Apuntes de Matemática Discreta

2. Preposición, Tablas de verdad, Tautología y Contradicción
3. Relación de pertenencia
4. Conjunto de partes
6. Inducción matemática
7. Sucesiones por recurrencia
8. Reglas de divisibilidad
9. Cambio de base
10. Producto cartesiano
11. Relaciones
12. Funciones
13. Relaciones definidas de un conjunto en si mismo
14. Clausura de una relación
15. Composición de funciones
16. Relación de equivalencia
17. Conjunto cociente
18. Operaciones binarias
19. Conjuntos ordenados
20. Grupos
21. Subgrupos
22. Redes, subredes, átomos
23. Lenguajes
24. Autómatas finitos

LÓGICA Y CÁLCULO PROPORCIONAL:

Preposición: Cualquier frase susceptible de adquirir un valor de verdad. En general se compone de la siguiente manera: (SUJETO + VERBO + PREDICADO)

Tablas de verdad:

Tautología: El valor de verdad de toda la columna es Verdadero.

Contradicción: El valor de verdad de toda la columna es Falso.

———————————————–

Tautología: ~Contradicción.

Contradicción: ~Tautología.

Si el antecedente de una implicación es Falso, el valor de verdad es Verdadero

Leyes de De Morgan:

 Cuantificadores:

Hay dos tipos:

El cuantificador Universal " ("Para todo") y el cuantificador existencial $ ("Existe").

Hay proposiciones como por ejemplo: "5 > 2"; "X toma el mismo valor que Y"; "5²=20"; a las que podemos adjudicarle un valor de verdad (Verdadero o Falso), y hay expresiones que incluyen variables como x²+2x-3 = 0 que no podemos decir que sean proposiciones, puesto que si x=1 resulta verdadero, pero su x=0 entonces resulta falso.

Si decimos "" x: x²+2x-3= 0", ahora si es una proposición y es falsa, puesto que podemos mostrar el contraejemplo, dándole a x el valor "0".

La expresión: "$ x / x²+2x-3 = 0" es también una proposición y en este caso es verdadera.

Negación de los cuantificadores:

~ (" x: P(x) ) Û $ x: ~ P(x)

~ ($ x: P(x) ) Û " x: ~ P(x)

(p1, ^ p2 ^ p3 ^ p4) Þ C

Relación de pertenencia:

Se define de elemento a conjunto. A la izquierda del signo Î (pertenece) debe haber un elemento y a la derecha del signo un conjunto. Para que la expresión sea verdadera el elemento de la izquierda debe ser alguno de los elementos del conjunto de la derecha.

El Æ (conjunto vacío) es el que no contiene ningún elemento.

# (cardinal) es la cantidad de elementos que posee un conjunto.

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  Inclusión: Igualdad:

A Ì B Û x Î A Þ x Î B A = B Û (A Ì B ^ B Ì A )

  CONJUNTO DE PARTES

Dado un conjunto A, llamamos P(A) (partes de A), a un conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos posibles del conjunto A.

El conjunto vacío es subconjunto trivial de cualquier conjunto, y el mismo conjunto A es subconjunto impropio de si mismo. Todos los otros subconjuntos se llaman propios. En nuestro caso:

# A = 3 # P(A) = 8

# A

En general: # P(A) = 2

Por este motivo el conjunto de partes se llama también Conjunto Potencia.

A = Æ # = 0

P(A) {0;A} # = 2º = 1

A = {a} # = 1

P(A) {0;A} # = 2¹ = 2

 Partición:

Dado un conjunto "A " y otro conjunto "P", cuyos elementos son a su vez conjuntos a los cuales llamamos Pi.

P = {P1, P2, P3, … Pn}

Decimos que P es una partición de A si se cumple que la intersección de dos elementos cualquiera de P es siempre el conjunto vacío; la unión de todos los elementos de P es el conjunto A. Por último, ningún elemento de P es el conjunto vacío.

Condiciones:

1º) Pi ^ Pj = Æ si i ¹ j

n

2º) U Pi = A

i = 1

3º) Pi ¹ 0 " i

Ejemplificación:

Sea A = {1,2,3,4,5,6}

P1 = {í 1,2,3,4ý ; í 5,6ý } Es partición

P2 = {í 2,4ý ; í 1,6ý ; í 3,5ý } Es partición

P3 = {í 1,3,5ý ; í 1,2,4,6ý }

No es partición puesto que no cumple con la primera condición: el elemento "1" se repite.

P4 = {Æ ;í 2,4,5,6ý ; í 1,3ý }

No es partición puesto que no cumple con la tercera condición: el elemento "Æ " no puede formar parte de una partición.

