado, ya que se requiere que el Ángulo Q sea igual a los 90°. Pero si "fusionamos" el teorema de Pitágoras junto con el enunciado del "Perímetro", entonces si será posible resolver problemas Trigonométricos, donde el Ángulo Q es mayor que 90°.

Para ello, citaré un ejemplo: Si tenemos un triángulo donde se conoce el Cateto Adyacente y el Opuesto y además conocemos el valor del ángulo Q, procederíamos así:

• 1) Primero calcularemos el ángulo Y, de la siguiente forma:

• 2) Restaremos 180° al ángulo Q.

• 3) El valor obtenido de dicha operación, se la sumaremos al valor del Ángulo Q2, para luego restarlo a los 180°, y el producto será el valor del ángulo Y1.

• 4) Conocido ya el Ángulo Y1, procedemos a calcular el Perímetro de la semicircunferencia que describe el "segundo Triángulo".

• 5) Conocido el Perímetro, calculamos el segmento AB y CD.

• 6) El segmento AB lo dividimos en 2, el cual lo sumaremos al Cateto Adyacente del "primer triángulo", lo cual será el Cateto Adyacente final.

• 7) Restaremos el C.O. del "primer triángulo" al valor del segmento CD (este segmento multiplicado por 2), así entonces obtenemos el Cateto Opuesto final.

• 8) Por ultimo, procedemos a calcular la Hipotenusa según el teorema de Pitágoras.

Siguiendo todos estos pasos descritos anteriormente, él calculo de la Hipotenusa en un triángulo donde el Ángulo Q es mayor que los 90°, es posible.

Para resolver un problema similar, donde solo se conozca un lado y se desea calcular los otros dos lados restantes, se necesitara conocer los ángulos Alfa, Q y Y.

• 1) Lo primero es calcular el Perímetro descrito por el triángulo.

• 2) Calculamos el seg. AB, luego lo dividimos sobre 2, el resultado será el C.O. del "segundo triángulo".

• 3) Ahora procedemos a calcular el ángulo Y1, así:

Restamos 180° al ángulo Q, el resultado lo sumamos a los 90°, luego el producto lo restamos a los 180° nuevamente, el resultado final, será el ángulo Y.

• 4) Procedemos a calcular el Perímetro descrito por el "segundo triángulo" realizando una "conversión", es decir, usaremos el valor del seg. AB, como la Hipotenusa del "segundo triángulo"

• 5) Una vez hecho todo esto, el C.A. será hallado sumando el C.A. de "segundo triángulo" mas el doble del valor del seg. CD del "primer triángulo"; el producto restará a la Hipotenusa del primer triángulo.

• 6) El C.O. es igual a la Hipotenusa del "segundo triángulo".

RESOVER PROBLEMAS TRIGONOMÉTRICOS, A TRAVES DEL TEOREMA DE PITAGORAS, PERO CON EL ÁNGULO Q MAYOR QUE 90°

El Teorema de Pitágoras nos es útil para resolver problemas Trigonométricos, pero su uso es limitado, ya que se requiere que el Ángulo Q sea igual a los 90°. Pero si "fusionamos" el teorema de Pitágoras junto con el enunciado del "Perímetro", entonces si será posible resolver problemas Trigonométricos, donde el Ángulo Q es mayor que 90°.

Para ello, citaré un ejemplo: Si tenemos un triángulo donde se conoce el Cateto Adyacente y el Opuesto y además conocemos el valor del ángulo Q, procederíamos así:

• 1) Primero calcularemos el ángulo Y, de la siguiente forma:

• 2) Restaremos 180° al ángulo Q.

• 3) El valor obtenido de dicha operación, se la sumaremos al valor del Ángulo Q2, para luego restarlo a los 180°, y el producto será el valor del ángulo Y1.

• 4) Conocido ya el Ángulo Y1, procedemos a calcular el Perímetro de la semicircunferencia que describe el "segundo Triángulo".

• 5) Conocido el Perímetro, calculamos el segmento AB y CD.

• 6) El segmento AB lo dividimos en 2, el cual lo sumaremos al Cateto Adyacente del "primer triángulo", lo cual será el Cateto Adyacente final.

• 7) Restaremos el C.O. del "primer triángulo"al valor del segmento CD (este segmento multiplicado por 2), así entonces obtenemos el Cateto Opuesto final.

• 8) Por ultimo, procedemos a calcular la Hipotenusa según el teorema de Pitagoras.

Siguiendo todos estos pasos descritos anteriormente, él calculo de la Hipotenusa en un triángulo donde el Ángulo Q es mayor que los 90°, es posible.

Para resolver un problema similar, donde solo se conozca un lado y se desea calcular los otros dos lados restantes, se necesitara conocer los ángulos Alfa, Q y Y.

• 1) Lo primero es calcular el Perímetro descrito por el triángulo.

• 2) Calculamos el seg. AB, luego lo dividimos sobre 2, el resultado será el C.O. del "segundo triángulo".

• 3) Ahora procedemos a calcular el ángulo Y1, así:

Restamos 180° al ángulo Q, el resultado lo sumamos a los 90°, luego el producto lo restamos a los 180° nuevamente, el resultado final, será el ángulo Y.

• 4) Procedemos a calcular el Perímetro descrito por el "segundo triángulo" realizando una "conversión", es decir, usaremos el valor del seg. AB, como la Hipotenusa del "segundo triángulo"

• 5) Una vez hecho todo esto, el C.A. será hallado sumando el C.A. de "segundo triángulo" mas el doble del valor del seg. CD del "primer triángulo"; el producto restará a la Hipotenusa del primer triángulo.

• 6) El C.O. es igual a la Hipotenusa del "segundo triángulo".

DEDICATORIA:

Quisiera dedicar este libro en honor y memoria de todos los Físicos y Matemáticos que han contribuido al desarrollo de estas Ciencias, la cual a expandido el saber humano en muchas áreas; Hombres que pesen a las realidades de su época, lograron desarrollar la Ciencia.

También quiero dedicarlo muy en especial a aquellas personas que me han apoyado y estimulado para la realización de este trabajo, lo que sin ello, difícilmente hubiera podido lograr.

EL AUTOR.

Autor:

Arturo Correia