¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ CORRELACIÓN Y REGRESIÓN CON EXCEL Y GEOGEBRA Cuando se estudian en forma conjunta dos características (variables estadísticas) de una población o muestra, se dice que estamos analizando una variable estadística bidimensional. La correlación es el grado de relación que existe entre ambas características, y la regresión es la forma de expresar matemáticamente dicha relación.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE KARL PEARSON Llamando también coeficiente de correlación producto-momento.
a) Para datos no agrupados se calcula aplicando la siguiente ecuación: ?? = ? ???? v(? ??2 )(? ??2 ) r = Coeficiente producto-momento de correlación lineal; ?? = ?? – ?? ; ?? = ?? – ??
Ejemplo ilustrativo: Con los datos sobre las temperaturas en dos días diferentes en una ciudad, determinar el tipo de correlación que existe entre ellas mediante el coeficiente de PEARSON.
X 18 17 15 16 14 12 9 15 16 14 16 18 SX =180 Y 13 15 14 13 9 10 8 13 12 13 10 8 SY= 138 Solución: Se calcula la media aritmética ??¯ = ? ???? ?? Para X: ???? = 180 12 = 15 Para Y: ???? = 138 12 = 11,5 Se llena la siguiente tabla: ?? 18 17 15 16 14 12 9 15 16 14 16 18 180 ?? 13 15 14 13 9 10 8 13 12 13 10 8 138 3 2 0 1 -1 -3 -6 0 1 -1 1 3 ?? = ?? – ?? 1,5 3,5 2,5 1,5 -2,5 -1,5 -3,5 1,5 0,5 1,5 -1,5 -3,5 ?? = ?? – ?? ???? 9 4 0 1 1 9 36 0 1 1 1 9 72 ???? 4,5 7 0 1,5 2,5 4,5 21 0 0,5 -1,5 -1,5 -10,5 28 ???? 2,25 12,25 6,25 2,25 6,25 2,25 12,25 2,25 0,25 2,25 2,25 12,25 63 Se aplica la fórmula: ?? = ? ???? 28 = v(? ??2 )(? ??2 ) v(72)(63) = 0,416 Existe una correlación moderada
?? = En Excel: En GeoGebra: El Diagrama de dispersión en Graph: b) Para datos agrupados, el coeficiente de Correlación de Pearson se calcula aplicando la siguiente fórmula: ?? · ? ?? · ???? · ???? – (? ???? · ????) (? ???? · ????) v[?? · ? ???? · ????2 – (? ???? · ????)2 ][?? · ? ???? · ???? 2 – (? ???? · ????)2 ]
Donde: ?? = número de datos; ?? = frecuencia de celda; ???? = frecuencia de la variable X; ???? = frecuencia de la variable Y; ???? = valores codificados o cambiados para los intervalos de la variable X, procurando que al intervalo central le corresponda ???? = 0, para que se hagan más fáciles los cálculos; ???? = valores codificados o cambiados para los intervalos de la variable X, procurando que al intervalo central le corresponda ???? = 0, para que se hagan más fáciles los cálculos.
Ejemplo ilustrativo: Con los siguientes datos sobre los Coeficientes Intelectuales (X) y de las calificaciones en una prueba de conocimiento (Y) de 50 estudiantes: N° de estudiante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 X
76 77 78 79 79 80 80 80 82 82 83 83 83 83 84 84 84 85 85 86 86 86 86 87 88 Y
28 24 18 41 43 45 34 18 40 35 30 21 22 23 25 11 15 31 35 26 30 24 16 20 36 N° de estudiante 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 X
88 88 88 88 89 89 90 90 90 91 92 92 93 93 93 94 96 97 98 99 100 101 101 102 102 Y
40 31 35 26 30 24 18 11 15 38 34 31 33 35 24 40 35 36 40 33 51 54 55 41 45 1) Elaborar una tabla de dos variables 2) Calcular el coeficiente de correlación
Solución: En la tabla de frecuencias de dos variables, cada recuadro de esta tabla se llama una celda y corresponde a un par de intervalos, y el número indicado en cada celda se llama frecuencia de celda. Todos los totales indicados en la última fila y en la última columna se llaman totales marginales o frecuencias marginales, y corresponden, respectivamente, a las frecuencias de intervalo de las distribuciones de frecuencia separadas de la variable X y Y.
Para elaborar la tabla se recomienda: – Agrupar las variables X y Y en un igual número de intervalos. – Los intervalos de la variable X se ubican en la parte superior de manera horizontal (fila) y en orden ascendente.
Calificaciones(Y) – Los intervalos de la variable Y se ubican en la parte izquierda de manera vertical (columna) y en orden descendente. Para elaborar los intervalos se procede a realizar los cálculos respectivos: En la variable X: Calculando el Rango se obtiene: ?? = ????á?? – ????í?? = 102 – 76 = 26
Calculando el número de intervalos se obtiene: ???? = 1 + 3,32 · ??????(??) = 1 + 3,32 · ??????50 = 6,6 = 7
Calculando el ancho se obtiene: ?? 26 ?? = = ???? 6,6 = 3,93 = 4 En la variable Y: Calculando el Rango se obtiene: ?? = ????á?? – ????í?? = 55 – 11 = 44
Calculando el número de intervalos se obtiene: ???? = 1 + 3,32 · ??????(??) = 1 + 3,32 · ??????50 = 6,64 = 7
Calculando el ancho se obtiene: ?? 44 ?? = = ???? 6,64 = 6,62 = 7 Nota: Para la variable X se tomará un ancho de intervalo igual a 4 y para la variable Y un ancho de intervalo igual a 7. Debe quedar igual número de intervalos para cada variable, que en este ejemplo es igual a 7. Contando las frecuencias de celda para cada par de intervalos de las variables X y Y se obtiene la siguiente tabla de frecuencias de dos variables:
Coeficientes Intelectuales (X) 53-59 46-52 76-79 80-83 84-87 88-91 92-95 96-99 100-103 2 1 ???? 2 1 39-45 32-38 25-31 18-24 2
1 2 2 2 1 4 1 4 2 1 3 3 2 1 3 1 1 1 3 2 9 12 10 11 11-17 3 2 5 ???? 5 9 10 11 6 4 5 50 Interpretación: – El número 2 es la frecuencia de la celda correspondiente al par de intervalos 76-79 en Coeficiente Intelectual y 39-45 en Calificación obtenida en la prueba de conocimiento. – El número 5 en la fila de ???? es el total marginal o frecuencia marginal del intervalo 76-79 en Coeficiente Intelectual. – El número 2 en la columna de ???? es el total marginal o frecuencia marginal del intervalo 53-59 en Calificación obtenida en la prueba de conocimiento. – El número 50 es total de frecuencias marginales y representa al número total de estudiantes.
