Una aproximación euclidiana a la rectificación de la circunferencia (página 2)

Si dividimos la circunferencia por una potencia con x > 2, tenemos una regla mnemotécnica para calcular el coseno de ese ángulo. Su valor será de la forma y habrá tantos números "2" como x – 2 .

Ahora bien, hay un teorema publicado en un American Mathematical Monthly de 1917 en el que Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, demuestra que expresiones de la forma tienen por límite en el infinito a la mayor raíz de la ecuación x2 – x – a = 0; o sea: .

Para el coseno de un ángulo tendiendo a cero el valor del límite será , lo que resulta correcto y coincidente con el valor natural de la función coseno para un ángulo de 0º. Lo mismo para el cálculo del valor del seno del ángulo: ; tenemos que el valor del límite de la expresión de radicales dentro de radicales que tienen signos de suma vale el doble del valor del coseno del ángulo, o sea, 2. Luego queda , también coincidente con el valor natural de un ángulo nulo para la función seno. Pero el cociente entre 1080 y un número tendiente a cero, tenderá a infinito. Del producto de infinito por cero no podemos decir nada. Sin embargo, de la expresión completa y de la evolución de sus valores se intuye que el límite será Pese a todas las depuraciones que le hicieron al análisis matemático en el siglo XIX, de este tipo son las cosas que me desagradan del análisis.

La construcción geométrica de una raíz cuadrada se hace colocando un segmento de recta del valor a radicar seguido por la unidad del sistema. Tomada la reunión de estos dos segmentos como el diámetro de una circunferencia, la perpendicular trazada desde la unidad hasta la intersección con el arco de la circunferencia es el valor de la raíz cuadrada del segmento distinto de la unidad. Si los segmentos en cuestión son ambos diferentes de la unidad, la perpendicular será la raíz cuadrada del producto de ambos segmentos.

En nuestro caso, conviene tomar al radio de la circunferencia como unidad. Calcular la raíz cuadrada de 2 es equivalente a trazar la diagonal de un cuadrado levantado sobre el radio. Para el caso , se construirá la diagonal del cuadrado que tiene por lado el radio y luego se prolongará este segmento en tres radios. Marcada la mitad del segmento resultante, dibujada la circunferencia correspondiente y levantada una perpendicular desde la unidad, tendremos la representación de . Sucesivamente se repetirá el método hasta completar la cadena de raíces. La construcción práctica del cociente es más complicada, pero posible. Una vía que exige mucho trabajo algebraico es la de eliminar los radicales del denominador, dejando un número entero. Esto complicará notablemente la expresión algebraica del numerador, pero hará sencilla la división.

De todas maneras, este método no es elegante ni simple. También hay que considerar que ningún dibujante puede lograr una precisión mayor a una décima de milímetro en cada paso, por lo que no tiene sentido una construcción que brinde diez decimales exactos de , cuando el error total cometido será mucho más grosero. Tiene a su favor que es teóricamente exacto y se puede realizar idealmente una construcción con el error que se desee. Avanzando suficientemente en la pequeñez del ángulo considerado, la rectificación se aproximará al verdadero valor del arco de toda la circunferencia.

No existe un ser humano ni máquina capaz de crear un objeto de un kilómetro de longitud con un error de menos de un tercio de micra, que es el que proveyó Ramanuján con su raíz cuarta.

Los matemáticos y aficionados a las matemáticas estamos en un mundo ideal en donde la persona se comporta como si tuviese por delante una vida de duración indefinida y que cada acto que pudiera hacer una vez se pudiese repetir infinitamente. Los objetos matemáticos existen en un mundo arquetípico, metafísico e ideal. ¿Será por ello que los indios mezclaban tan deliciosamente religión con matemáticas?

Para quienes deseen experimentar con ángulos más variados, como algunos ángulos centrales de los principales polígonos regulares que se pueden construir con regla y compás, les propongo una tabla de doble entrada en la que encontrarán los valores algebraicos explícitos de las funciones seno y coseno para ángulos de 1º 30’ en 1º 30’. Si tuviésemos las ganas y el tiempo para seguir calculando, podríamos agregar ángulos más pequeños a la lista, aquellos que resulten de mediar sucesivamente en ángulo de 1º 30’. Este conjunto resulta ser un ideal sin unidad. Si lo "completáramos" haciendo las infinitas mediaciones, sería, además, denso, de tal forma que si dos ángulos a y b están en el ideal, su media aritmética también. Todos ellos son expresables mediante irracionales cuadráticos. Los valores que se hallan fuera de este anillo son aquellos de los que no se puede brindar una construcción geométrica cuadrática.

Los problemas de rectificación de una circunferencia o su cuadratura (encontrar un cuadrado de igual superficie a la de un círculo) no tienen solución algebraica por la misma trascendencia de . No obstante, el hecho de buscar aproximaciones no deja de ser un trabajo de ingenio muy entretenido y formador, que dará "cierto manejo" (feeling) al que se ocupe en ello.

Esto no es para mí una pérdida de tiempo ni una ocupación inútil, todo lo contrario, brinda la flexibilidad de una gimnasia que puede servir de mucho en otros campos de la Matemática.

 Carlos Carcagno