Ecuación Diferencial del sector de producción del bien final
De la condición de equilibrio macroeconómico Yt Ct I b Dividiendo a la condición macroeconómica entre el total de trabajadores Lt para hallar la ecuación en términos per cápita. I b Lt Ct Lt Yt Lt kt K t Lt yt ct yt ct k t (n )kt Resolviendo la ecuación para kt y reemplazando la (FPI) t kt ct (n )kt Akt u1 h1
Sector educacional
Asume por simplicidad que este sector no usa capital físico sino solo capital humano y formula la siguiente función de producción. BHE YE Donde
YE : Volumen en el sector educacional.
HE : Stock de capital humano que opera en el sector educacional. B : Índice del nivel de tecnología en el sector educacional. Sea (1 u): La fracción de capital humano que labora en el sector educacional. HE Ht (1 u) HE (1 u)Ht El capital humano que opera en el sector educacional es una fracción que operar en el sector educacional, donde HE es una fracción (1 u) de capital humano. Reemplazando el stock de capital humano que opera en el sector educacional en la función del sector educacional tenemos: YE B(1 u)Ht Para hallar la función de producción intensiva vamos a dividir entre la cantidad de trabajadores a la ecuación a la nueva función de producción obtenida tenemos: Ht Ltt YE Lt B(1 u) (FPI) B(1 u)Ht yE Ecuación diferencial del sector educacional
De la condición de equilibrio macroeconómico b IH CH YH 0, reemplazando Pero como sabemos que en capital no tiene consumo CH obtenemos: H n b I rep IH BHE IH YH H Ht H t B(1 u)Ht Resolviendo para H t obtenemos: H Ht H t B(1 u)Ht Esta ecuación del proceso de acumulación neta de capital humano y esto va indicar que la tasa de cambio de capital humano es igual al remanente del producto educacional respecto a la acumulación en reposición del capital humano.
Sistema de Ecuaciones Diferenciales
De la condición macroeconómica tenemos: H n b YE IH BHE IH I rep H H t Ht B(1 u)H t Dividiendo la ecuación anterior entre el numero de trabajadores H Ht Lt H t Lt Ht Lt B(1 u) Hht H t Lt B(1 u)ht H B(1 u)ht ht (n )ht Resolviendo para ht , obtenemos: H h t B(1 u)ht (n )ht Esta ecuación representa el proceso de acumulación del capital humano.
Sistema de Ecuaciones Diferenciales t 1er Ecuación diferencial: kt ct (n )kt Akt u1 h1 H 2da Ecuación diferencial: h t B(1 u)ht (n )ht Para simplificar el análisis se supone que las tasas de depreciación de los tipos de capital son iguales K H . Planteamiento del problema
Lucas asume que las familias productoras tienen la siguiente utilidad, la misma que maximizan. El planteamiento del problema será, que las familias productoras va elegir, aquella trayectoria de consumo y aquella fracción que le permite maximizar su fracción de bienestar a través del tiempo y sujeto a las condiciones de movimiento de la condición inicial. dt Máx : J t ( n)t 0 .e c1 1 1 (Función objetivo) t kt ct (n )kt Akt u1 h1 s.a : H h t B(1 u)ht (n )ht k(0) k0 h(0) h0 (Estado inicial de capital físico y humano) k0 0 h0 0 0 u 1
ct ut kt ht Donde
Variable de control :
Variable de estado: t vt Variable de coestado: Planteamiento de la función Hamiltoniana tenemos: H H ct,ut,kt,ht, t,vt,t H H t t t ct )ht (n vt B(1 u)ht )kt (n .e 1 Akt u1 h1 n)t ( c1 1 Condición de Primer Orden (CIO)
a) Tomando la derivada del hamiltoniano con respecto de las variables de control e imponiendo la condición igual a cero. 0 vt ct t ct U ct H ct 0 ( 1) ( t n)t .ct e H ct ( (I) e t .ct n)t 0 vt ut t ut U ut H ut 0 (1 (II) Bvtht t )Akt u h1 t H ut (1 (II ) t Bvthtu )Akt h1 t b) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a las variables de estado e imponiendo las condiciones del negativo de la derivada de los multiplicadores con respecto al tiempo. t H kt ) (III) (n t t Akt 1u1 h1 t
H c H ut ) (IV) (n t t t Akt 1u1 h1 vt H ht ) (1 (V) vt vt B(1 u) (n )Akt u1 ht t c) Tomando la derivada con respecto al multiplicadores lagrangiano tenemos: t kt H (VI) (n kt )kt ct t Akt u1 h1 vt H vt (VII) (n ht )ht B(1 u)ht Condición de Segundo Orden (CIIO) 0 . 1 ( 1 1 t n)t t e 2
c2 <0 x 0< Esta condición nos asegura un máximo. 0 (1 2 2 t ) tAu (1 )h1 kt <0 x 0<
Condición de Transversalidad Lím tkt 0 t Esto quiere decir que t 0 (el precio implícito de capital en el periodo final) o que kt 0 (el stock de capital en el momento que muere). 0 (1/ ) 0 ( 1 n) e 1 ct Lím t t 0 t Lím t 0 Límvtht t 0 Límvt t Reemplazando (II ) en (V) tenemos:
) (1 (VIII) A(1 vt vt B(1 u) (n )Akt u1 ht t Bvthtu )h1 kt Operando y simplificando obtenemos ) (IX) B (n vt vt De la ecuación (I) aplicaremos logaritmo ( (I ) Ln n)t t Lnct Tomando la derivada con respecto al tiempo y multiplicando por -1 a la ecuación (I ) t t t Ln( t) Ln(ct) n)t ( t
t ct ct n) ( ( (X) n) c ( 1 n) c Reemplazando la ecuación (IV) en la ecuación (X) y despejando la tasa de crecimiento del consumo ) ( 1 n) (n t Akt 1u1 h1 c ) ( 1 t c Akt 1u1 h1 Esta ecuación de la tasa de crecimiento del consumo nos quiere decir, que la tasa de crecimiento del consumo depende del producto marginal del capital físico menos la tasa de depreciación y la tasa de descuento intertemporal entre la utilidad marginal del consumo.
