Una aproximación euclidiana a la rectificación de la circunferencia

Me propongo mostrar un método de construcción geométrica, con compás y regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida, que permite, al menos teóricamente, encontrar una cota inferior a la rectificación de la circunferencia con el error que se desee. Este error decrece con el aumento del número de pasos constructivos y con la disminución de la abertura de un ángulo central de la circunferencia, cosas que suceden paralelamente.

El método se basa en una construcción notable por su exactitud, sencillez y belleza, debida a la mente del físico holandés Willebrord Snell Van Roijen (1591 – 1626), quien firmaba sus trabajos con el nombre latinizado de Snellius, por el que es más conocido. (Snellius de Roijen)

El método consiste en tomar uno de los lados de un ángulo central de una circunferencia y dibujar el diámetro que se superpone a él. Luego se prolonga el diámetro alejándolo del vértice del ángulo en una medida igual al radio de la circunferencia. Se traza un segmento de la tangente a la circunferencia en el punto que corresponde a la intersección del diámetro, del lado correspondiente al arco del ángulo. Desde el extremo más alejado a la circunferencia se traza un segmento de recta que pase por el punto de intersección del otro lado del ángulo con la circunferencia, hasta llegar a cortar la tangente. El segmento de la tangente que está entre este corte y el diámetro es la aproximación de Snell al arco del ángulo. Para un ángulo de 90º sexagesimales, equivale a un número igual a 3, pero la precisión crece a medida que el ángulo se achica. Cuando éste tiende a cero, la aproximación difiere del valor verdadero del arco en un infinitésimo de quinto orden. Para un ángulo de 1º 30’ da seis decimales exactos para el valor de . Las funciones trigonométricas de un ángulo de 1º 30’ son algebraicas explícitas y lo mismo todas las mediaciones sucesivas de este ángulo y cualquier ángulo que resulte ser múltiplo del mismo. Involucran solamente raíces cuadradas, por lo que son construibles con regla y compás.La aproximación de Snell, para un ángulo cualquiera, vale: . Si elegimos un ángulo que divida un número entero de veces la circunferencia, podemos aproximar la rectificación de la circunferencia multiplicando la aproximación de Snell por la cantidad de veces que el ángulo en cuestión cabe en ella.Para hacer las cosas "a la antigua" tomaremos ángulos en grados sexagesimales y procederemos a "mediar" sucesivamente a la circunferencia, o sea, a dividir sucesivamente por dos cada ángulo.

La fórmula para la aproximación de la rectificación de la circunferencia es:

Para calcular los valores de coseno y seno de la mitad de un ángulo usaremos, respectivamente:.Partimos de cos 45º = sen 45º = cos 22º 30’ =

…………………..

cos 0º 21’ 5,625" =

sen 0º 21’ 5,625" =

Luego, para , la aproximación a la rectificación de la circunferencia es:

Mientras que …, tenemos diez decimales exactos para la aproximación, en cambio, la aproximación de Ramanuján tiene ocho decimales exactos . Pero Ramanuján logró una construcción más rápida y elegante.