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Cálculo de la distancia tierra-sol a partir de mediciones tomadas en ocasión de un tránsito de Venus (página 2)

Partes: 1, 2

2.1 Determinación de la distancia en el momento de la observación

Supongamos que O sea el centro de la Tierra, C el centro del Sol y V1 y V2 los centros observados de la proyección de Venus visto desde M1 y M2, respectivamente. Los ángulos D1 y D2 serán las separaciones angulares entre los centros de Venus y el Sol vistas desde M1 y M2, respectivamente, es decir, los ángulos de paralaxis CM1V1 y CM2V2. Análogamente, podemos definir los ángulos πs y πv como las separaciones angulares entre M1 y M2 vistas desde el Sol y desde Venus, respectivamente, es decir, los ángulos M1CM2 y M1VM2.

Puesto que los cuatro puntos M1, M2, C y V no están en el mismo plano (el caso más común será no tener las dos localizaciones M1 y M2 sobre el mismo meridiano, ni la Tierra, Venus y el Sol perfectamente alineados), la geometría del problema se complica un poco. En la figura 2 se puede ver claramente. La distancia ∆π entre los dos centros de Venus es precisamente la única cantidad observable y, correspondiente a ∆π = πv – πs, permite calcular la distancia al Sol.

La realización práctica de la medida de ∆π a partir de las dos fotografías se puede hacer midiendo la posición del centro de Venus en cada fotografía en relación a un punto de referencia en el disco solar (una mancha, por ejemplo) y compararlo con la medida de este disco. Las medidas sobre las fotografías se realizan en unidades de longitud, en mm por ejemplo, y deberán transformarse a un ángulo que se pueda obtener sabiendo la medida del Sol.

Sean (x1,y1) y (x2,y2) las separaciones en mm entre el centro del disco de Venus y la mancha de referencia en las direcciones horizontal y vertical para cada una de las fotografías. Las separaciones en segundos de arco se obtienen multiplicando cada una de las cantidades x1 e y1 por el factor Ø(segundos de arco)/Ø1(mm) y las cantidades x2 e y2 por Ø(segundos de arco)/Ø2(mm) donde Ø(segundos de arco) y Ø(mm) son el diámetro del Sol expresado en segundos de arco y en mm, respectivamente. Ø1(mm) y Ø2(mm) tienen el mismo valor si la escala de las fotografías es la misma.

La distancia entre los centros de Venus en las dos fotografías será:

∆π(segundos de arco) = [ (x2 – x1)2+ (y2 – y1)2 ]1/2 [1]

Si las dos fotografías se toman con dos telescopios que proporcionan la misma escala y el disco del Sol se sitúa exactamente en el mismo lugar de la fotografía, entonces se puede tomar como punto de referencia una esquina de la misma y no una mancha. Además, en este caso Ø1(mm) = Ø2(mm) y entonces la ecuación anterior se puede plantear como:

∆π(segundos de arco) = [ (x2 – x1)2+ (y2 – y1)2 ]1/2·Ø(segons d'arc)/Ø(mm) [1bis]

Este es el supuesto adoptado de ahora en adelante.

http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html – http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html

Figura 2. Posiciones de las proyecciones de Venus sobre el disco del Sol. Obtenida de una página a cargo de P. Rocher ( IMCCE )

Suponemos que rV y rT son las distancias entre el centro del Sol y los de Venus y la Tierra, respectivamente, en el momento t de la observación. Puesto que la proyección d de la distancia entre M1 y M2 en el plano perpendicular a OC es pequeña en comparación a las distancias Tierra-Sol y Tierra-Venus, podemos aproximar:

πs = d/rTπv = d/(rT -rV)

y de aquí se deduce que:

πv = πs rT/(rT -rV) ∆π = πs (rT/(rT -rV)-1) = πs rv/(rT -rV)

y por tanto,

πs = d/rT = ∆π (rT/rV – 1)

Esta última fórmula expresa claramente que, conocida la distancia angular ∆π entre los dos centros V1 y V2, y la relación rT/rV entre las distancias Tierra-Sol y Venus-Sol, se puede deducir la paralaxis πs y que, conocida la distancia proyectada d entre las dos localizaciones, se puede deducir la distancia rT. (En todas estas expresiones los valores de πv, πs y ∆π vienen dados en radianes. Para convertirlos a segundos de arco y hacerlos compatibles con la ecuaciσn [1], sólo se necesita multiplicar por 64800 y dividir por el número π).

