Definiciones básicas (Gp:) Supongamos un sistema compuesto por partículas. Para cada una de ellas podemos definir Masa Posición Velocidad Aceleración Fuerza externa Fuerza interna ejercida por j sobre i
Propiedades de las fuerzas interiores
Tercera ley de Newton: (principio de acción y reacción) Si dos objetos interactúan, la fuerza F12 ejercida por el objeto 1 sobre el 2 es igual en módulo y dirección, pero opuesta en sentido, a la fuerza F21 ejercida por el objeto 2 sobre el objeto 1. Las fuerzas siempre se producen por parejas. No puede existir una única fuerza aislada. En todos los casos, las fuerzas de acción y reacción actúan sobre objetos diferentes, y deben ser del mismo tipo. (Gp:) Fuerza ejercida por a sobre b (Gp:) Notación
Aplicación de las leyes de Newton Sumando para todas las partículas (Gp:) Los sistemas de vectores y tienen la misma resultante y el mismo momento resultante
Momentos lineal y angular de un sistema de partículas
Centro de masa de un sistema de partículas: Definición La posición del centro de masas de un sistema se puede describir como la posición media de la masa del sistema El centro de masas de dos partículas de masas diferentes se encuentra entre las dos partículas y más cerca de la de mayor masa
Centro de masa de un sistema continuo: Definición La posición del centro de masas de un sistema se puede describir como la posición media de la masa del sistema Podemos modelar el objeto no puntual como un sistema formado por un gran número de elementos. Cada elemento se considera como una partícula de masa y coordenadas La separación entre las partículas en este modelo es muy pequeña, por lo que éste es una buena representación continua de masa del objeto. Si establecemos que el número de partículas tiende a infinito ( y como consecuencia el tamaño y la masa de cada elemento tiende a cero)
Movimiento de un sistema de partículas: Definición de la velocidad del centro de masas Suponiendo que ninguna partícula entra ni sale del sistema, de manera que M permanece constante La cantidad de movimiento total del sistema es igual a su masa total multiplicada por la velocidad del centro de masas. La cantidad de movimiento total de una sola partícula de masa M que se mueve con la velocidad del centro de masa
Movimiento de un sistema de partículas: Definición de la aceleración del centro de masas Si volvemos a derivar con respecto del tiempo, podemos obtener la aceleración del centro de masas (Gp:) A priori, son todas las fuerzas que actúan sobre la partícula i, tanto internas como externas. Sin embargo, como ya hemos visto, al sumar las fuerzas internas se cancelan dos a dos. Por lo tanto, la fuerza neta ejercida sobre el sistema se debe sólo a las fuerzas externas.
Movimiento de un sistema de partículas: Definición de la aceleración del centro de masas El centro de masas de un sistema se mueve como una partícula imaginaria de masa M bajo la influencia de la fuerza neta ejercida sobre el sistema. En ausencia de fuerzas externas, el centro de masas se mueve con velocidad uniforme. La fuerza exterior neta ejercida sobre el sistema de partículas es igual a la masa total del sistema multiplicada por la aceleración del centro de masas o, lo que es lo mismo, a la variación de la cantidad de movimiento del sistema
Sistema de referencia del centro de masas Si describimos las posiciones, velocidades y aceleraciones de todas las partículas del sistema con respecto a un sistema de referencia con origen en el centro de masas: Por definición de posición y velocidad del centro de masas llegamos a las siguientes conclusiones
Energía cinética de un sistema de partículas Aplicando la definición de energía cinética
Relación entre momentos angulares para el sistema de laboratorio y el sistema de centro de masas Aplicando la definición de momento angular
Cálculos de los centros de gravedad: Definición Sistema discreto Sistema continuo
Cálculos de los centros de gravedad en distintos sistemas continuos Sistema homogéneo Placa homogénea de espesor constante Hilo homogéneo de sección constante
Cálculos de los centros de gravedad en distintos sistemas continuos Si pudiéramos considerar el sistema como la suma de varios cuerpos En el caso de que el sistema tuviera huecos, éstos podrían considerarse como subpartes de “masa negativa”
Cálculos de los centros de gravedad: Teoremas de Pappus-Guldin Teoremas que relacionan superficies y volúmenes de sólidos de revolución Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta contenida en su mismo plano. Ejemplo: Un volumen con forma de toro se puede considerar como la rotación de un círculo
Cálculos de los centros de gravedad: Primer teorema de Pappus-Guldin El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad de la curva cuando se engendra la superficie
Cálculos de los centros de gravedad: Primer teorema de Pappus-Guldin El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad de la curva cuando se engendra la superficie Conocido el centro de gravedad de la curva generatriz, se puede calcular el área de la superficie de revolución
Cálculos de los centros de gravedad: Segundo teorema de Pappus-Guldin El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad del área cuando se engendra el cuerpo
Cálculos de los centros de gravedad: Segundo teorema de Pappus-Guldin El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad del área cuando se engendra el cuerpo Conocido el área de la superficie generatriz, se puede calcular el volumen del cuerpo de revolución