Calificaciones(Y) 2) Realizando los cálculos respectivos se obtiene la siguiente tabla:
Coeficientes Intelectuales (X) 76-79 80-83 84-87 88-91 92-95 96-99 100-103 ???? -3 -2 -1 0 1 2 3 ???? ???? · ???? ???? · ???? 2 ?? · ???? · ???? ???? 53-59
46-52 3
2 2
1 18
6 2
1 6
2 18
4 18
6 39-45
32-38
25-31
18-24 1
0
-1
-2 2
1
2 -6
3
12 2
2
1
4 -4
0
2
16 1
4
2 0
4
4 1
3
3
2 0
0
0
0 1
3
1
1 1
0
-1
-2 1
3 2
0 2 6 9
12
10
11 9
0
-10
-22 9
0
10
44 -1
0
8
30 11-17 -3 3 9 2 0 5 -15 45 9 ???? 5 9 10 11 6 4 5 50 -30 130 70 ???? · ???? ???? · ???? 2 ?? · ???? · ???? -15 45 9 -18 36 14 -10 10 17 0 0 0 6 6 -2 8 16 2 15 45 30 -14 158 70 Nota: Los números de las esquinas de cada celda en la anterior tabla representan el producto ?? · ???? · ????, así por ejemplo, para obtener el número el número -6 de los intervalos 76-79 en X y 39-45 en Y se obtiene multiplicando 2·(-3)·1 = -6. Para obtener el número 18 de los intervalos 100-103 en X y 53-59 en Y se obtiene multiplicando 2·3·3 = 18
-Los números de la última columna (18, 6, -1, 0, 8, 30 y 9) se obtienen sumando los números de las esquinas en cada fila, así por ejemplo, para obtener el número -1 se suma (-6) + (-4) + 0 + 1 +2 + 6 = -1 -Los números de la última fila (9, 14, 17, 0, -2, 2 y 30) se obtienen sumando los números de las esquinas en cada columna, así por ejemplo, para obtener el número 9 se suma (-6) + 3 + 12 = 9. -Para obtener el número -30 de la antepenúlmina columna se obtiene sumando los resultados de ???? · ????, es decir, representa la ? ???? · ???? -Para obtener el número -14 de la antepenúlmina fila se obtiene sumando los resultados de ???? · ????, es decir, representa la ? ???? · ???? -Para obtener el número 130 de la penúltima columna se obtiene sumando los resultados de ???? · ????2 , es decir, representa ? ???? · ???? 2 -Para obtener el número 158 de la penúltima fila se obtiene sumando los resultados de ???? · ????2 , es decir, representa ? ???? · ????2 -Para obtener último número 70 de la última columna se obtiene sumando los resultados de la última columna 18 +6 +(-1) +0 + 8 + 30 +9 = 70, es decir, representa ? ???? · ???? · ???? -Para obtener último número 70 de la última fila se obtiene sumando los resultados de la última fila 9 + 14 + 17 + 0 +(-2) +2 + 30 = 70 , es decir, representa ? ???? · ???? · ???? . Por lo tanto tiene que ser igual al último número de la última columna como comprobación que los cálculos de la tabla han sido correctos.
Observando los datos en la tabla anterior se remplaza los valores en la ecuación del Coeficiente de Correlación de Pearson para datos agrupados, obteniéndose:
?? = = = 2 ?? · ? ?? · ???? · ???? – (? ???? · ????) (? ???? · ????) v[?? · ? ???? · ????2 – (? ???? · ????)2 ][?? · ? ???? · ???? 2 – (? ???? · ????)2 ] ?? =
?? = 50 · 70 – (-14)(-30) v[50 · 158 – (-14)2 ][50 · 130 – (-30)2 ]
3080 3080 = = 0,469 v43142400 6568,287448 3500 – 420 v[7900 – 196][6500 – 900] 3080 v[7704][5600] Existe una correlación positiva moderada
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS DE SPEARMAN Este coeficiente se emplea cuando una o ambas escalas de medidas de las variables son ordinales, es decir, cuando una o ambas escalas de medida son posiciones. Ejemplo: Orden de llegada en una carrera y peso de los atletas. Se calcula aplicando la siguiente ecuación: ???? = 1 – 6 ? ??2 ??(??2 – 1) ???? = Coeficiente de correlación por rangos de Spearman;d = Diferencia entre los rangos (X menos Y) n = número de datos
Ejemplo ilustrativo N° 1: La siguiente tabla muestra el rango u orden obtenido en la primera evaluación (X) y el rango o puesto obtenido en la segunda evaluación (Y) de 8 estudiantes universitarios en la asignatura de Estadística. Calcular el coeficiente de correlación por rangos de Spearman. Estudiante ?? ?? Dyanita Elizabeth Mario Orlando Mathías Josué Emily 1 3 2 4 3 1 4 5 5 6 6 2 7 8 Monserrath 8 7
Para calcular el coeficiente de correlación por rangos de Spearman de se llena la siguiente tabla: Estudiante ?? ?? ?? = ?? – ?? ??2 = (?? – ??)2 Dyanita Elizabeth Mario Orlando Mathías Josué Emily 1 3 2 4 3 1 4 5 5 6 6 2 7 8 -2 -2 2 -1 -1 4 -1 4 4 4 1 1 16 1 Monserrath 8 7 1 1 S?? = 32 Se aplica la fórmula: ???? = 1 – 6 ? ??2 ??(??2 – 1) = 1- 6 · 32 8(82 – 1) =1- 192 504 – 192 312 = = 504 504 504 = 0,619 Por lo tanto existe una correlación positiva moderada entre la primera y segunda evaluación de los 8 estudiantes.