∆π es la cantidad observable, d se puede determinar como se explica más abajo y por tanto, la única cantidad que falta para resolver el problema es la relación rT/rV entre las distancias Tierra-Sol y Venus-Sol.

Las órbitas de la Tierra y Venus en torno al Sol son ligeramente elípticas y por tanto, la relación de distancias rT/rV no se mantiene constante a lo largo del tiempo. Para saber esta relación en el instante t de observación es necesario remitirse a la primera ley de Kepler que dice que el Sol es uno de los focos de la elipse y que por tanto, la distancia entre el Sol y un planeta rp(t) se obtiene como:

rp(t)=Rp (1 – ep cos Ep(t))

donde Rp es el semieje mayor de la órbita, ep la excentricidad y Ep(t) la anomalía excéntrica en el instante t. Según esto:

rT/rv=[RT (1 – eT cos ET)] / [RV (1 – eV cos EV)]

La tercera ley de Kepler relaciona los semiejes mayores de las órbitas con los períodos de revolución Pp:

(RT / RV)3 = (PT / PV)2

de manera que

rT/rv=(PT / PV)2/3 (1 – eT cos ET) / (1 – eV cos EV) [2]

Hasta aquí, pues, hemos sido capaces de determinar πs y rT que son la paralaxis y la distancia Tierra-Sol en el instante t de observación.

2.2 Determinación de la distancia media

Para determinar la distancia media Tierra-Sol (RT) y la correspondiente paralaxis media πo, que se relacionan mediante el radio ecuatorial terrestre R por:

πo ≈≈ R/RT

es necesario hacer alguna consideración adicional:

Si se expresa la proyección d de la distancia entre M1 y M2 en el plano normal a la dirección Tierra-Sol en unidades del radio ecuatorial terrestre, y la distancia Tierra-Sol en unidades de la distancia media, tendremos:

πs = [(d/R) / (rT /RT)] (R/RT) ≈ [(d/R) / (rT /RT)] πo

El cociente rT /RT se puede deducir de la primera ley de Kepler como:

rT/RT = 1 – eT cos ET(t)

y por tanto, sólo nos falta calcular d/R (ver Figura 3).

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Figura 3. Proyección de la distancia entre M1 y M2 en el plano normal a la dirección Tierra-Sol. Obtenida de una página a cargo de P. Rocher ( IMCCE )

Haciendo el producto vectorial entre los vectores M1M2 y OC, obtendremos el valor de sin θ, porque

M1M2 × OC = |M1M2| rT sin θ

En la figura 3 se puede ver que:

d = |M1M2| cos (90 – θ) = |M1M2| sin θ

y por tanto,

d = M1M2 × OC / rT

Ahora necesitamos calcular M1M2 × OC.

Cálculo del vector OC

Este vector se puede expresar a partir de las coordenadas ecuatoriales del Sol (α,δ) en el instante de la observaciσn como:

x=rT cos δ cos α y=rT cos δ sin α z=rT sin δ

Cálculo del vector M1M2

La posición de cada observador se puede expresar como (ver figura 4):

x=R cos φ cos (λ+TG) y=R cos φ sin (λ+TG) z=R sin φ

siendo φ y λ las coordenadas geogrαficas (latitud y longitud) del observador y TG=TG(0) + 1.00273791 t. El tiempo t de la observación se ha de expresar en la escala de Tiempo Universal (TU). Para la mayoría de Europa TU = tiempo oficial – 2h en junio.

http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html – http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html

Figura 4. Posiciones de un astro (por ejemplo el Sol) y de un observador en la Tierra en coordenadas ecuatoriales. Obtenida de una página a cargo de P. Rocher ( IMCCE )

Las coordenadas del vector M1M2 se pueden encontrar fácilmente como:

X=x1 – x2 Y=y1 – y2 Z=z1 – z2

Ejemplo práctico

Uno de los programas disponibles en http://serviastro.am.ub.es/venus2004/ está basado en esta formulación y se puede utilizar como ejemplo práctico. El segundo programa se basa en la comparación de la duración de los tránsitos vistos desde dos lugares diferentes.

Referencias

 

Por

Dra. Carme Jordi i Neub.esbot

www.am.ub.es/carne

Departamento de Astronomía y Meteorología de la Universidad de Barcelona 2 de junio de 2004

Serviastro. Departamento Astronomía y Meteorología de la Universidad de Barcelona

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