La Transformada de Laplace (página 3)

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Ecuaciones Integrales

El teorema de convolución es útil en la solución de otros tipos de ecuaciones en las cuales aparecen integrales de una función desconocida.

Definición Ecuaciones integrales de Volterra

La ecuación

donde , son funciones conocidas, es una función incógnita y , un parámetro numérico, se llama ecuación integral lineal de Volterra de segunda especie. La función se denomina núcleo de la ecuación de Volterra. Si la ecuación integral toma la forma

y se llama ecuación integral homogénea de Volterra de segunda especie.

Ejemplo Resuelva la siguiente ecuación integral

Solución

Aplicando la transformada a ambos lados de la ecuación integral tenemos

Luego

Circuitos L-R-C

En un circuito L-R-C en serie la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de tensión a través de un inductor, una resistencia y un capacitor es igual a la tensión aplicada . Sabemos que

La caída de tensión a través de un inductor es .
La caída de tensión a través de la resistencia es .
La caída de tensión a través de un capacitor es , pero como

con lo cual la caída de tensión a través de un capacitor esta dada por

donde es la corriente y , y son constantes conocidas como: la inductancia, la resistencia y la capacitancia, respectivamente.

De lo anterior obtenemos que la corriente en un circuito como el de la figura satisface la ecuación íntegrodiferencial

La cual podemos resolver aplicando transformada de Laplace.

Ejemplo Determine la corriente en un circuito L-R-C en serie para el cual L=0.1H (Henrios), R=20 (Ohms), C= F (Faradios) y . La tensión aplicada al circuito es la que se muestra en la figura 1.13.

Figura 1.14

Solución

Puesto que la función se anula para , se puede escribir como

con lo cual la ecuación diferencial que modela este circuito es

Y al aplicar la transformada a ambos lados de la ecuación anterior, obtenemos que

de donde obtenemos que

Usando fraciones parciales tenemos que

y al aplicar la transformada inversa

Sistemas de ecuaciones diferenciales

El siguiente ejemplo muestra el uso de la transformada de Laplace en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales.

Ejemplo Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

con las condiciones , .

Solución Si y , entonces

o agrupando

Ahora usemos la regla de Cramer para resolver el sistema anterior

De donde obtenemos que

Ejemplo Dada la malla eléctrica de la figura 1.15, determine el valor de las corrientes y , si inicialmente valen cero.

Figura 1.15

Solución

Puesto que la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma algebraica de las caídas de voltaje alrededor de cualquier malla cerrada es cero, tenemos que:

Para la malla KLMNK

Y para la malla JKNPJ:

De donde obtenemos el siguiente sistema:

		0

Tomando transformada de Laplace y usando las condiciones iniciales, , obtenemos que

		0

Observe que de la primera ecuación , de modo que la segunda ecuación se transforma en

Entonces

La transformada de Laplace en Economía

Es cada vez más frecuente, que en economía se utilicen técnicas y métodos matemáticos que originalmente surgieron como respuesta a problemas físicos. Una metodología que es usada comúnmente para problemas de ingeniería es la de las transformadas integrales. En este breve artículo estudiamos a una de ellas, la transformada de Laplace. Lo que hace útil a esta transformada es la interpretación natural que tiene como el valor presente de un flujo de efectivo.

§1 Preliminares

Sea f : [0, 8) . R una función. Una transformada integral es una relación de la forma

en donde la función f es transformada en otra función F por medio de una integral.1 La función F se conoce como la trasformada de f y la función K es el kernel de la transformación. Claramente, la transformada podría no existir. Las transformadas integrales se utilizan para convertir algún problema que involucra a la función f en otro problema, en ocasiones más sencillo, que involucra a F. Adicionalmente, son una herramienta sumamente útil para la resolución de algunas ecuaciones diferenciales.