En Excel:
En GeoGebra:
Ejemplo ilustrativo N° 2: La siguiente tabla muestra las calificaciones de 8 estudiantes universitarios en las asignaturas de Matemática y Estadística. Calcular el coeficiente de correlación por rangos de Spearman. N° Estudiante Matemática Estadística 1 Dyana 2 Elizabeth 3 Mario 4 Orlando 5 Mathías 6 Josué 7 Emily 8 Monserrath 10 9 8 7 7 6 6 4 8 6 10 9 8 7 6 9 Solución: Para calcular el coeficiente de correlación por rangos de Spearman se procede a clasificar u ordenar los datos en rangos (X para Matemática y Y para Estadística) tomando en cuenta las siguientes observaciones: En la asignatura de Matemática se observa: – Dyana tiene la más alta calificación, ocupando el primer puesto, por lo que su rango es 1 – Elizabeth ocupa el segundo puesto, por lo que su rango es 2 – Mario se encuentra ubicado en el tercer lugar, por lo que su rango es 3 – Orlando y Mathías ocupan el cuarto y quinto puesto, por lo que su rango es la media aritmética de 4 y 5 que da por resultado 4,5 – Josué y Emily ocupan el sexto y séptimo lugar, por lo que su rango es la media aritmética de 6 y 7 que da por resultado 6,5 – Monserrath se encuentra ubicada en el octavo lugar, por lo que su rango es 8 En la asignatura de Estadística se observa: – Mario tiene la más alta calificación, ocupando el primer puesto, por lo que su rango es 1 – Orlando y Monserrath ocupan el segundo y tercer puesto, por lo que su rango es la media aritmética de 2 y 3 que da por resultado 2,5
?? ?? ¯ ¯ – Dyana y Mathías ocupan el cuarto y quinto puesto, por lo que su rango es la media aritmética de 4 y 5 que da por resultado 4,5 – Josué se encuentra ubicado en el sexto lugar, por lo que su rango es 6 – Elizabeth y Emily ocupan el séptimo y octavo lugar, por lo que su rango es la media aritmética de 7 y 8 que da por resultado 7,5
Los rangos X y Y se presentan en la siguiente tabla: N° Estudiante Matemática Estadística ?? ?? 1 Dyana 2 Elizabeth 3 Mario 4 Orlando 5 Mathías 6 Josué 7 Emily 8 Monserrath 10 9 8 7 7 6 6 4 8 6 10 9 8 7 6 9 1 2 3 4,5 4,5 6,5 6,5 8 4,5 7,5 1 2,5 4,5 6 7,5 2,5 Calculando ??, ??2 ?? S??2 se obtiene los siguientes resultados: N° Estudiante Matemática Estadística ?? = ?? – ?? ??2 = (?? – ??)2 1 Dyana 2 Elizabeth 3 Mario 4 Orlando 5 Mathías 6 Josué 7 Emily 8 Monserrath 10 9 8 7 7 6 6 4 8 6 10 9 8 7 6 9 1 2 3 4,5 4,5 6,5 6,5 8 4,5 7,5 1 2,5 4,5 6 7,5 2,5 -3,5 -5,5 2 2 0 0,5 -1 5,5 12,25 30,25 4 4 0 0,25 1 30,25 S d2 = 82 Aplicando la fórmula se obtiene: ???? = 1 – 6 ? ??2 ??(??2 – 1) = 1- 6 · 82 8(82 – 1) =1- 492 504 – 492 = 504 504 = 12 504 = 0,024 COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN Revela qué porcentaje del cambio en Y se explica por un cambio en X. Se calcula elevando al cuadrado el coeficiente de correlación. ?? = ? ???? v(? ??2 )(? ??2 ) ?? = ?? – ??; ?? = ?? – ??; r = Coeficiente de correlación de Pearson; ?? 2 = Coeficiente de determinación La ecuación del coeficiente producto-momento (Coeficiente de Pearson) ?? = escribirse en la forma equivalente: ?? ? ???? – (? ??)(? ??) ?????????????????????? ???? ?????????????? = ?? = v[?? ? ??2 – (? ??)2 ][?? ? ??2 – (? ??)2 ] ? ???? v(? ?? 2)(? ?? 2) puede De donde coeficiente de determinación = ?? 2 = (Coeficiente de Pearson )2
Ejemplo ilustrativo: Con los datos de la siguiente tabla sobre las temperaturas, calcular el coeficiente de determinación empleando la ecuación obtenida de la forma equivalente del coeficiente de Pearson.
X 18 17 15 16 14 12 9 15 16 14 16 18 Y 13 15 14 13 9 10 8 13 12 13 10 8
?? = = Solución: Se calcula el coeficiente de Pearson llenando la siguiente tabla: ?? 18 17 15 16 14 12 9 15 16 14 16 18 ?? 13 15 14 13 9 10 8 13 12 13 10 8 ???? 234 255 210 208 126 120 72 195 192 182 160 144 ???? 324 289 225 256 196 144 81 225 256 196 256 324 ???? 169 225 196 169 81 100 64 169 144 169 100 64 ???? = ?????? ???? = ?????? ?????? = ???????? ?????? = ????????
Se aplica la ecuación para calcular el coeficiente de Pearson. ?????? = ???????? ?? ? ???? – (? ??)(? ??) v[?? ? ??2 – (? ??)2 ][?? ? ??2 – (? ??)2 ] 12 · 2098 – 180 · 138 v[12 · 2772 – (180)2 ][12 · 1650 – (138)2 ] ?? = 25176 – 24840 v[33264 – 32400][19800 – 19044] = 336 v[864][756] = 336 v653184 = 336 808,198 = 0,4157 Elevando al cuadrado coeficiente de Pearson queda calculado el coeficiente de determinación.
Coeficiente de determinación = ?? 2 = (0,4157)2 = 0,1728
Esto establece que 17,28% del cambio en Y se explica mediante un cambio en X.