P5 = {í 1,3,5,7ý ; í 2,4,6ý }

No es partición puesto que no cumple con la segunda condición: el elemento "7"Ï al conjunto A.

Si todos los conjuntos Py que son elementos de P tienen en el mismo cardinal, decimos que es una Partición Regular.

INDUCCIÓN MATEMÁTICA:

Quinto postulado de Peano:

Si [P1 es Verdadero y {Ph Þ P(h+1)} es verdadero] Þ Pn n Î N

Sumatoria:

4

å (3i + 1) = 4+7+10+13 = 24

i=1

5

å (2i – 2) = -1+0+2+6+14+30 = 51

i=0

6

å (2i – 2) = -1+0+2+6+14+30+62 = 113

i=1

Ejemplificación:

n+1 k n

å 3 = 3/2 (3 – 1)

k=2

1) n = 1

n+1 1 1

å 3 = 3/2 (3 – 1)

k=2

3 = (3/2) × 2

Dándole a "n" el valor de 1, la igualdad es válida.

 2) Hipótesis:

n = h

h k h

å 3 = 3/2 (3 – 1) Esto se considera válido siempre

k=2

3) Tesis:

n = h+1

h +1 k h+1

å 3 = 3/2 (3 – 1) Este es el término al que se desea llegar

k=2

4) Demostración:

h k h h+1

å 3 = 3/2 (3 – 1) + 3 Se copia la hipótesis y se agrega el término h+1

k=2 reemplazando "k" por "h+1"

Se comienza a igualar para llegar a la Tesis

h h+1

= 3/2 [(3 -1) + 2/3 * 3 ]

h h

= 3/2 [3 -1 + 2 * 3 ]

h

= 3/2 [3 * 3 – 1]

h+1

= 3/2 [3 + 1]

Finalmente, este término resulta idéntico a la Tesis y la igualdad queda demostrada.

Inducción completa en propiedades expresadas con una desigualdad:

Sea A l B una propiedad donde A es una función de n y B también.

Primero debemos probarlo para n=1 y si se cumple, por hipótesis

A (h) l B (h)

A (h+1) l B (h+1)

Para demostrarlo, partimos de A (h) l B (h) y hacemos lo necesario para transformar A(h) en A (h+1). Una vez que en el primer término tenemos A (h+1), aún haciendo todas las operaciones matemáticas posibles, difícilmente nos quede en el segundo término B (h+1). Generalmente lo que queda es la expresión A (h+1) l C(h). Entonces lo que debemos hacer es probar C(h) l B (h+1).

De ambas expresiones concluimos que por ser de orden transitivas A (h+1) l B (h+1).

SUCESIONES POR RECURRENCIA O RECURSIÓN:

an = 3an-1 + 2an-2 +5

El orden de una sucesión tiene que ver con la cantidad de términos anteriores que se utilizan. En el ejemplo tenemos una sucesión de 2º orden. El grado se relaciona con el exponente al que están elevados an – i. Por último, la sucesión es homogénea si no hay ningún término independiente. En el caso anterior es no homogénea.

Ejemplificación:

Resolución de ecuaciones homogéneas de primer grado, segundo orden:

1. Se pasan al primer miembro los términos an, an-1, an-2, los cuales también podrían figurar como an+2, an+1, an

   n n

2. Se reemplaza an por r², an-1 por r y an-2 por 1, quedando una ecuación de segundo grado con raíces reales y distintas de r1 y r2.
3. Se plantea a = u · r1 + v · r2
4. Debemos tener como dato los valores de los dos primeros términos de la sucesión:

A0 = k y A1 = k’. Utilizando estos datos ordenamos el sistema de 2×2: u + v = k y u·r1 + u·r2 = k’. La resolución de este sistema no da como resultado los valores u0 y v0, que son números reales conocidos.

e) la solución general es:

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Ejemplificación:

an= 2/3an-1 +1/3an-2

a0 = 2 Esto es dato

a1= 5

 Primero efectuamos el cambio de variable de la manera indicada

1

r² – 2/3 r – 1/3 = 0

-1/3

Aplicamos la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.