1 Si el dominio de f es R, entonces el límite inferior podría también ser impropio y ser -8, como es el caso de la transformada de Fourier. 1

La transformada de Laplace2 L[f ](s) es una transformada integral en donde el kernel está dado por e-st de manera que

De este modo, la transformada de Laplace de una función f tiene una interpretación económica evidente: L[f ](s) es el valor presente de un flujo f (t) durante el periodo [0, 8) y con una tasa de descuento igual a s. Esta observación fue hecha en 1986 por S. Buser (véase [Buser 1986]), que detectó en esta transformada una herramienta para calcular el valor presente de flujos de efectivo. Otras aplicaciones dentro de finanzas y actuaría pueden verse en los siguientes artículos: [DeSchepper, Teunen y Goovaerts 1992 y 1994], [Pelsser 2000], [Denuit 2001] y [Bartoszewicz 2000].

Ejemplos

Ej 1.1 Sea f (t) = t, entonces

Esta integral existe siempre y cuando s > 0 e, integrando por partes, se obtiene

De forma semejante,3 si f (t) = tn, n . N.{0}, tenemos que

y esta integral existe para s > 0, tomando el valor

2Nombrada así en honor del matemático francés del siglo XVIII Pierre S. Laplace.3La prueba puede realizarse fácilmente por inducción.

Ej 1.2 Sea f (t) = eat, entonces

existe para toda s > a y está dada por

Del mismo modo,

que es válida para toda s > -a.

Ej 1.3 Sea c(t) una trayectoria de consumo y u(c(t)) la utilidad que se deriva del mismo, entonces

es el valor presente de la utilidad acumulada en [0, 8), descontado a una tasa s.

La utilidad de la transformada de Laplace para la solución de ecuaciones diferenciales se deriva de la siguiente propiedad:

en donde f es una función diferenciable en [0, 8). La demostración es sumamente sencilla utilizando la definición de la transformada e integración por partes. Adicionalmente, la transformada de Laplace es un operador lineal, con lo cual se cumplen:

para cualesquiera f y g funciones y a, b . R. Finalmente, la asignación f . F es inyectiva, de manera que puede definirse la transformada de Laplace inversa (de la función F) como L-1[F ](t) = f (t). Esta transformada inversa posee también la propiedad de linealidad.

Ejemplos

Ej 1.4 Sea k(t) una trayectoria para el capital. Si el capital se deprecia a

una tasa ä, entonces la trayectoria de inversión bruta está dada por

Supongamos que la tasa de descuento es igual a r, por lo tanto tomando la trasformada de Laplace de la inversión y utilizando las propiedades (1) y (2) tenemos

Esto nos da la relación entre el valor presente de la inversión bruta (L[I](r))

y el del capital (L[k](r)), ambos descontados a la tasa r.

Ej 1.5 Consideremos a la función

¿Cómo calculamos L-1[F ]? Necesitamos una función f de tal forma que

Recordemos del ejemplo 1.2 que

de aquí que el problema puede resolverse notando que

y, por lo tanto,

§2 Solución de ecuaciones diferenciales

Nos concentraremos ahora en la solución de ecuaciones diferenciales del tipo

en donde x es una función diferenciable y H(t) es cualquier función cuya transformada de Laplace existe. Si pensamos en x(t) como el acervo de capital al tiempo t, entonces la ecuación (3) es simplemente la ecuación de inversión del ejemplo 1.4 con H(t) = I(t).

Tomemos la transformada de Laplace de (3) para obtener

(4)

y, despejando L[x](s) :

. (5)

Observemos que la transformada de Laplace convierte a la ecuación diferencial de flujos dada por (3), en una ecuación algebraica de acervos representada por (4).

Tomemos ahora la transformada inversa L-1 de la expresión (5) para obtener

(6)

La ecuación (6) nos proporciona el valor de x(t) en cada instante dado su valor inicial x(0). La forma explícita de la solución depende de la función H(t), el caso más simple es cuando H(t) = H, una constante, de manera que la solución dada por (6) queda como

La solución general de (6) puede encontrarse de la siguiente manera. Notemos que si g(t) = e-ät, entonces (ver ejemplo 1.2) se tiene que L[g](s) = 1 s+ä para todo s > -ä, con lo cual

Existe una propiedad de la transformada inversa4 que dice que

A esta propiedad se la conoce como la propiedad de la convolución. En general se define la convolución α * β de dos funciones α(t) y β(t) como

La expresión (7) nos dice que la transformada inversa convierte a productos en convoluciones.