Nota: El ?? 2 tiene significado sólo para las relaciones lineales. Dos variables pueden tener ?? 2 = 0 y sin embargo estar relacionadas en sentido curvilíneo. El valor de ?? 2 no se interpreta como si la variable Y fuera causado por un cambio de la variable X, ya que la correlación no significa causa.
ANÁLISIS DE REGRESIÓN La regresión examina la relación entre dos variables, pero restringiendo una de ellas con el objeto de estudiar las variaciones de una variable cuando la otra permanece constante. En otras palabras, la regresión es un método que se emplea para predecir el valor de una variable en función de valores dados a la otra variable.
a) LA RECTA DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS Se llama línea de mejor ajuste y se define como la línea que hace mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a ella de todos los puntos que corresponden a la información recogida.
La recta de los mínimos cuadrados que aproxima el conjunto de puntos (??1 , ??1 ), (??2 , ??2 ), (??3 , ??3 ), … … (???? , ???? ) tomando en cuenta a Y como variable dependiente tiene por ecuación ?? = ??0 + ??1 ??
{ ?x { ¯ ¯ ?y ¯ ¯ ¯ ¯ A esta ecuación suele llamarse recta de regresión de ?? sobre ??, y se usa para estimar los valores de ?? para valores dados de ??
Si a la recta de regresión ?? = ??0 + ??1 ?? se le suma en ambos lados ? ?? = ?(??0 + ??1 ??) se obtiene ? ?? = ??0 ?? + ??1 ? ??
Si a la recta de regresión ?? = ??0 + ??1 ?? se multiplica por ?? a ambos lados y luego se suma ? ?? ?? = ? ??(??0 + ??1 ??) se obtiene ? ?? ?? = ??0 ? ?? + ??1 ? ??2
Las constantes ??0 ?? ??1 quedan fijadas al resolver simultáneamente las ecuaciones anteriormente encontradas, es decir, al resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
S?? = ??0 ?? + ??1 S?? S???? = ??0 S?? + ??1 S??2 Que se llaman las ecuaciones normales para la recta de mínimos cuadrados.
Las constantes ??0 y ??1 de las anteriores ecuaciones también se pueden calcular empleando las siguientes fórmulas: ??0 = ? ?? · ? ??2 – ? ?? · ? ???? ?? ? ??2 – (? ??)2 ??1 = ?? ? ???? – ? ?? · ? ?? ?? ? ??2 – (? ??)2 Otra ecuación para los mínimos cuadrados para ?? = ?? – ?? , ?? = ?? – ?? de la recta de regresión de Y sobre X es: ? ???? ?? = ( 2 ) ?? La recta de los mínimos cuadrados que aproxima el conjunto de puntos (??1 , ??1 ), (??2 , ??2 ), (??3 , ??3 ), … … (???? , ???? ) tomando en cuenta a X como variable dependiente tiene por ecuación:
?? = ??0 + ??1 ??
A esta ecuación suele llamarse recta de regresión de X sobre Y, y se usa para estimar los valores de X para valores dados de Y. Las constantes ??0 y ??1 quedan fijadas al resolver el siguiente sistema de ecuaciones: S?? = ??0 ?? + ??1 S?? S???? = ??0 S?? + ??1 S??2
Las constantes ??0 y ??1 del sistema de ecuaciones anterior se pueden calcular empleando las siguientes fórmulas: ??0 = ? ?? · ? ??2 – ? ?? · ? ???? ?? ? ??2 – (? ??)2 ??1 = ?? ? ???? – ? ?? · ? ?? ?? ? ??2 – (? ??)2 Otra ecuación para los mínimos cuadrados para ?? = ?? – ?? , ?? = ?? – ?? es: ? ???? ?? = ( 2 ) ??
El punto de intersección entre las rectas ?? = ??0 + ??1 ?? con ?? = ??0 + ??1 ?? se simboliza (??, ??) y se llama centroide o centro de gravedad
{ ?x { { = = = | | = = = Ejemplo ilustrativo: Con los datos de la siguiente tabla sobre la altura en centímetros (X) y los pesos en kilogramos (Y) de una muestra de 8 estudiantes varones tomada al azar del segundo semestre de una universidad. X 152 157 162 167 173 178 182 188 Y 56 61 67 72 70 72 83 92 1) Ajustar la recta de mínimos cuadrados para Y como variable dependiente resolviendo el sistema: S?? = ??0 ?? + ??1 S?? S???? = ??0 S?? + ??1 S??2 2) Ajustar la recta de mínimos cuadrados para Y como variable dependiente empleando las fórmulas: ??0 = ? ?? · ? ??2 – ? ?? · ? ???? ?? ? ??2 – (? ??)2 ??1 = ?? ? ???? – ? ?? · ? ?? ?? ? ??2 – (? ??)2 3) Ajustar la recta de mínimos cuadrados para Y como variable dependiente empleando la fórmula: ? ???? ?? = ( 2 ) ?? 4) Ajustar la recta de mínimos cuadrados para X como variable dependiente resolviendo el sistema: S?? = ??0 ?? + ??1 S?? S???? = ??0 S?? + ??1 S??2 5) Calcular el punto centroide. 6) Elaborar el diagrama de dispersión. Y en el mismo diagrama graficar las dos rectas de mínimos cuadrados obtenidas en los pasos anteriores. 7) Estimar el valor de Y cuando X = 200 en el diagrama de dispersión de Y como variable dependiente. 8) Estimar el valor de X cuando Y= 100 en el diagrama de dispersión X como variable dependiente.
