La Transformada de Laplace (página 2)

Enviado por Blue J

Partes: 1, 2, 3

Partes: 1, , 3

Función escalón

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

Función de Heaviside

La función escalón unitario o función de Heaviside se define como

Observación: la función de heaviside se definio sobre el intervalo , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general para .

Ejemplo Trazar la gráfica de la función .

Solución La función está dada por

y su gráfica se muestra en la figura 1.5

Figura 1.5

Cuando la función de Heaviside se multilplica por una función , definida para , ésta función se desactiva en el intervalo , como muestra en siguiente ejemplo.

Ejemplo Trazar la gráfica de la función .

Solución La función está dada por

Figura 1.6

La función de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de una manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo Use la función de Heaviside para reescribir la función

Solución Para reescribir la función basta usar la definición de la función Heaveside

Observación: la función

se escribe usando la función de Heaviside como

Transformada de la función Heaviside

La transformada de la función de Heaviside es

Demostración

Usando la definición de transformada

Función Gamma

Obtener la función gamma de 1: sustituir x=1

Resultado.

Obtener la función gamma de ( x+1) :

Integrando por partes:

Resultado.

Generalizando tenemos que:

Esta es la propiedad más importante de la función gamma.

Aplicando la función gamma obtener la transformada de Laplace de f(t) = ;siendo n un entero no negativo y, t ;

L { } =

si sustituimos

tenemos que L{}= Resultado

La transformada inversa de Laplace

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para , es decir, . Ahora, como si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa , para hallar la función

Entonces definamos la transformada inversa.

Transformada inversa de Laplace

Si es la transformada de Laplace de una función continua , es decir, , entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita es , es decir,

Ejemplo Calcule

Solución Puesto que

tenemos que

Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única. En efecto, es posible que , siendo . Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si y son continuas y de orden exponencial en y , entonces ; pero, si y son continuas y de orden exponencial en y , entonces se puede demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.

Ejemplo Calcule , donde esta dada por

¿Qué se puede concluir ?

Solución

Usando la definición de transformada

Pero, anteriormente hemos comprobado que

con lo cual las funciones y tienen la misma transformada, de este modo, la transformada inversa de

no es única.

El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito. Comportamiento de en infinito

Sea una función continua a trozos y de orden exponencial en , entonces

Demostración

Puesto que es continua a trozos en necesariamente es acotada en este intervalo; o sea, para todo . De donde

y así cuando , de modo que cuando .

Observación: el resultado anterior es válido independientemente de que sea continua a trozos o de orden exponencial, basta con que existe.

Ejemplo ¿ Por qué no existe una función tal que ?

Solución Suponga que existe, entonces por el teorema anterior

lo cual es falso; por lo tanto no existe tal función.

Observación: con un argumento similar podemos concluir que no existen una función tal que , , , , es decir, estas funciones no tienen transformada inversa. Por otro lado, una función racional es la transformada de alguna función si el grado del numerador es menor que la del denominador .

Los siguientes resultados son útiles en análisis de sistemas de control automático, especialmente cuando se trazan gráficas.

Teorema Del valor inicial

Si y existe y es igual a , entonces

Demostración: Como

siempre y cuando sea continua a trozos y de orden exponencial. Tenemos que

siempre y cuando sea continua por la derecha en .

Ejemplo Si , calcule .

Solución Usando el teorema del valor inicial

Note que no fue necesario calcular .

Teorema Del valor final

Si y el límite existe, entonces

Demostración: Análoga a la anterior.

El siguiente teorema establece la linealidad de la transformada inversa.

Teorema Linealidad de la transformada inversa

Sean y funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el intervalo tales que y , entonces

Ejemplo Calcule

Solución

Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir

en fraciones parciales

ahora sí

Observación: está ecuación diferencial puede resolverse como una ecuación lineal con factor integrante . .

Teorema Forma inversa del primer teorema de traslación:

Demostración

La prueba es inmediata apartir de la definción

Observación: si consideramos a como una variable real, entonces la gráfica de es la misma de trasladada unidades sobre el eje . Si , la gráfica de se desplaza unidades a la derecha, miéntras que, si , la gráfica se traslada unidades a la izquierda. Para enfatizar en la traslación se acostumbra escribir

donde significa que se sustituye por en .

Ejemplo

Use la forma inversa del primer teorema de traslación para calcular

Solución

Ejemplo

Calcule

Solución Para usar la forma inversa del primer teorema de traslación debemos completar el cuadrado en el denominador

Forma inversa del segundo teorema de traslación:

Observación: podemos usar el segundo teorema de traslación para calcular la transformada de Laplace de la función haciendo :

Los siguientes ejemplos muestran el uso del segundo teorema de traslación en su forma inversa.

Ejemplo Calcule

Solución

En este caso y

con lo cual

Ejemplo Calcule

Solución Primero hallemos la descomposición en fraciones parciales

con lo cual

Ejemplo Calcule

Solución Como el discriminante de es negativo, no es factorizable en y debemos completar el cuadrado.

En este punto debemos usar el primer teorema de traslación para calcular cada una de las transformadas inversas de la siguiente forma:

Y de aquí

Solución de ecuaciones diferenciales

La transformada de Laplace es útil para resolver ecuaciones diferenciales que involucran funciones , periódicas, funciones discontinuas a trozos o deltas de Dirac, como lo muestran los siguientes ejemplos.

Ejemplo Resuelva el siguiente problema de valor inicial

Solución Tomando la transformada a ambos lados, tenemos que

Y al aplicar la transformada inversa

La gráfica de la solución se muestra en la figura 1.10

Figura 1.10

EjemploResuelva el siguiente problema de valor inicial

donde está dada por

Solución

La función puede interpretarse como una fuerza externa que actúa en un sistema mecánico sólo por un tiempo corto, siendo desactivada posteriormente. Aunque este problema puede resolverse de la forma convencional no es conveniente.

Primero usemos la función de Heaviside para reescribir :