Matemáticas 1 (lecciones y ejercicios) (página 2)

La refracción de la luz produce muchos efectos en realidad sorprendentes. Es responsable de que una cuchara parcialmente sumergida en un vaso de agua parezca quebrada. Hace también que se eleve en apariencia el fondo del mar o de un depósito de agua visto desde afuera – lo cual pone en peligro a los bañistas inadvertidos. Gracias a la refracción de la luz por la atmósfera, se prolongan los crepúsculos (amaneceres) y los ocasos (atardeceres). También por la refracción de un florero esférico lleno de agua puede enfocar luz solar hasta el grado de incendiar un mueble o una cortina.

La refracción sigue tambien un par de leyes, casi tan sencillas como la de la reflexión:

• 1) El rayo incidente, el rayo refractado y la normal a la superficie, están en un mismo plano.

• 2) Ley de Snell:

Es decir: el seno del ángulo del rayo incidente = índice de refracción por el seno del ángulo del rayo refractado.

El índice de refracción se puede calcular de dos formas: Si conocemos el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción, de la ley de Snell podemos despejar directamente y obtener:

Otra forma es a través de la velocidad de la luz en diferentes medio:

Conociendo el índice de refracción del medio y el ángulo del rayo incidente, podemos calcular el ángulo del rayo refractado.

Ejercicios. Resuelva los siguientes ejercicios especificando datos, fórmula, despeje, sustitución y resultado. No olvide las unidades correspondientes.

• 1. Un haz de luz incide con un ángulo de 35º respecto a la normal con la superficie del agua. ¿Cuál es el ángulo de refracción que forma el haz con la normal en el agua?

• 2. Un rayo de luz proveniente del medio A entra en el medio B con un ángulo de 46º con respecto a la frontera horizontal entre ambos medios. Si el ángulo de refracción es de 45º ¿cuál es el índice de refracción entre los dos medios?

• 3. La luz que incide en el aire a 35º se refracta en un medio transparente con un ángulo de 25º. ¿Cuál es el índice de refracción del material?

• 4. Un rayo de luz incide sobre un vidrio plano con un ángulo de incidencia de 50º. Si el ángulo de refracción es de 20º, ¿cual es el índice de refracción del vidrio?

• 5. Un rayo de luz que se movía en el aire incide sobre una lámina de vidrio con un índice de refracción de 1.52. ¿Cuál es el ángulo de refracción?

• 6. La luz incide sobre una pieza de vidrio Crown ( n = 1.52) en un ángulo de 45º. ¿Cuál es el ángulo de refracción?

• 7. Un rayo de luz pasa del aire al agua en un ángulo de 30º. Determina el ángulo de refracción.

• 8. Un rayo de luz incide sobre una pieza de cuarzo a un ángulo de 45º. ¿Cuánto vale el ángulo de refracción?

• 9. El índice de refracción del agua es de 1.33. Calcula la rapidez de la luz en el agua.

• 10. La rapidez de la luz en el plástico es de 2.0 x 108 m/s. ¿Cuál es el índice de refracción del plástico?

Campo eléctrico

• el campo eléctrico es el responsable de la existencia de la fuerza eléctrica entre las cargas y para calcular por ejemplo, el campo eléctrico que experimenta la carga q2 y que es generado por la carga q1, utilizamos la siguiente relación:

(2)

• Donde:

E = Campo eléctrico.

F = Fuerza eléctrica que experimenta la carga q2. q2 = Valor de la carga eléctrica donde se quiere calcular el campo eléctrico.

• Nota: Se marcan en negrita las letras E y F, para especificar que son vectores, es decir que tienen un valor (magnitud), una dirección y un sentido.

• Ejemplo 2. Una carga de prueba positiva de 8.0 X 10-5C colocada en un campo eléctrico, experimenta una fuerza de 4.0 X 10-3 N. ¿ Cuál es la intensidad del campo en ese punto?

Solución:

• Ejercicios: Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas, especifica los datos, la fórmula, sustitución, las operaciones correspondientes y el resultado; recuerda no olvidar las unidades.

• 1. Una carga negativa de 2.0 X 10-8 C experimenta una fuerza de 0.06 N cuando se encuentra en un campo eléctrico ¿ Cuál es la magnitud de la intensidad del campo eléctrico en el punto donde se localiza la carga?