Solución: Se llena la siguiente tabla: ?? 152 157 162 167 173 178 182 188 ?? 56 61 67 72 70 72 83 92 ???? 8512 9577 10854 12024 12110 12816 15106 17296 ??2 23104 24649 26244 27889 29929 31684 33124 35344 ??2 3136 3721 4489 5184 4900 5184 6889 8464 S?? = 1359 S?? = 573 S???? = 98295 S??2 = 231967 S??2 = 41967
1) Remplazando valores en el sistema se tiene: S?? = ??0 ?? + ??1 S?? S???? = ??0 S?? + ??1 S?? 573 = ??0 · 8 + ??1 · 1359 8??0 + 1359??1 = 573 2 ? 98295 = ??0 · 1359 + ??1 · 231967 ? {1359??0 + 231967??1 = 98295 Resolviendo el sistema por determinantes (regla de Cramer) se obtiene: ??0 = 573 1359 ???0 |98295 231967| 573 · 231967 – 98295 · 1359 -665814 ? 8 1359 8 · 231967 – 1359 · 1359 8855 1359 231967 = -75,191 ??1 = 8 573 ???1 |1359 98295| 8 · 98295 – 1359 · 573 7653 ? 8855 8855 8855 = 0,864
¯ ¯ Para calcular los valores de ??1 ?? ??0 en Excel se calcula de la siguiente manera:
Los cálculos en GeoGebra se muestran en la siguiente figura:
Remplazando valores en la ecuación respectiva se obtiene: ?? = ??0 + ??1 ?? ? ?? = -75,191 + 0,864??
Interpretación: – El valor ??1 = 0,864 indica que la recta tiene una pendiente positiva aumentando a razón de 0,864 – El valor de ??0 = -75,191 indica el punto en donde la recta interseca al eje Y cuanto X = 0
2) Con los datos de la tabla anterior se substituye valores en las siguientes ecuaciones: ??0 = ? ?? · ? ??2 – ? ?? · ? ???? 573 · 231967 – 1359 · 98295 -665814 = = ?? ? ??2 – (? ??)2 8 · 231967 – (1359)2 8855 – 75,191 ??1 = ?? ? ???? – ? ?? · ? ?? 8 · 98295 – 1359 · 573 7653 = = ?? ? ??2 – (? ??)2 8 · 231967 – (1359)2 8855 = 0,864 Remplazando valores en la ecuación respectiva se obtiene: ?? = ??0 + ??1 ?? ? ?? = -75,191 + 0,864??
3) Se calcula las medias aritméticas de X y Y para llenar la siguiente tabla: ?? = 1359 8 = 169,875 ; ?? = 573 8 = 71,625
¯ ¯ ?x ¯ ¯ { { ¯ ¯ ¯ ¯ ?? 152 157 162 167 173 178 182 188 ?? 56 61 67 72 70 72 83 92 -17,88 -12,88 -7,875 -2,875 3,125 8,125 12,125 18,125 ?? = ?? – ?? ?? = ?? – ?? -15,625 -10,625 -4,625 0,375 -1,625 0,375 11,375 20,375 ???? 279,297 136,797 36,422 -1,078 -5,078 3,047 137,922 369,297 ?? 2 319,516 165,766 62,016 8,266 9,766 66,016 147,016 328,516 ?? 2 244,141 112,891 21,391 0,141 2,641 0,141 129,391 415,141 S?? = 1359 S?? = 573 S???? = 956,625 S?? 2 = 1106,875 S?? 2 = 925,875 Remplazando valores en la fórmula respectiva se obtiene: ? ???? ?? = ( 2 ) ?? ? ?? = 956,625 1106,875 ?? ? ?? – ?? = 956,625 1106,875 (?? – ??) ?? – 71,625 = 956,625 1106,875 (?? – 169,875) ? 1106,875(?? – 71,625) = 956,625(?? – 169,875) 1106,875?? – 79280,20838 = 956,625?? – 162510,4984 1106,875?? = 956,625?? – 162510,4984 + 79280,20838 1106,875?? = 956,625?? – 83230,29 ?? = 956,625?? – 83230,29 1106,875 ? ?? = 956,625?? 83230,29 – 1106,875 1106,875 ? ?? = 0,864?? – 75,19 ?? = -75,19 + 0,864??
4) Remplazando valores en sistema respectivo se obtiene: S?? = ??0 ?? + ??1 S?? S???? = ??0 S?? + ??1 S?? 1359 = ??0 · 8 + ??1 · 573 8??0 + 573??1 = 1359 2 ? 98295 = ??0 · 573 + ??1 · 41967 ? 573??0 + 41967??1 = 98295 Resolviendo el sistema se obtiene: ??0 = 95,871; ??1 = 1,033
Remplazando valores en la ecuación de la recta de mínimos cuadrados se obtiene: ?? = ??0 + ??1 ?? ? ?? = 95,871 + 1,033??
Los cálculos en GeoGebra insertando Ajuste Lineal se muestran en la siguiente figura:
Interpretación: – El valor ??1 = 1,033 indica que la recta tiene una pendiente positiva aumentando a razón de 1,033 – El valor de ??0 = 95,871 indica el punto en donde la recta interseca al eje X cuanto Y = 0
5) Para calcular el centroide (??, ??) se resuelve el sistema formado por las dos rectas de los mínimos cuadrados en donde X es ?? y Y es ??. ?? = -75,191 + 0,864?? ?? = 95,871 + 1,033?? Al resolver el sistema se obtiene el centroide: X = 169,3 y Y = 71,092
2 Año 6) Empleando el programa Graph se obtiene la siguiente figura:
7) Remplazando X = 200 en la ecuación solicitada se obtiene: ?? = -75,191 + 0,864?? = -75,191 + 0,864 · 200 = -75,191 + 172,8 = 97,609
8) Remplazando Y = 100 en la ecuación solicitada se obtiene: ?? = 95,871 + 1,033?? = ?? = 95,871 + 1,033 · 100 = ?? = 95,871 + 103,3 = 199,171
b) LA PARÁBOLA DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS La parábola de mínimos cuadrados que aproxima el conjunto de puntos (??1 , ??1 ), (??2 , ??2 ), (??3 , ??3 ), … (???? , ???? ) tiene ecuación dada por ?? = ??0 + ??1 ?? + ??2 ?? , donde las constantes ??0 , ??1 y ??2 se determinan al resolver simultáneamente el sistema de ecuaciones que se forma al multiplicar la ecuación ?? = ??0 + ??1 ?? + ??2 ??2 por 1, ??, ?? sucesivamente, y sumando después.