Como se aprecia en la ecuación donde el producto marginal de capital físico depende del capital humano y de la fracción que utiliza el sector final. Reemplazando la ecuación (IV) en la ecuación (X) ) . ( (n n) t Akt 1u1 h1 * c Operando tenemos: . ( (XI) ) Au1 t kt 1h1 * c Lucas nos dice que en el estado proporcionado todas las variables crecen a la misma tasa constante. Y sabemos que la tasa de crecimiento de u debe ser cero por que es una fracción. Tomando logaritmo a la ecuación (XI)
A(u ) A(u ) Ln A(u ) ( . ( ) * 1 * c )Ln(ht) 1)Ln(kt) (1 Ln Derivando con respecto al tiempo a la ecuación anterior obtenemos: ) 1) ( . ( ) * 1 * c Ln(ht) d dt Ln(kt) (1 d dt Ln d dt 0 = kt kt 1) ( ht ht 1) ( 1) ( 1) ( 0 * h * k * k * h Esto demuestra que la tasa de crecimiento del capital físico es igual a la tasa de crecimiento del capital humano.
Dividiendo entre kt a la ecuación de movimiento de capital físico ( n) ct kt t Akt u1 h1 kt kt kt t kt kt ct kt n) ( Akt u1 h1 kt Como en el estado de crecimiento proporcionado las tasa de crecimiento son constantes. Derivando a la ecuación anterior por el tiempo 0 0 0 0 Ln(kt) d dt Ln(ct) d dt 0 * k * c k c Esto demuestra que la tasa de crecimiento del consumo es igual a la tasa de crecimiento del capital físico. ) * Aplicando logaritmo a la ecuación anterior
1 * 1 k n) Ln( Ln( ht kt Ln Ln(ct) Ln(kt)
De la función de producción intensiva del bien final se tiene: (FPI) t Akt u1 h1 yt Aplicando logaritmo a la función intensiva de bienes finales )Ln(ht) )Ln(u) (1 Ln(kt) (1 Ln(A) Ln(yt) Aplicando una derivada temporal a la expresión anterior ) (1 ) (1 Ln(ht) d dt Ln(u) d dt Ln(kt) d dt Ln(A) d dt Ln(yt) d dt h u y y ) (1 ) (1 Recordemos que en el estado de crecimiento proporcionado u 0 y h k , reemplazando en la expresión anterior tenemos: ) )0 (1 (1 * h * h y ) )0 (1 (1 * h * h y * h * h * h y * h * y Esto demuestra que la tasa de crecimiento del producto es igual a la tasa de crecimiento del capital humano.
Por lo que Lucas llego a la conclusión que todas las tasa de crecimiento son iguales y constante. y c h j De la condición de primer orden (ecuación (II)) multiplicando por ut 0 u H t 0 (1 t t Bhtuvt )Au1 h1 En el estado de crecimiento proporcionado, la tasa de crecimiento de t u debe ser cero por que es una fracción. (1 t t Bh*u* )A(u*)1 (h*)1 t vt (1 t t Bh*u* )A(u*)1 (h*)1 Ln t vt Ln Derivado con respecto al tiempo y recortado que el estado de crecimiento proporcionado todas las variables crece a un ritmo constante.
(1 t t Bh*u* )A(u*)1 (h*)1 Ln d dt dLn(vt) dt dLn( t) dt 0 t
t vt
t 0 * v * v Como se demostró que v , igualando la ecuación (IV) con la ecuación (X) . ( ) * c n) B (n ) B ( c
Igualando la ecuación (X) con la ecuación (IV) ) ( (n n) t Akt 1u1 h1 t c t
Operando se obtiene: ) ( Pmgk c
Se asume competencia perfecta en los mercados de bienes y factores Del mercado de capital físico se tiene: r Pmgk R Pmgk R r Reemplazando el producto marginal del capital físico en la expresión de la tasa de crecimiento del consumo se tiene: ) ( r c r c , la regla de Ramsey – Keynes La regla de Keynes-Ramsey, nos quiere decir que, a lo largo de la senda óptima pequeñas modificaciones en el consumo que impliquen un ahorro hoy para una mejora en el futuro no conllevan aumento de bienestar social, por otra parte los rendimientos decrecientes a escala del capital hacen que cualquier posible aumento en el crecimiento en el corto plazo, obtenido por alguna política de ahorro e inversión desaparezca en el largo plazo (Blanchard y Fischer 1898).
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