Véanse [Edwards y Penney 2001] y [Nagle, Sa. y Snider 2001] para mayor detalle.

por lo tanto

. (8)

La ecuación (8) tiene una interpretación económica inmediata. Para ilustrar esto pensemos en x(t) como el acervo de capital que se deprecia a una tasa ä y en H(t) como la inversión bruta. Entonces (8) dice que el acervo de capital en el tiempo t consiste de dos partes: la primera es lo que queda del capital inicial tomando en cuenta la depreciación (representada por el término I ), y la segunda consiste en la inversión acumulada en el periodo [0, t] con su correspondiente depreciación (representada por II).

§3 La función delta de Dirac

Es evidente que, hasta el momento, la transformada de Laplace no es más que otra técnica para la resolución de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, su popularidad (sobre todo en problemas de ingeniería) radica en que nos permite resolver ecuaciones en las cuales el término independiente puede ser sumamente "mal portado". En el caso de la ecuación (3), el término H(t) podría no ser una función continua (lo cual representa mejor a la realidad), con lo cual la función x(t) sería diferenciable por pedazos. El tipo de funciones H(t) que vamos a analizar son funciones que son nulas, excepto en algunos intervalos o instantes de tiempo predeterminados.

La función más simple de este tipo es la función escalón o función de Heaviside. Ésta se define para cualquier a = 0 como sigue:

Es fácil ver que su transformada de Laplace está dada por

Una variante de esta función es la siguiente:

Asimismo, tomando el límite cuando .t . 0 se define

A esta última función se la conoce como la función delta de Dirac. Llamamos función de impulso a cualquier función que se obtenga como una combinación lineal de deltas de Dirac.

Las funciones descritas arriba se ilustran en la figura 1.

Figura 1: Aquí se ilustran las funciones y = ua(t), y = u.t,a(t) y äa(t).

Intuitivamente, äa(t) es una función nula excepto en t = a, punto para el cual toma un valor "infinito". Podemos imaginar que esta función representa un shock o impulso en t = a, algo así como un martillazo, una descarga eléctrica o, porque no, una ganancia o pérdida inesperada de capital representada por un instante de inversión "infinita". A pesar de que parece absurdo, desde el punto de vista matemático, definir a la función de Dirac, la aplicación de la transformada de Laplace la convierte en una función manejable como vemos a continuación.

Proposición 3.1 La transformada de Laplace de äa(t) está dada por

Demostración

Dados a = 0 y .t > 0, calculemos primero L[u.t,a(t)](s) como sigue:

Asimismo, tenemos que

con lo cual se concluye la demostración. ¥

Observemos que tiene sentido poner

Tabla 1: Transformadas de Laplace comunes dada la linealidad de L, a pesar de que la interpretación de näa(t) es algo turbia (¿qué significa n-veces algo infinito?).

La tabla 1 muestra las transformadas de Laplace (y por lo tanto también las trasformadas inversas) de algunas funciones comunes. Todas ellas pueden demostrarse utilizando la definición de la transformada.

§4 "Impulsos" de inversión

La función delta de Dirac puede aplicarse a un sinnúmero de problemas para los cuales queremos modelar un impulso exógeno. Tomemos, por ejemplo, la siguiente ecuación de inversión:

es decir, la inversión es nula excepto en el instante t = a para el cual es "infinitamente grande", o bien hay un "impulso" de inversión en t = a. La solución a esta ecuación está dada por (6) con ä = 0 y por lo tanto,

La figura 2 muestra el comportamiento de k(t) : en el instante t = a el capital pasa discretamente a tomar el valor k(0) + 1.

Figura 2: El capital cambia discretamente en t = a.

El ejemplo anterior puede generalizarse tomando la siguiente ecuación:

es decir, los impulsos de inversión se realizan en t = 1, 2, …, T. La ecuación se resuelve igual que arriba obteniéndose

La figura 3 muestra el comportamiento de k(t) para este caso.

Podemos también tomar en cuenta la depreciación del capital y considerar la ecuación

Esta ecuación es de la forma (3) y su solución está dada nuevamente por (6) como sigue:

El comportamiento de k(t) cuando k(0) = 1, ä = 0.3 y a = 4 se muestra en la figura 4.

