Ecuaciones de Estado Las ecuaciones, en general, de estado vinculan la presión absoluta, el volumen específico y la temperatura absoluta. En la hidráulica los procesos son isotérmicos, por lo que la temperatura deja de ser una variable. Ecuación de estado de un líquido en función del volumen Ecuación de estado de un líquido en función de r (Gp:) coeficiente de compresibilidad volumétrica.
(Gp:) por diferencias finitas
(Gp:) por diferencias finitas
En la práctica : (Gp:) por integración
(Gp:) por integración
(Gp:) Fluído Ideal
Medio contínuo de viscosidad nula – m=0 (Gp:) Líquido Perfecto
(Gp:) Fluído Ideal
+ Incompresible (Gp:) r = cte (Gp:) Ec. Estado
4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica Ecuaciones de Estado Ecuación de Continuidad Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes) Ecuación de la Acción Dinámica (Cantidad de Movimiento) (Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) 3
(Gp:) 4
Vinculan la presión abs., el volumen esp. y la temperatura abs. (Gp:) Líquido Perfecto
(Gp:) r = cte (Gp:) Ec. Estado
Ecuación de Continuidad Principio de Conservación de la Masa Ecuación de Continuidad en un punto : (Gp:) Análisis según el eje y
Simplificando (según el eje y) Extendiendo a los demás ejes y eliminando los diferenciales o bien (Gp:) Cant. neta masa que atraviesa sup. vol. de control en la unidad de tiempo (Gp:) Var.masa contenida en vol. de control en unidad de tiempo (Gp:) + (Gp:) =0
Si ?=cte ? (Cond. de Compresibilidad)
Ecuación de Continuidad Principio de Conservación de la Masa Ecuación de Continuidad en un punto : (Gp:) Cant. neta masa que atraviesa sup. vol. de control en la unidad de tiempo (Gp:) Var.masa contenida en vol. de control en unidad de tiempo (Gp:) + (Gp:) =0
Ecuación de Continuidad en un Tubo de Corriente Ecuación Continuidad para una vena liquida compresible y mov. con impermanencia total Simplificaciones Aporte de M en el tiempo Balance M. en el tiempo • Si fluido incompresible (r=cte) • Si mentrante no varía con t : • Si r=cte y Q no varía respecto del tiempo, ni del recorrido: Si ?=cte ? (Cond. de Compresibilidad) (Gp:) dl (Gp:) Dmi (Gp:) me (Gp:) ms (Gp:) W (Gp:) W+DW
Aporte de M en el recorrido
4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica Ecuaciones de Estado Ecuación de Continuidad Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes) Ecuación de la Acción Dinámica (Conservación de la Cantidad de Movimiento) (Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) 3
(Gp:) 4
Principio de Conservación de la Masa Ecuación de Continuidad en un punto Extensión Ec. Cont. a un Tubo de Corriente Vinculan la presión abs., el volumen esp. y la temperatura abs. (Gp:) Líquido Perfecto
(Gp:) r = cte (Gp:) Ec. Estado
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier – Stokes) Ecuación de Equilibrio Dinámico de las Fuerzas No se tienen en cuenta las fuerzas elásticas (fluido incompresible, r=cte), ni las fuerzas debidas a energía superficial. Fuerzas de masa debido a las acciones exteriores _ Fm • Se considera la acción del campo gravitatorio. • Son proporcionales al volumen y se suponen aplicadas en el centro de gravedad • Se considera un elemento fluido de dim. diferenciales, siendo X, Y, Z las fuerzas de masa por unidad de masa. Fuerzas debido a la viscosidad _ Fm • Son fuerzas de superficie. • Se considera caso gral. velocidades según dos ejes.
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier – Stokes) Ecuación de Equilibrio Dinámico de las Fuerzas No se tienen en cuenta las fuerzas elásticas (fluido incompresible, r=cte), ni las fuerzas debidas a energía superficial. (Gp:) Fuerzas de masa debido a las acciones exteriores _ Fm (Gp:) Fuerzas debido a la viscosidad _ Fm
Fuerzas de presión _ Fp • Son fuerzas de superficie. • La presión es proporcional a la velocidad de deformación lineal • Se considera que un alargamiento según un eje provoca una contracción según los otros dos.
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier – Stokes) Ecuación de equilibrio dinámico según el eje y-y : Reeplazando : Operando : En forma vectorial : Se ha considerado al fluido incompresible (r=cte) y según Ec. de Continuidad div(V)=0 :
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier – Stokes) Simplificaciones : • Se considera al fluido en reposo (V=0) => Ec. de CLAIREAUT Si se calcula el trabajo de las fuerzas (Gp:) Ec. Fund. Hidrostática
Ecuación CLAIREAUT (Gp:) Ecuación escalar
• Se aplica al fluido perfecto, no viscoso (m=0), con movimiento irrotacional (rot(V)=0) y se considera de las fuerzas de masa, solo la gravitatoria F=(0,0,-g) :
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier – Stokes) Simplificaciones : • Se aplica al fluido perfecto, no viscoso (m=0), con movimiento irrotacional (rot(V)=0) y se considera de las fuerzas de masa, solo la gravitatoria F=(0,0,-g) : • Si se considera mov. permanente (dV/dt=0) => Ec. de EULER Integración de la Ec. de EULER => EC. de BERNOULLI
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier – Stokes) Ecuación de BERNOULLI Se plantea el trabajo de las fuerzas : • Fluido perfecto r=cte. • Fluido no viscoso m=0. • Mov. irrotacional rot(V)=0. • Fuerzas de masa, solo la gravitatoria F=(0,0,-g). • Mov. Permanente dV/dt=0. Escalarmente : Operando se obtiene un diferencial de trabajo por unidad de peso : Indica que el trabajo total realizado es nulo La energía es constante a lo largo del recorrido dl (Gp:) Ec. de BERNOULLI en la Línea de corriente
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier – Stokes) (Gp:) Ecuación de Navier – Stokes
Un concepto importante… Se le aplica, ademas, la acción del campo gravitacional terrestre => F=(0,0,-g). Operando : Se aplica la ec. N-S a un fluido con características similares a las del agua : r=cte, m?0 y s=0. (Gp:) Terna intrínseca (Gp:) (componente tangencial)
(Gp:) Ecuación de BERNOULLI Generalizada
Conclusión : No puede admitirse, en un líquido con las características del agua, transporte de masa, sino a costa de un consumo de energía. (Gp:) Ec. de Bernoulli
(Gp:) Indica una pérdida de energía
(Gp:) Movimiento impermanente
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