S?? = ??0 ?? + ??1 S?? + ??2 S??2 { S???? = ??0 S?? + ??1 S??2 + ??2 S??3 S??2 ?? = ??0 S??2 + ??1 S??3 + ??2 S??4 Ejemplo ilustrativo: La siguiente tabla muestra la población de un país en los años 1960-2010 en intervalos de 5 años. 196019651970 197519801985 1990 1995 2000 2005 2010 Población (millones) 4,52 5,18 6,25 7,42 8,16 9,12 10,9211,6212,68 13,1213,97
1) Ajustar una parábola de mínimos cuadrados de la forma ?? = ??0 + ??1 ?? + ??2 ??2 2) Calcular los valores de tendencia para los años dados. 3) Estimar la población para los años 2015 y 2020. 4) Elaborar un diagrama de dispersión, y en el mismo diagrama graficar la parábola de los mínimos cuadrados. Nota: Se recomienda codificar o cambiar la numeración de los años, tratando que X = 0 esté ubicado en lo posible en el centro.
{ | | | | | | Solución: Para ajustar una parábola de mínimos cuadrados se llena la siguiente tabla: Año 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 S ?? -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 ?? 4,52 5,18 6,25 7,42 8,16 9,12 10,92 11,62 12,68 13,12 13,97 102,96 ??2 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 110 ??3 -125 -64 -27 -8 -1 0 1 8 27 64 125 0 ??4 625 256 81 16 1 0 1 16 81 256 625 1958 ???? -22,6 -20,72 -18,75 -14,84 -8,16 0 10,92 23,24 38,04 52,48 69,85 109,46 ??2 ?? 113 82,88 56,25 29,68 8,16 0 10,92 46,48 114,12 209,92 349,25 1020,66 Se remplaza valores en el sistema y se obtiene: S?? = ??0 ?? + ??1 S?? + ??2 S??2 { S???? = ??0 S?? + ??1 S??2 + ??2 S??3 S??2 ?? = ??0 S??2 + ??1 S??3 + ??2 S??4 102,96 = a0 · 11 + a1 · 0 + a2 · 110 11a0 + 0a1 + 110a2 = 102,96 109,46 = a0 · 0 + a1 · 110 + a2 · 0 ? { 0a0 + 110a1 + 0a2 = 109,46 1020,66 = a0 · 110 + a1 · 0 + a2 · 1958 110a0 + 0a1 + 1958a2 = 1020,66 Resolviendo el sistema empleando determinantes (regla de Cramer) se obtiene: 102,96 0 110 ???? = ???0 ? = 102,96 0 | 109,46 110 1020,66 0 11 0 | 0 110 110 0 110 0 | 1958 110 0 | 1958 = 109,46 110 |1020,66 0 102,96 0 109,46 110 11 0 0 110 |110 0 11 0 0 1958| 110 0 110 0 1958| 110 0 110 0 a0 = 22175524,8 + 0 + 0 – 12349986 – 0 – 0 9825538,8 = 2369180 + 0 + 0 – 1331000 – 0 – 0 1038180 = 9,464 11 102,96 110 ??1 = ???1 ? = 11 | 0 110 102,96 110 109,46 0 | 1020,66 1958 1038180 = 0 |110 11 0 109,46 0 1020,66 1958| 102,96 110 109,46 0 1038180 ??1 = 23577549,48 + 0 + 0 – 1324466 – 0 – 0 2357549,48 = 1038180 1038180 = 0,995
| | 11 0 102,96 ??2 = ???2 ? = 11 | 0 110 0 102,96 110 109,46 | 0 1020,66 1038180 = 0 |110 11 0 110 109,46 0 1020,66| 0 102,96 110 109,46 1038180 ??2 = 1234998,6 + 0 + 0 – 1245816 – 0 – 0 -10817,4 = 1038180 1038180 = -0,01 El sistema de ecuaciones resuelto en GeoGebra: 67669 7150 = 9,464 ; 5473 5500 = 0,995 ; – 149 14300 = -0,01 Remplazando los valores encontrados se obtiene la ecuación de la parábola de mínimos cuadrados: ?? = ??0 + ??1 ?? + ??2 ??2 ? ?? = 9,464 + 0,995?? – 0,01??2
2) Los valores de tendencia se obtienen al remplazar los valores de X en la ecuación de la parábola de mínimos cuadrados, los cuales se presenta en la siguiente tabla: Año ?? ?? Valores de tendencia ?? = 9,464 + 0,995?? – 0,01??2 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 4,52 5,18 6,25 7,42 8,16 9,12 10,92 11,62 12,68 13,12 13,97 4,24 5,32 6,39 7,43 8,46 9,46 10,45 11,41 12,36 13,28 14,19 3) Para estimar la población de los años 2015 y 2020 se transforma estos años a X siguiendo la secuencia de la tabla anterior, siendo X = 6 para el año 2015 y X= 7 para el 2020
Entonces para el 2015 se tiene: Y = 9,464 + 0,995X – 0,01X2 =9,464 + 0,995(6) – 0,01(6)2 = 9,464 + 5,97-0,36 =15,074 Para el 2020 se tiene: Y = 9,464 + 0,995X – 0,01X2 =9,464 + 0,995(7) – 0,01(7)2 = 9,464 + 6,965-0,49 =15,939
{ 4) El diagrama de dispersión y la parábola de los mínimos cuadrados en GeoGebra:
REGRESIÓN EXPONENCIAL Cuando la curva de regresión de y sobre x es exponencial, es decir para cualquier x considerada, la media de la distribución está dada por la siguiente ecuación predictora:
?? = ?? · ?? ?? Tomando logaritmos en ambos miembros:
???????? = ???????? + ?? · ????????