Figura 3: El capital cambia discretamente en t = 1, 2, …, T.

Figura 4: Trayectoria de k(t) = e0.3t + u4(t)e-0.3(t-4).

Los ejemplos anteriores podrían adaptarse fácilmente al caso de la inversión en un activo con un flujo de dividendos D(t) y una tasa libre de riesgo r. La ecuación para el valor x(t) del activo está dada por

que es una vez más la ecuación (3) con ä = -r y H(t) = -D(t). Esta ecuación puede interpretarse como una condición de no arbitraje: en cada instante es equivalente invertir la cantidad x(t) a una tasa r, (digamos comprando Cetes) obteniendo una cantidad rx(t), o bien realizar la inversión, obteniendo los dividendos D(t) más el cambio en el valor del activo dx(t) dt . Los dividendos pueden modelarse como funciones de impulso. Ésta es, claramente, una mejor aproximación de la realidad que el pensarlos como funciones continuas.

RESOLVER LAS ECUACIONES UTILIZANDO LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE.

Problema 1.- con las condiciones :

Paso 1.- Se aplica la transformada de Laplace a toda la ecuación término a término.

Paso 2.-– Sumando los términos semejantes

Paso 3.- Se factoriza la transformada :

Paso 4.- Se despeja la transformada:

Paso 5.-– Se obtiene la transformada inversa de Laplace

;

Paso 6.-

;

Paso 7.- Se obtiene el resultado final:

Resultado

La solución de la ecuación, puede obtenerse en el Matemática con la instrucción: DSolve[{y'' [x]+4 y'[x]+4 y[x]==4 E^(-2 x),y[0]== -1,y'[0]==4},y[x],x]

Una gráfica de la solución es:

Problema 2. Condiciones iniciales

Paso 1.- Se aplica la transformada de Laplace a toda la ecuación término a

término.

Paso 2.–

Paso 3.- Se factoriza la ecuación;

Paso 4.- Se despeja la transformada:

Paso 5.- Se obtiene la transformada inversa de toda la ecuación.

Fórmulas de fracciones parciales:

Paso 6.- Se encuentra el valor de las constantes utilizando el método de Fracciones Parciales.

Paso 7.-

Paso 8.- .

Paso 9.- Se aplica la propiedad de las igualdades factorizando los términos en S, del mismo exponente:

Una vez factorizado los términos, se igualan con su correspondiente valor que se encuentra en el lado derecho de la ecuación :

;

Paso 10.- Una vez obtenidos los valores de las constantes se procede a sustituir.

Resultado

La solución de la ecuación se obtiene en el Matemática con la instrucción:

DSolve[{y''[t]-4 y'[t] + 4 y[t] ==t^3 , y[0]==0,y'[t]==0},y[t],t]

Una gráfica de la solución obtenida es:

Problema 3.-

Paso 1.- Se aplica la transformada a toda la ecuación:

Paso 2.- Se saca la transformada como factor común:

Paso 3.- Se despeja la transformada:

Paso 4.- Se obtiene la transformada inversa:

Paso 5.- Se aplican las fórmulas correspondientes para obtener los resultados:

Paso 6.-

Paso 7.- Resultado.

Paso 8.- La ecuación también se puede resolver en el Mathematica con la instrucción: DSolve[{y''[t]+10 y'[t]+25 y[t] ==10 E^(-5 t),y[0]==1,y'[0]==5},y[t],t]

Paso 9.- Una gráfica del resultado obtenido es:

Problema 4.-

Paso 1.- La transformade de toda la ecuacón es:

Paso 2.- Factor común de la transformada:

Paso 3.- Se despeja la transformada:

Paso 4.- Se obtiene la transformada inversa:

Paso 5.-

Resultado.

Paso 6.- La solución de la ecuación se puede obtener en el Mathematica con la instrucción:DSolve[{ y''[x]-6y'[x]+9y[x]==x^2 E^(3x), y[0]==2,y'[0]==6},y[x],x]

Paso 7.- La gráfica del resultado es