Body: Respuesta al impulso Es la salida de un sistema cuando la entrada es un impulso unitario En MATLAB, se pueden generar impulsos de varias maneras: imp = [1; zeros(49,1)]; Si se tiene el filtro con b = 1 a = [1 –0.9], su respuesta al impulso es: h = filter(b,a,imp); O, se puede usar la función de MATLAB impz(b,a)
Body: Dominio de la frecuencia Se usan las transformadas discretas Fourier: transformada de Fourier de tiempo discreto transformada discreta de Fourier (DFT) transformada rápida de Fourier (FFT) Transformada z
Body: Las transformadas junto con las transformadas inversas proporcionan la relación entre la representación en el dominio del tiempo y de la frecuencia. Los dos dominios proporcionan información complementaria de los mismos datos En algunas aplicaciones suele usarse más la información de un dominio que del otro En filtrado es particularmente útil la información en el dominio de la frecuencia
Body: La transformada de Fourier de tiempo discreto de la señal x(n):
produce el espectro X(w) de x(n) si x(n) es periódica —> serie de Fourier y el espectro es discreto si x(n) es no periódica —> transf. de Fourier y el espectro es continuo
Body: En la mayoría de las aplicaciones x(n) es no periódica —> espectros continuos: Los espectros continuos no se pueden representar exactamente en una computadora digital Solo se pueden representar por medio de sus muestras adecuadamente espaciadas La transformada de Fourier de tiempo discreto no se puede implementar en una computadora digital. Entonces se desarrolla:
Body: La transformada discreta de Fourier (DFT) de x(n) es:
Son N muestras del espectro original que es continuo Son muestras para valores discretos de frecuencia
Body: El número mínimo de muestras es N (que es el número de muestras de la señal de tiempo discreto) Para obtener una buena representación del espectro real, es necesario tener un número suficiente de muestras, normalmente un número mayor que N Como el cálculo de la DFT involucra muchas multiplicaciones, es computacionalmente costoso. Se desarrolló la:
Body: La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo que implementa la DFT es muy eficiente, reduce el número de operaciones aritméticas usa el hecho de que la DFT tiene simetrías existen varios algoritmos En MATLAB la función que realiza la FFT es fft, mientras que ifft implementa la transformada rápida inversa
Body: Respuesta en frecuencia La respuesta en frecuencia del filtro con función de transferencia H(z) es:
La función freqz usa un algoritmo basado en FFT based algorithm para calcular la respuesta en frecuencia de un filtro digital
Body: La sentencia: [h,w] = freqz(b,a,n)
regresa n puntos de la respuesta en frecuencia compleja del filtro digital
regresa el vector h de respuesta en frecuencia compleja y el vector w de frecuencias en rad/seg
Body: Ejemplo: Se encuentran 256 puntos de la respuesta en frecuencia de un filtro Chebyshev de orden 12. Se usa en freqz una frecuencia de muestreo de 1000 Hz
[b,a] = cheby1(12,0.5,200/500); [h,f] = freqz(b,a,256,1000);
Body: Normalización en frecuencia Normalmente se usa la convención de que la frecuencia unitaria es la frecuencia de Nyquist La frecuencia de Nyquist se define como la mitad de la frecuencia de muestreo La frecuencia de corte de los filtros es normalizada por la frecuencia de Nyquist Así, para un sistema con una frecuencia de muestreo de 1000Hz, la frecuencia 300 Hz es 300/500 = 0.6 (frecuencia normalizada)
Body: Magnitud y Fase La respuesta en frecuencia de sistemas como los filtros suelen ser cantidades complejas Para analizar su comportamiento es necesario graficar la respuesta en frecuencia Lo que se hace es observar una cantidad real: la magnitud de la respuesta en frecuencia y su fase Para ello se usan las funciones abs y phase
Body: Ejemplo: Filtro Butterworth
[b,a] = butter(6,300/500); [h,w] = freqz(b,a,512,1000); m = abs(h); p = angle(h); semilogy(w,m); plot(w,p*180/pi)
Body: Obtención de los coeficientes de filtros digitales En MATLAB existen las funciones: buttord, butter cheb1ord, cheby1 cheb2ord, cheby2 ellipord, ellip fir1, fir2 remezord, remez
Body: Al trabajar con frecuencias normalizadas, el rango de frecuencias para los filtros digitales queda restringido al rango: 0<2?, o -?<2?, o -?< ?, en radianes/muestra
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