Elemento Central en la Simulación digital. Definición formal controvertida. Elemento esencial en muchas áreas del conocimiento Ingeniería, Economía, Física, Estadística, etc. Definición intuitiva: Una sucesión de números aleatorios puros, se caracteriza por que no existe ninguna regla o plan que nos permita conocer sus valores. Los números aleatorios obtenidos a través de algoritmos recursivos se llaman pseudoaleatorios. Números Aleatorios
Disponer de un buen generador de números aleatorios es clave en:
Computación Aleatorizada Computación Evolutiva Algoritmos Aleatorizados Verificación de Algoritmos Validación de Algoritmos Criptografía etc. Números Aleatorios
La gran disponibilidad de generadores de números aleatorios en muchos entornos y compiladores puede llevarnos a pensar que para un usuario de la simulación no sería necesario estudiar estas cuestiones.
Una lección del pasado reciente nos obliga a sacar lecciones y actuar con mucho cuidado con dichos generadores (RANDU – IBM).
El Uso progresivo de modelos de simulación cada vez más detallados exige una mayor calidad de los generadores de números aleatorios. Números Aleatorios
Algunas ideas o propiedades de los generadores I. Lagarias (1993) publicó un trabajo titulado “Pseudo Random Numbers” en Statistical Science. Donde estudia algunas propiedades tales como: Expansividad : Una aplicación es expansiva si La idea es escoger “d” como una aplicación expansiva de manera que la inestabilidad computacional proporcione aleatoriedad. Números Aleatorios
No Linealidad: La composición de aplicaciones no lineales puede conducir a comportamientos crecientemente no lineales Ej: d(x) = x2; d(n)(x) = x2n Complejidad Computacional: La aleatoriedad de Kolmogorov, también denominada incomprensibilidad computacional. Consiste en constatar si la aleatoriedad de una sucesión de números es incomprensible (problema decidible). Impredecibilidad Números Aleatorios
DEF 1: Kolmogorov (1987) [Complejidad Algorítmica] Una sucesión de números es aleatoria sino puede producirse eficientemente de una manera más corta que la propia serie.
DEF 2: L’Ecuyer (1990) [Impredicibilidad] Una sucesión de números es aleatoria si nadie que utilice recursos computacionales razonables puede distinguir entre la serie y una sucesión de números verdaderamente aleatoria de una forma mejor que tirando una moneda legal para decidir cuál es cuál. Obs: Esta definición conduce a los denominados generadores PT-perfectos usados en Criptografía. Números Aleatorios
DEF 3: Un Número aleatorio es una realización de una variable aleatoria que tiene asociada una ley de probabilidades F, en un espacio o modelo de Probabilidades (?, ?, P).
Obs: Una particular Ley de Probabilidad base para la generación de números pseudo-aleatorios es: u1, u2,…, un : es la uniforme (0 ; 1) ui ~ U(0,1).
DEF 4: Una sucesión de números aleatorios {u1, u2,…, un} es una sucesión de números U(0;1), si tiene las mismas propiedades estadísticas relevantes que dicha sucesión de números aleatorios.
Números Aleatorios
DEF 5: Una sucesión de números aleatorios {ui} es aleatorio si h-úplas de números sucesivos no superpuestos se distribuyen aproximadamente. como una [0,1]h, con h=1,2,..,n, para n suficientemente grande. Obs: h=2 tenemos (ui,ui+1) , i=1,2,..n , se distribuye como una ley uniforme en [0,1]2.
Existe una gran de métodos para generar {ui} ?U(0,1) : -Uniformente distribuidas – Independientes – E[U]= ½ ; V[U]= 1/12 – Período largo Números Aleatorios
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