• 2. Una carga de prueba de 5.0 X 10-4 C está en el campo eléctrico que ejerce una fuerza de 5.0 X 10-4 N sobre ella. ¿ Cuál es la magnitud del campo eléctrico en el punto en el que está la carga?

Negocios

• 1. La compañía manufacturera Zardos fabrica CD´s. Supongamos que cuesta $0.50 hacer un CD que se vende a $ 3.00. ¿Cuántos CD´s deben fabricarse y venderse para tener una ganancia de $ 10, 000. 00?

Solución. Se sabe que: Ganancia = ingreso – costo Si x es el número de CD´s vendidos, entonces el ingreso es igual a 3x y el costo igual a 0.50x:

3x – 0.5x = 10 000 2.5x = 10 000

• 2. El precio de una computadora de cierta marca aumentó 10 % este mes. Ahora cuesta $17 900.00.

• 1. ¿Cuánto costaba la computadora el mes anterior?

• 2. Si el precio aumentó 8 % el mes anterior ¿Cuánto costaba la computadora hace dos meses?

Solución de a.

• a. Si P era el precio el mes anterior, entonces:

Ya que 1.1 P = 17 900 Entonces El costo de la computadora el mes anterior era aproximadamente de $16273.00 Solución de b. Si P era el precio hace dos meses, entonces con dos aumentos tenemos:

(1.08)(1.1)P =17900 1.188P = 17900

Es decir, el precio de la computadora hace dos meses era de $15067.34.

Nota: 1.08 viene de que 10 % = 1.0 y 8 % = 0.08, por lo tanto 1 + 0.08 = 1.08 En los tres ejemplos vemos que las ecuaciones obtenidas son del tipo ax + b = 0.

Ejercicios.

• 1. Fabricar CD´s de calidad tiene un costo de $ 3.50 cada uno, y se venden a $5.95. ¿Cuántos CD´s se deben vender para lograr una ganacia de $ 3 000.00?

• 2. A una velocidad promedio de 55 km por hora ¿Cuánto tiempo le tomaría viajar una distancia de 2343 km?

• 3. El precio de una Laptop aumentó 20 % este mes. Ahora cuesta $ 24 400.00.

• c) ¿Cuánto costaba la Laptop el mes anterior?

• d) Si el precio aumento 9 % el mes anterior, ¿Cuánto costaba la Laptop hace dos meses?

Lección 4: Ecuaciones de la forma ax + by = c

4.1 Introducción

En la mayoría de las ocasiones se encuentran ecuaciones del tipo ax + by = c. En estos casos tenemos dos variables que son x e y. El coeficiente de x es el número a y el de y es el número b.

4.2 Ejemplos de ecuaciones de la forma ax + by = c

Los siguientes son ejemplos de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Ejemplos

• 1. 3x + 2y = 0

• 2. x + y = 1

• 3. x – y = 3

• 4. -5x + 7y = 8

• 5. 

• 6. 

Ejercicios.

• 1. ¿Cuáles son los coeficientes de las x de cada una de las ecuaciones de los ejemplos anteriores?

• 2. ¿Cuáles son los coeficientes de las y de cada una de las ecuaciones de los ejemplos anteriores?

• 3. Escriba dos ecuaciones del tipo ax + by = c indicando cuales son los coeficientes.

Unidad temática II: Sistema de ecuaciones lineales

INFORMACIÓN GENERAL DE LA UNIDAD

HORAS PRÁCTICAS: 11 HORAS TEÓRICAS: 4 HORAS TOTALES: 15 OBJETIVO: que el estudiante conozca los distintos métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

OBJETIVOS PARTICULARES:

Al término de la unidad y después de realizar los ejercicios propuestos, el estudiante:

• Reconocerá un sistema de ecuaciones lineales.

• Sabrá la definición de sistema de ecuaciones lineales.

• Tendrá un método para saber si un sistema de ecuaciones lineales tiene o no tiene solución.

• Resolverá sistemas de ecuaciones lineales usando gauss jordan

• Resolverá sistemas de ecuaciones lineales usando cramer.

Sistemas de ecuaciones lineales

2.1 Antecedentes

Antes de conocer las técnicas de cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas, es conveniente hacer un repaso de cómo localizar coordenadas (puntos) en un sistema cartesiano.