Luego reemplazamos los valores de las raíces en la fórmula general:

n n

a = u · 1 + v · (-1/3)

Ahora debemos usar los datos que nos dieron par resolver el problema: El polinomio especializado en 0 da como resultado 2, y especializado en 1 da 5 (Ver llave al inicio del problema donde se aclara cuales son los datos). Por lo tanto podemos elaborar el siguiente sistema de ecuaciones:

u + v =2

u – 1/3 = 5

Resolviéndolo, obtenemos que:

v = -9/4

u = 17/4

Por último, escribimos la ecuación general, que en nuestro ejemplo es así:

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REGLAS DE DIVISIBILIDAD:

1. Si A·B = C, siendo A, B y C Î Z, decimos que C es múltiplo de A, también de B, y A y B son divisores de C. Es decir, para que C sea múltiplo de A debe existir un B tal que A·B=C. para que A sea divisor de C debe existir un B tal que A·B = C
2. 0 es múltiplo de cualquier número, porque $ 0 / 0 · A = 0
3. 0 no es divisor de ningún número, puesto que A : 0 = ? Þ 0 · ? = A
4. 1 es divisor de cualquier entero, puesto que N : 1 = N
5. 1 es múltiplo de 1 y -1

7)

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8) El conjunto de divisores de n está formado por todos los Z que lo dividen exactamente. Por ejemplo:

D6 = {1,2,3,6} D42 = {1,2,3,6,7,14,42} D13 = {1,13}

+

D0 = Z – {0} D1 = {1}

9) Decimos que un número es primo cuando tiene dos divisores: "1" y él mismo.

10) Decimos que un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores, pero no infinitos.

11) El 0 y el 1 no son primos ni compuestos.

12) El teorema fundamental de la aritmética dice que cada número puede descomponerse en un producto único de factores primos. Por ejemplo:

6 = 2·3 42 = 2·3·4 13 = 13 36 = 2·2·3·3 = 2²·3²

Para abreviar la escritura usamos notación exponencial.

13) El Máximo Común Divisor (MCD) entre dos números es el mayor número que figura en el conjunto divisores de A Ç divisores de B. MCD(a,b) = (a, b)

Max (Da Ç Db)

14) El Mínimo Común Múltiplo (MCM) es el mínimo elemento perteneciente a la intersección de múltiplos de A y B. MCM(a,b) = [a,b] Min (Ma Ç Mb)

15) El MCM entre A y B = A·B

MCD (a,b)

Método para hallar el MCM y el MCD:

* Dividen a toda la fila

5 2 4

M CM = 2 · 3 · 5 = 180.000

2 2

M C D = 2 · 5 = 100

 Consideraciones:

a Î Z, b Î Z Þ (a , b ) = (ï a ï , ï b ï ) = (b, a)

1. (a , b ) = (ï a ï , ï b ï )
2. (a , b ) = (b, a)

1) Por convención, cuando formamos el conjunto de divisores de un número, consideramos solo los divisores positivos, sea el número positivo o negativo, por lo tanto Dn = D-n. Trabajar con a o con ï a ï produce el mismo resultado.

2) (a , b ) = Max (Da Ç Db) = Max (Db Ç Da) = (b, a)

CAMBIO DE BASE:

Ejemplificación:

Base 5 a base 10 (b5® b10)

430123 =

5 4 3 2 1 0

4·5 + 3·5 + 0·5 + 1·5 + 2·5 + 3·5 =

4 · 3125 + 3 · 625 + 0 · 125 + 1 · 25 + 2 · 5 + 3=

12500+1875+0+25+10+3=

14413

Como se observa, el número (430123) b5 resulta equivalente a (14413) b10

Base 16 a base 10 (b16® b10)

Como la base 16 o hexadecimal tiene seis símbolos más que la base 10 o decimal, la equivalencia entre dichas unidades es la que se expone en la tabla.

La conversión de base hexadecimal a base decimal se efectúa de la forma convencional antes vista

Pasaje de una base a otra que es potencia de ella:

Caso 1: Para pasar un número de base m a base m^n, se escribe el número en base m y se lo divide de derecha a izquierda en grupos de n números. Cada uno de estos números pasados a base 10 será una de las cifras de este mismo número expresado en base m^n.

Caso 2: Para pasar un número de base m^n a base m, escribimos el número separando bien las cifras y debajo de cada cifra hacemos un rectángulo dividido en n casilleros. En cada uno escribimos la cifra de arriba en base m, completando con cero los casilleros vacíos.

Ejemplificación:

Caso 1: Pasaje de la base 2 a la base 16

Caso 2: Pasaje de la base 8 a la base 2

PRODUCTO CARTESIANO:

Sean dos conjuntos A y B, llamamos Producto Cartesiano A·B al conjunto de todos los pares ordenados que se pueden armar con el primer componente perteneciente al primer conjunto y el segundo componente perteneciente al segundo conjunto.

