Tabla N(0,1) Z es normal tipificada.
Calcular P[Z< 1,85] Solución: 0,968 = 96,8%
Tabla N(0,1) Z es normal tipificada.
Calcular P[Z< -0,54] Solución: 1-0,705 = 0,295
Tabla N(0,1) Z es normal tipificada.
Calcular P[-0,54< Z< 1,85] Solución: 0,968-0,295= 0,673
Ejemplo: Cálculo con probabilidades normales
El colesterol en la población tiene distribución normal, con media 200 y desviación 10.
¿Qué porcentaje de indivíduos tiene colesterol inferior a 210?
Qué valor del colesterol sólo es superado por el 10% de los individuos.
Todas las distribuciones normales son similares salvo traslación y cambio de escala: Tipifiquemos.
El valor del colesterol que sólo supera el 10% de los individuos es el percentil 90. Calculemos el percentil 90 de la N(0,1) y deshacemos la tipificación.
Ejemplo: Tipificación Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes. Se asignará al que tenga mejor expediente académico. El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(6,1). El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(70,10). Solución No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a los 80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan de modo normal, podemos tipificar y observar las puntuaciones sobre una distribución de referencia N(0,1)
Como ZA>ZB, podemos decir que el porcentaje de compañeros del mismo sistema de estudios que ha superado en calificación el estudiante A es mayor que el que ha superado B. Podríamos pensar en principio que A es mejor candidato para la beca.
¿Por qué es importante la distribución normal? Las propiedades que tiene la distribución normal son interesantes, pero todavía no hemos hablado de por qué es una distribución especialmente importante.
La razón es que aunque una v.a. no posea distribución normal, ciertos estadísticos/estimadores calculados sobre muestras elegidas al azar sí que poseen una distribución normal.
Es decir, tengan las distribución que tengan nuestros datos, los ‘objetos’ que resumen la información de una muestra, posiblemente tengan distribución normal (o asociada).
Aplic. de la normal: Estimación en muestras Como ilustración mostramos una variable que presenta valores distribuidos de forma muy asimétrica. Claramente no normal.
Saquemos muestras de diferentes tamaños, y usemos la media de cada muestra para estimar la media de la población.
Aplic. de la normal: Estimación en muestras Cada muestra ofrece un resultado diferente: La media muestral es variable aleatoria.
Su distribución es más parecida a la normal que la original.
También está menos dispersa. A su dispersión (‘desv. típica del estimador media muestral’… ¿os gusta el nombre largo?) se le suele denominar error típico.
Aplic. de la normal: Estimación en muestras Al aumentar el tamaño, n, de la muestra:
La normalidad de las estimaciones mejora
El error típico disminuye.
Aplic. de la normal: Estimación en muestras Puedo ‘garantizar’ medias muestrales tan cercanas como quiera a la verdadera media, sin más que tomar ‘n bastante grande’
Se utiliza esta propiedad para dimensionar el tamaño de una muestra antes de empezar una investigación.
Resumen: Teorema del límite central Dada una v.a. cualquiera, si extraemos muestras de tamaño n, y calculamos los promedios muestrales, entonces:
dichos promedios tienen distribuciónaproximadamente normal;
La media de los promedios muestraleses la misma que la de la variable original.
La desviación típica de los promedios disminuye en un factor “raíz de n” (error estándar).
Las aproximaciones anteriores se hacen exactas cuando n tiende a infinito.
Este teorema justifica la importancia de la distribución normal.
Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande (n>30) nos va a aparecer de manera natural la distribución normal.
Distribuciones asociadas a la normal Cuando queramos hacer inferencia estadística hemos visto que la distribución normal aparece de forma casi inevitable.
Dependiendo del problema, podemos encontrar otras (asociadas): X2 (chi cuadrado) t- student F-Snedecor
Estas distribuciones resultan directamente de operar con distribuciones normales. Típicamente aparecen como distribuciones de ciertos estadísticos.
Veamos algunas propiedades que tienen (superficialmente). Para más detalles consultad el manual.
Sobre todo nos interesa saber qué valores de dichas distribuciones son “atípicos”. Significación, p-valores,…
Chi cuadrado Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.
La función de densidad es asimétrica positiva. Sólo tienen densidad los valores positivos.
La función de densidad se hace más simétrica incluso casi gausiana cuando aumenta el número de grados de libertad.
Normalmente consideraremos anómalos aquellos valores de la variable de la “cola de la derecha”.
T de student Tiene un parámetro denominado grados de libertad.
Cuando aumentan los grados de libertad, más se acerca a N(0,1).
Es simétrica con respecto al cero.
Se consideran valores anómalos los que se alejan de cero (positivos o negativos).
F de Snedecor Tiene dos parámetros denominados grados de libertad.
Sólo toma valores positivos. Es asimétrica.
Normalmente se consideran valores anómalos los de la cola de la derecha.
¿Qué hemos visto? En v.a. hay conceptos equivalentes a los de temas anteriores Función de probabilidad ? Frec. Relativa. Función de densidad ? histograma Función de distribución ? diagr. Integral. Valor esperado ? media, … Modelos de v.a. de especial importancia: Normal Propiedades geométricas Tipificación Aparece tanto en problemas con variables cualitativas (dicotómicas, Bernoulli) como numéricas Distribuciones asociadas T-student X2 F de Snedecor
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