2.1.2 Como dibujar un sistema de coordenadas cartesiano

Lo que se hace es trazar dos rectas perpendiculares y por lo general a la recta horizontal se le llama x, a la vertical y.

2.1.3 Puntos en el sistema de coordenadas cartesiano

Los sistemas de coordenadas nos ayudan a localizar puntos (coordenadas), trazar, rectas y curvas llamadas funciones, nos permiten resolver incluso sistemas de ecuaciones lineales y de otros tipos que no se tratan en este curso.

Ejercicio.

1. Localice en un sistema de coordenadas las siguientes coordenadas:

• 1) (1, 2), (- 5, 7), (-3, -4) , (4, -3), (0, 3), (3, 0), (-1, 0), (0, -2), y (5, 1)

• 2) Escriba las coordenadas de los siguientes puntos que se marcan en la figura siguiente:

2.2 Ecuaciones del tipo ax + by = c

Este tipo de ecuaciones tienen muchas soluciones lo cual demostraremos a continuación.

2.2.1 Gráfica de ecuaciones del tipo ax + by = c

Para comprender como se grafica este tipo de ecuaciones lo haremos mediante el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Grafique la ecuación 3x + 2y = 4 Solución. Para graficar la ecuación lo que hacemos es despejar la variable y, lo cual hacemos de la siguiente manera:

10. Pasamos el término 3x al otro lado de la ecuación (recordemos que su signo cambia), lo que nos queda:

2y = 4 – 3x 20. Como el coeficiente de y que es el 2 está multiplicando, pasa dividiendo por lo que nos queda:

30. Elaboramos una tabla para tabular los puntos (x, y).

Nota. Si observas los valores de y varían al variar x, por eso reciben el nombre de variables. Pero el valor de y depende del valor que le demos a x, es decir, y depende de x por lo que y recibe el nombre de variable dependiente. A x se le denomina variable independiente que son los valores que nosotros podemos dar.

Cada una de las coordenadas (x, y) de la última columna es solución de la ecuación 3x + 2y = 4 40. Graficamos los puntos obtenidos en la última columna, es decir, los puntos (x, y).

Ejercicio. Grafique los puntos (x, y) de la última columna de la tabla anterior y únalos mediante una línea.

Responda a lo siguiente:

• 7. ¿La unión de los puntos da una curva o una recta?

• 8. Tome cualquier punto de la línea que no sean los de la tabla y sustitúyalos en la ecuación 3x + 2y = 4

• 9. ¿Si se toma cualquier punto de la línea que une los puntos es solución de la ecuación 3x + 2y = 4?

• 10. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 3x + 2y = 4?

Ejercicios. Grafique las siguientes ecuaciones:

• A. x + y = 1

• B. x – y = 1

• C. 3x + 4y = 4

• D. 

• E. 

 Otro método para graficar ecuaciones del tipo ax + by = c

Un método que ahorra tiempo para graficar ecuaciones del tipo ax + by = c se presenta con el siguiente ejemplo:

Ejemplo. Grafique la ecuación 8x + 2y = 4 Primero: hacemos y = 0, por lo que la ecuación nos queda 8x + 2(0) = 4 Entonces: 8x = 4 Por lo tanto:

Así tenemos que nuestra primera coordenada es:

Segundo. Ahora hacemos x = 0, por lo que nuestra ecuación queda 8 (0) + 2y = 4 2y = 4 y = 2 Por lo que nuestra segunda coordenada es: (0, 2).

Tercero. Marcamos esos puntos en el sistema de coordenadas y los unimos a través de una recta.

Ejercicios. Grafique las siguientes ecuaciones.

• A. x + y = 1

• B. x – y = 1

• C. 3x + 4y = 4

• D. 

• E. 

• F. x + y = 0

Definición: La gráfica de las soluciones de cualquier ecuación de la forma ax + by = c donde a y b son diferentes de cero, es una línea recta.

2.2.3 Aplicaciones de ecuaciones del tipo ax + by = c

MATEMÁTICAS 1 (LECCIONES Y EJERCICIOS), POR BROSVELI E. DOMÍNGUEZ E.

Enviado por Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

"NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"®

www.monografias.com/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_s/monografias Santiago de los Caballeros, República Dominicana, 2015.

"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"®

Autor:

Brosveli E. Domínguez E.