Ejemplificación:

Sea A = {a,b}, B= {1,2,3}

A·B= (a1, a2, a3); (b1, b2, b3)

RELACIONES:

Llamamos Relación de A en B a cualquier subconjunto del Producto Cartesiano de A·B

A = {a,b}, B= {1,2,3}

R = {(a,1); (a,3); (b,2); (b,3)}

Gráficos:

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MR1= 1 0 1

0 1 1

 Matriz booleana Tabla Simple Doble entrada

Diagrama de Venn Diagrama Cartesiano

Llamamos Dominio (D) de una relación al conjunto de elementos del primer conjunto que son primer componente de algún par de la relación.

Llamamos Imagen ( I) al conjunto de elementos del segundo conjunto que son segunda componente de algún par.

La Relación Complementaria (R) de otra dada es la diferencia entre el producto cartesiano de A·B y la relación R definida de A® B

La Relación Inversa (R¯¹) es la relación que contiene a los pares (x,y) / (y,x) Î R

FUNCIÓN:

Decimos que una relación es una función si para cada elemento del primer conjunto existe una única imagen.

Si cada elemento del segundo conjunto es imagen de alguien, entonces la función es Sobreyectiva.

Si cada elemento del segundo conjunto es, a lo sumo, imagen de un elemento del primer conjunto, entonces la función es Inyectiva.

Si una función es sobreyectiva e inyectiva, entonces es Biyectiva.

RELACIONES DEFINIDAS DE UN CONJUNTO EN SI MISMO (A® A)

Reflexividad: Una relación es Reflexiva cuando para cada x Î A, el par (x,x) Î a la relación. Si está escrita en forma de pares, deben figurar tantos pares (x,x) como elementos tenga el conjunto. Si está dado matricialmente, la diagonal principal debe ser toda de "1". Si algunos pares (x,x) figuran y otros no, la relación es No Reflexiva. Si ningún par (x,x) figura, la relación es Areflexiva.

Simetría: Una relación es Simétrica si todo par tiene su inverso en la relación. Si algunos pares tienen simétrico y otros no, la relación es No Simétrica. Si ningún par tiene simétrico, la relación es Antisimétrica.

Transitividad: Una relación es Transitiva si existiendo en la relación dos pares del tipo (x,y);(y,z), entonces aparece también el par (x,y).

CLAUSURA DE UNA RELACIÓN:

Clausura Reflexiva: Es la menor relación reflexiva que contiene a la dada. Si la relación es reflexiva, es su propia Clausura Transitiva. Si la relación está dada por una matriz booleana, la Clausura Reflexiva se obtiene completando con 1 la diagonal principal.

Clausura Simétrica: Es la menor relación simétrica que contiene a la dada. Si una relación es simétrica, es su propia Clausura Simétrica. Si la relación está dada como matriz booleana, se cambian los 1 por 0 necesarios para que sea simétrica respecto de la diagonal principal.

Clausura Transitiva: Es la menor relación transitiva que contiene a la dada. Si la relación es transitiva, es su propia Clausura Transitiva. Si no lo es se halla usando el siguiente método:

1. t

2. Se encuentran las potencias de R (R², R³, etc.)

   t t-1 i

3. Si R es la relación total o producto cartesiano, no se buscan más potencias y esa es la Clausura Transitiva.
4. Si R es la matriz nula, entonces la C.T es la unión generalizada R¥ = U R

t i=1

4) Si R es igual a alguna potencia anterior, entonces no se buscan más potencias y la C.T es idéntica que en el punto anterior.

Clasificación de las relaciones por sus propiedades:

Una relación es de Orden Estricto si es asimétrica y transitiva. P. Ej.: >

Una relación es de Orden Amplio si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. P. Ej: ³

Una relación es de Equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplificación:

• Al tener en su Diagonal Principal únicamente "1", la matriz es simétrica. (Diagonal principal sombreada)
• Como los elementos que bordean a la Diagonal principal son idénticos, la matriz es reflexiva. (Elementos en cursiva)
• Al multiplicar la matriz por si misma se obtiene otra matriz idéntica y por lo tanto se halla la clausura transitiva.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:

R: A ® T

T: A ® A

R= {(1,2); (2,3); (3,1); (3,2)}

T= {(1,1); (2,1); (3,1); (3,3)}

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R° T= {(1,2); (2,2); (3,2); (3,1)}

T° R= {(1,1); (2,1); (2,3); (3,1)}

Cuando componemos un conjunto con él mismo, lo podemos anotar con notación exponencial: R° R = R²

Cuando componemos una matriz con ella misma puede ocurrir que obtengamos la matriz nula, entonces, a partir de ella todas las potencias restantes serán la matriz nula. Podemos obtener la matriz total (toda de "1"), en cuyo caso, de ahí en mas, todas las potencias serán iguales a ella. Puede ocurrir que encontrando las potencias de una relación obtengamos una que ya había aparecido, de tal forma que se repetirán cíclicamente.

