Ecuación general de movimiento

? ? ? ? ? ? ? ? 1/2 ? ? ? ? ? ? ? ? Ecuación General de Movimiento Alejandro A. Torassa Licencia Creative Commons Atribución 3.0 (2013) Buenos Aires, Argentina [email protected] Resumen En mecánica clásica, este trabajo presenta una ecuación general de movimiento, que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia (rotante o no rotante) (inercial o no inercial) sin necesidad de introducir fuerzas ?cticias. Introducción La ecuación general de movimiento es una ecuación de transformación entre un sistema de refe- rencia S y un sistema de referencia no cinético S. Según este trabajo, un observador S utiliza un sistema de referencia S y un sistema de referencia no cinético S. La posición no cinética ra , la velocidad no cinética va y la aceleración no cinética aa de una partícula A de masa ma respecto a un sistema de referencia no cinético S, están dadas por: ra = (Fa /ma ) dt dt va = (Fa /ma ) dt aa = (Fa /ma ) donde Fa es la fuerza resultante que actúa sobre la partícula A. La velocidad angular no cinética ?S y la aceleración angular no cinética aS de un sistema de referencia S ?jo a una partícula S respecto a un sistema de referencia no cinético S, están dadas por: ?S = (F1 /ms – F0 /ms )/(r1 – r0 ) aS = d(?S )/dt donde F1 es la fuerza resultante que actúa sobre el sistema de referencia S en un punto 1, F0 es la fuerza resultante que actúa sobre el sistema de referencia S en un punto 0, r1 es la posición del punto 1 respecto al sistema de referencia S (el punto 1 no pertenece al eje de rotación) r0 es la posición del punto 0 respecto al sistema de referencia S (el punto 0 es el centro de masa de la partícula S y el origen del sistema de referencia S) y ms es la masa de la partícula S (?S es colineal con el eje de rotación) 1

?r ? ? ? ?v ? ? ? ? ?a ? ? ? ? ?a ? ? ? ? ? ? ?a ? ? ?a ? ? ? ? Ecuación General de Movimiento La ecuación general de movimiento para dos partículas A y B respecto a un observador S es: ma mb (ra – rb ) – ma mb (? a – rb ) = 0 donde ma y mb son las masas de las partículas A y B, ra y rb son las posiciones de las partículas A y B, ra y rb son las posiciones no cinéticas de las partículas A y B. Derivando la ecuación anterior con respecto al tiempo, se obtiene: ma mb (va – vb ) + ?S × (ra – rb ) – ma mb (? a – vb ) = 0 Derivando nuevamente con respecto al tiempo, se obtiene: ma mb (aa – ab ) + 2 ?S × (va – vb ) + ?S × (?S × (ra – rb )) + aS × (ra – rb ) – ma mb (? a – ab ) = 0 Sistema de Referencia Aplicando la ecuación anterior a dos partículas A y S, se tiene: ma ms (aa – as ) + 2 ?S × (va – vs ) + ?S × (?S × (ra – rs )) + aS × (ra – rs ) – ma ms (? a – as ) = 0 Si dividimos por ms y el sistema de referencia S ?jo a la partícula S (rs = 0, vs = 0 y as = 0) es rotante respecto al sistema de referencia no cinético S (?S = 0), entonces se obtiene: ma aa + 2 ?S × va + ?S × (?S × ra ) + aS × ra – ma (? a – as ) = 0 Si el sistema de referencia S es no rotante respecto al sistema de referencia no cinético S (?S = 0), entonces se obtiene: ma aa – ma (? a – as ) = 0 Si el sistema de referencia S es inercial respecto al sistema de referencia no cinético S (?S = 0 y as = 0), entonces se obtiene: ma aa – ma aa = 0 o sea: ma aa – Fa = 0 donde esta ecuación es la segunda ley de Newton. 2