Y se puede estimar ahora log Y y log ß, y de ahí obtener ?? y ??, aplicando los métodos de los mínimos cuadrados. Donde las constantes ?? y ?? quedan fijadas al resolver simultáneamente las ecuaciones:
S???????? = ???????? · ?? + ???????? · SX SX · logY = loga · SX + logß · S??2
Ejemplo ilustrativo: Las cifras siguientes son datos sobre el porcentaje de llantas radiales producidas por cierto fabricante que aún pueden usarse después de recorrer cierto número de millas: Miles de Millas recorridas (X) Porcentaje útil (Y) 1 99 2 95 5 85 15 55 25 30 30 24 35 20 40 15 1) Ajustar una curva exponencial aplicando el método de mínimos cuadrados. 2) Calcular la ecuación predictora. 3) Graficar la ecuación predictora. 4) Estimar qué porcentaje de las llantas radiales del fabricante durarán 50000 millas.
2 { { ?{ Solución: 1) Se llena la siguiente tabla: ?? 1 2 5 15 25 30 35 40 ?? 99 95 85 55 30 24 20 15 ???????? 1,996 1,978 1,929 1,740 1,477 1,380 1,301 1,176 ??2 1 4 25 225 625 900 1225 1600 ?? · ???????? 1,996 3,955 9,647 26,105 36,928 41,406 45,536 47,044 S?? = 153 S???????? = 12,97759 S?? = 4605 S?? · ???????? = 212,61769 Remplazando valores en el sistema se obtiene: S???????? = ???????? · ?? + ???????? · SX SX · logY = loga · SX + logß · S??2 12,97759 = loga · 8 + logß · 153 212,61769 = loga · 153 + logß · 4605 8loga + 153logß = 12,97759 153loga + 4605logß = 212,61769 Al resolver el sistema se obtiene: ??????a = 2,027495747; l????ß = -0,02119180389 Remplazando valores se obtiene: ???????? = ???????? + ?? · ???????? ? ???????? = 2,027496 – 0,02119?? Aplicando el antilogaritmo se obtiene: a = anti log 2,027495747 = 106,536; ß = anti log(-0,02119180389) = 0,952
2) Remplazando en la ecuación predictora se obtiene: ?? = ?? · ?? ?? ? ?? = 106,536 · 0,952??
3) Realizando el diagrama de dispersión y los cálculos de la ecuación predictora de GeoGebra insertando AjusteBaseExp[ < Lista de Puntos> ] se obtiene:
4) La estimación del porcentaje de llantas radiales que durarán 50000 millas se obtiene remplazando en la ecuación predictora el valor de X = 50 ?? = 106,536 · 0,952?? ? ?? = 106,536 · 0,95250 = 9,106 Entonces el porcentaje sería de 9,106%
{ ?? 1 4 5 6 7 S?? = 28 { REGRESIÓN POTENCIAL La regresión potencial tiene por ecuación predictora: ?? = ?? · ???? Y la regresión recíproca es: ?? = 1 ?? + ?? · ?? Para el primer caso los valores siguen una ley potencial. Si la ecuación predictora está dada por: ?? = ?? · ???? tomando logaritmos en ambos miembros, queda: ???????? = ???????? + ?? · ????????
Donde las constantes ?? y ?? quedan fijadas al resolver simultáneamente las ecuaciones: S???????? = ???????? · ?? + ?? · SlogX SlogX · logY = loga · SlogX + ß · S(????????)2 Para el segundo caso, si la ecuación predictora está dada por ?? = 1 ??+??·?? misma expresión se puede escribir = , o sea: ?? 1 1 1 ?? = ? = ?? + ?? · ?? ?? + ?? · ?? ?? 1 ??+??·?? , entonces invirtiendo, la Donde las constantes ?? y ?? quedan fijadas al resolver simultáneamente las ecuaciones:
1 S = ?? · ?? + ?? · SX { SX · = ?? · SX + ß · S??2 ??
Ejemplos ilustrativo N° 1: Sea el siguiente conjunto de valores, las lecturas de un experimento donde X es el volumen (variable independiente) e Y es la presión de una masa dada de gas (variable resultante). X 1 2 3 4 5 6 7 Y 7 30 90 170 290 450 650 1.1) Ajustar una curva exponencial aplicando el método de mínimos cuadrados. 1.2) Calcular la ecuación predictora. 1.3) Graficar la ecuación predictora. 1.4) Estimar la presión de la masa de gas de volumen 9.
Solución: 1.1) Para ajustar una curva exponencial aplicando el método de mínimos cuadrados: ?? 1 2 3 ?? 7 30 90 170 290 450 650 ???????? 0,0000 0,3010 0,4771 0,6021 0,6990 0,7782 0,8451 ???????? 0,8451 1,4771 1,9542 2,2304 2,4624 2,6532 2,8129 ???????? · ???????? 0,0000 0,4447 0,9324 1,3429 1,7211 2,0646 2,3772 (????????)2 0,0000 0,0906 0,2276 0,3625 0,4886 0,6055 0,7142 S???????? = 3,7024 S???????? = 14,4354 S???????? · ???????? = 8,8829 S(????????)2 = 2,4890
Remplazando valores en el sistema de ecuaciones se obtiene: S???????? = ???????? · ?? + ?? · SlogX SlogX · logY = loga · SlogX + ß · S(????????)2
{ ?{ 14,4354 = ???????? · 7 + ?? · 3,7024 8,8829 = ???????? · 3,7024 + ?? · 2,4890 7???????? + 3,7024?? = 14,4354 3,7024???????? + 2,4890?? = 8,8829 Al resolver el sistema se obtiene: log a = 0,819; ß = 2,351
Remplazando valores en la ecuación predictora expresada en logaritmos se tiene: ???????? = ???????? + ?? · ???????? ? ???????? = 0,819 + 2,351 · ????????
1.2) Para calcular la ecuación predictora, primero se calcula el valor de a de la siguiente manera: ???????? = 0,819 ? ?? = ?????????????? 0,819 = 6,592 Remplazando en la ecuación predictora se obtiene: ?? = ?? · ???? ? ?? = 6,592 · ??2,351
1.3) Realizando el diagrama de dispersión y calculando la ecuación predictora en GeoGebra:
1.4) Para estimar la presión de la masa de gas de volumen 9 se reemplaza el valor X = 9 en la ecuación predictora ?? = 6,592 · ??2,351 ? ?? = 6,592 · 92,351 = 1154,63
Ejemplo ilustrativo N° 2: Sea el siguiente conjunto de valores, las lecturas de un experimento donde X es la variable independiente e Y la variable resultante. X 1 2 3 4 5 6 7 Y 1,4 1 0,9 0,7 0,6 0,55 0,5
2.1) Calcular las constantes ?? y ??, aplicando el método de mínimos cuadrados. 2.2) Calcular la ecuación predictora. 2.3) Graficar la ecuación predictora. 2.4) Estimar el valor de Y para X = 9
2 { Solución: 2.1) Para calcular las constantes ?? y ??, aplicando el método de mínimos cuadrados se llena la siguiente tabla: ?? 1 2 3 4 5 6 7 ?? 1,4 1 0,9 0,7 0,6 0,55 0,5 1/?? 0,7143 1,0000 1,1111 1,4286 1,6667 1,8182 2,0000 ??(1/??) 0,7143 2,0000 3,3333 5,7143 8,3333 10,9091 14,0000 ??2 1 4 9 16 25 36 49 S?? = 28 S (1/??) = 9,7388 S ??(1/??) = 45,0043 S?? = 140 Remplazando valores en el siguiente sistema se obtiene: 1 S = ?? · ?? + ?? · SX ?? 1 SX · = ?? · SX + ß · S??2 ?? ?{ 9,7388 = ?? · 7 + ?? · 28 45,0043 = ?? · 28 + ?? · 140 ?{ 7?? + 28?? = 9,7388 28?? + 140?? = 45,0043 Al resolver el sistema se obtiene: a = 0,5271; ß = 0,2160
2.2) Para calcular la ecuación predictora se remplaza los valores encontrados de a y ß, y se obtiene: ?? = 1 ?? + ?? · ?? ? ?? = 1 0,5271 + 0,2160?? 2.3) La gráfica la ecuación predictora elaborada en Excel:
2.4) Para estimar el valor de Y para X = 9 se reemplaza el valor de X en la ecuación predictora. ?? = 1 0,5271 + 0,2160?? ? ?? = 1 0,5271 + 0,2160 · 9 = 0,405 ERROR ESTÁNDAR DE ESTIMACIÓN Es el grado de dispersión de los datos con respecto a la recta de regresión ?? = ??0 + ??1 ?? El error estándar de estimación se calcula con la fórmula: ???? = v ?(???? – ???????? )2 ?? – 2
???? = v ¯ ¯ ???? = v ???? = v 8-2 = 4,556 Donde: ???? = cada valor de Y ???????? = valor estimado de Y a partir de la recta de regresión N = número de datos Otras ecuaciones para calcular el error estándar de estimación son: ? ??2 – ??0 ? ?? – ??1 ? ???? ?? – 2 ???? = v ? ?? 2 – ??1 ? ???? ?? – 2 Donde: ??0 = ordenada en el origen (punto de intersección de la recta con el eje y) ??1 = pendiente de la recta (tangente del ángulo de inclinación de la recta) ?? = ?? – ?? ?? = ?? – ??
Ejemplo ilustrativo: Calcular error estándar de estimación empleando las 3 fórmulas dadas, utilizando los datos de la tabla del ejemplo para ajustar la recta de mínimos cuadrados para Y como variable dependiente. X 152 157 162 167 173 178 182 188 Y 56 61 67 72 70 72 83 92 Solución: Para comenzar a resolver este ejemplo recordemos que ya se obtuvo los valores respectivos al resolver el ejemplo para ajustar la recta de mínimos cuadrados, los cuales fueron: S?? = 1359; S?? = 573; S???? = 98295; S??2 = 231967; S??2 = 41967; S???? = 956,625 S??2 = 1106,875; S??2 = 925,875; ??0 = -75,191; ??1 = 0,864; ?? = -75,191 + 0,864??
1) Para emplear la primera fórmula se llena la siguiente tabla: ?? 152 157 162 167 173 178 182 188 ?? 56 61 67 72 70 72 83 92 ???????? = 75,191 + 0,86?? -75,191+0,86(152) -75,191+0,86(157) -75,191+0,86(162) -75,191+0,86(167) -75,191+0,86(173) -75,191+0,86(178) -75,191+0,86(182) -75,191+0,86(188) ???????? 55,529 59,829 64,129 68,429 73,589 77,889 81,329 86,489 (?? – ???????? )2 0,222 1,371 8,243 12,752 12,881 34,680 2,792 30,371 S
Se remplaza valores en la primera fórmula se obtiene: 103,312 ?(???? – ???????? )2 ?? – 2 103,312 =v 8-2 = 3,842 2) Remplazando valores en la segunda fórmula se obtiene: ? ??2 – ??0 ? ?? – ??1 ? ???? ?? – 2 41967 – (-75,191)(573) – 0,864(98295) ???? = v 41967 + 43084,443 – 84926,88 =v 6
???? = v 3) Remplazando valores en la tercera fórmula se obtiene: ? ??2 – ??1 ? ???? ?? – 2 925,875 – 0,864(956,625) =v 8-2 =v 99,351 6 = 4,069 Empleando exclusivamente Excel para calcular el error estándar de estimación se procede de la siguiente manera: Se inserta la función ERROR.TIPICO.XY. Se selecciona las celdas respectivas. Pulsar en Aceptar.
Interpretación: El valor de ???? = 4,064, significa que los puntos están dispersos a una distancia de 4,064 de la recta de regresión.
Fuente:
Suárez, Mario. & Tapia, Fausto. (2014). Interaprendizaje de Estadística Básica. Ibarra, Ecuador: Universidad Técnica de Norte
Suárez, Mario. (2014). Probabilidades y Estadística empleando las TIC. Ibarra, Ecuador: Imprenta GRAFICOLOR
Libros y artículos del Mgs. Mario Suárez sobre Aritmética, Álgebra, Geometría, Trigonometría, Lógica Matemática, Probabilidades, Estadística Descriptiva, Estadística Inferencial, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, y Planificaciones Didácticas se encuentran publicados en: http://es.scribd.com/mariosuarezibujes http://repositorio.utn.edu.ec/handle/123456789/760 http://www.docentesinnovadores.net/Usuarios/Ver/29591