? a ?r ? ? cm cm ° mi mj ° i j>i Mij r ? ° ° r ? ° ° Ecuación de Movimiento Desde la ecuación general de movimiento se deduce que la aceleración aa de una partícula A de masa ma respecto a un sistema de referencia S ?jo a una partícula S de masa ms , está dada por: aa = Fa ma F a – 2 ?S × va – S ms donde FS es la fuerza resultante que actúa sobre el sistema de referencia S en el punto A (ra ) Este trabajo considera que el principio de inercia es falso. Por lo tanto, en este trabajo no hay ninguna necesidad de introducir fuerzas ?cticias. Posición Universal Aplicando la ecuación general de movimiento a una partícula A de masa ma y al centro de masa del universo de masa mcm , se tiene: ma mcm (ra – rcm ) – ma mcm (? a – rcm ) = 0 Dividiendo por mcm y considerando que rcm es siempre cero, entonces se obtiene: ma (ra – rcm ) – ma ra = 0 o sea: ma ra – Fa dt dt = 0 donde ra es la posición de la partícula A respecto al centro de masa del universo. Principio General Desde la ecuación general de movimiento se deduce que la posición total Rij de un sistema de bipartículas de masa Mij (Mij = ?i ? j>i mi mj ), está dada por: Rij = ? ? (ri – rj ) – (? i – rj ) = 0 Desde la ecuación general de movimiento se deduce que la posición total Ri de un sistema de partículas de masa Mi (Mi = ?i mi ) respecto a un observador S ?jo a una partícula S, está dada por: Ri = ? i mi Mi (ri – rs ) – (? i – rs ) = 0 Por lo tanto, la posición total Rij de un sistema de bipartículas y la posición total Ri de un sistema de partículas están siempre en equilibrio. 3

? ? ? ? ° ? ? ? ? ? ? ? ? ?a S ? ? r ° ? Fuerza Cinética La fuerza cinética FC ejercida sobre una partícula A de masa ma por otra partícula B de masa mb respecto a un observador S, está dada por: FC = ma mb mcm (aa – ab ) + 2 ?S × (va – vb ) + ?S × (?S × (ra – rb )) + aS × (ra – rb ) donde mcm es la masa del centro de masa del universo. Desde la ecuación anterior se deduce que la fuerza cinética resultante FCa que actúa sobre una partícula A de masa ma , está dada por: FCa = ma (aa – acm ) + 2 ?S × (va – vcm ) + ?S × (?S × (ra – rcm )) + aS × (ra – rcm ) donde rcm , vcm y acm son la posición, la velocidad y la aceleración del centro de masa del universo. La fuerza cinética resultante FCab y la fuerza no cinética resultante FNab , ambas actuando sobre una bipartícula AB de masa ma mb , están dadas por: FCab = ma mb (FCa /ma – FCb /mb ) FNab = ma mb (FNa /ma – FNb /mb ) -? FCab = ma mb (aa – ab ) + 2 ?S × (va – vb ) + ?S × (?S × (ra – rb )) + aS × (ra – rb ) FNab = ma mb (? a – ab ) -? FCab – FNab = 0 -? Fab = 0 Por lo tanto: La aceleración cinética d 2 (ra – rb )/dt 2 cinética. de una bipartícula AB está relacionada con la fuerza La aceleración no cinética d 2 (? a – rb )/dt 2 S de una bipartícula AB está relacionada con las fuerzas no cinéticas (fuerza gravitatoria, fuerza electromagnética, etc.) La fuerza total Fab que actúa sobre una bipartícula AB está siempre en equilibrio. 4

? ? x x ?r ?r ? z ? x x ?r ?r ? S ? Apéndice Desde el principio general se obtienen las siguientes ecuaciones: 12 ecuaciones para una bipartícula AB respecto a un observador S: 1 x (ra – rb )y × d z (ra – rb ) dt z S – 1 x (? a – rb )y × d z (? a – rb ) dt z S = 0 12 ecuaciones para una partícula A respecto a un observador S ?jo a una partícula S: 1 x (ra – rs )y × d z (ra – rs ) dt z S – 1 x (? a – rs )y × d z (? a – rs ) dt S = 0 Donde: x toma el valor 1 ó 2 (1 ecuación vectorial y 2 ecuación escalar) y toma el valor 0 ó 1 (0 ecuación lineal y 1 ecuación angular) z toma el valor 0 ó 1 ó 2 (0 ecuación posición, 1 ecuación velocidad y 2 ecuación aceleración) Observaciones: rs = 0, vs = 0 y as = 0 respecto al sistema de referencia S. Si y toma el valor 0 entonces el símbolo × debe ser eliminado de la ecuación. d z (…)/dt z indica z-ésima derivada temporal respecto al sistema de referencia no cinético S. Por otra parte, estas 24 ecuaciones serían válidas incluso si la tercera ley de Newton fuera falsa. Bibliografía A. Einstein, Sobre la Teoría de la Relatividad Especial y General. E. Mach, La Ciencia de la Mecánica. R. Resnick y D. Halliday, Física. J. Kane y M. Sternheim, Física. H. Goldstein, Mecánica Clásica. L. Landau y E. Lifshitz, Mecánica. 5