RELACIONES DE EQUIVALENCIA:

Una relación es de Relación de Equivalencia (º ) cuando es reflexiva, simétrica y transitiva. Estas relaciones tienen una característica muy particular: producen en el conjunto en el cual las definimos una partición.

Esta partición se caracteriza porque en cada conjunto de los que integran la partición encontramos elementos equivalentes entre si.

Sea el conjunto A y en el definido una relación de equivalencia. Tomamos el primer elemento y formamos la clase que lo contiene. Comparamos el segundo elemento: si son equivalentes, B quedará en la clase del A, y sino abrimos la clase del B que lo contiene.

Tomamos el elemento C y lo componemos con A, si es de equivalencia queda en la clase del A, sino lo comparamos con B, y sino abrimos la clase del C que lo contiene, y así sucesivamente.

Si los elementos son infinitos, con algún criterio podremos interpretar el armado de las clases de equivalencia.

El conjunto de todas las clases de equivalencia es el Conjunto Cociente.

CONJUNTO COCIENTE:

Decimos que el Conjunto Cociente es una partición porque:

1. como cada clase se abre para cada elemento, ninguna puede ser Æ .

b) Como comparamos todos los elementos de A, la unión de todas las clases será A.

Sea X1 Î Ca ^ X1 Î Cb

X1 Î Ca Þ X1 º a Þ a º X1 Œ

X1 Î Cb Þ X1 º b

Œ y a º b Þ b Î Ca Þ Ca = Cb

Ca y Cb = Æ

Relación de equivalencia compatible con una operaciónÛ

Decimos que Û y º son compatibles cuando: si a es equivalente a b, y c es equivalente a d, entonces aÛ c es equivalente a bÛ d.

OPERACIONES BINARIAS

Llamamos Operación Binaria a cualquier función de A× B en C. Es decir, a un par ordenado con primer elemento perteneciente a A, y segundo componente perteneciente a B, le hacemos corresponder un elemento de C.

Los conjuntos A, B y C pueden ser distintos o iguales. Cuando A=B y tenemos una función A× A en C, como puede ser la resta definida en nxn que va a parar a Z, vemos que sale fuera de los números naturales. Ejemplo: 5-12= -7, donde 5 y 12 Î N y -7 Î Z.

Puede ocurrir que B y C sean iguales, y tenemos Ley de Composición Externa. Ejemplo: Producto de un escalar por un vector, que va de rxb en b.

Puede ocurrir que A=B=C. en este caso la función no va de A× A en A y decimos que es una Ley de Composición Interna, o bien una Operación Cerrada, o que cumple con la Ley de Cierre.

Propiedades:

• Propiedad Conmutativa: AÛ B = BÛ A
• Propiedad Asociativa: (AÛ B)Û C = AÛ (BÛ C)

Elementos Notables:

• Idempotencia: A Û A = A
• Elemento Neutro: A Û e = A
• Elemento Inverso: A Û A’ = e
• Elemento Absorbente: µ Û A = µ
• Involución: A Û A = e

Ejemplificación:

Sea AÛ B= A+B – 3AB definida en Z

1) La operación es cerrada, porque lo son la suma y la multiplicación en Z, y porque lo es la multiplicación de números enteros.

Propiedad Conmutativa: A+B – 3AB = B+A – 3BA. Esto es válido puesto que la suma y la multiplicación son operaciones conmutativas.

Propiedad Asociativa:

AÛ (B + C – 3BC) = A + B + C – 3BC – 3A (B + C-3BC) = A + B + C – 3BC – 3AB – 3AC + 9ABC Œ

(A + B – 3AB)Û C = A + B – 3AB + C – 3 (A + B – 3AB) C = A + B + C – 3AB – 3AC -3BC + 9ABC

Nótese que aplicando la asociatividad, en ambos casos (Œ y ) se llegó al mismo resultado, por lo tanto la operación es asociativa.

Idempotencia:

AÛ A = A + A – 3AA

2A – 3AA = A

2A – 3A² ¹ A

No es idempotente.

Elemento Neutro:

AÛ C = A + C – 3AC

A + e – 3 Ae = A

e – 3 AC = 0

e (1–3A) = 0

e = 0

En este caso el Elemento Neutro es el Cero

Elemento Inverso:

AÛ A’ = A + A’ – 3AA’

A + A’ – 3AA’ = 0

A’ – 3AA’ = – A

A’ (1–3A)= – A

A = – A : (1–3A)

Obsérvese que Ï Z y que además A ¹ 1/3, por lo tanto no existe un Elemento Inverso.

Elemento Absorbente:

AÛ µ = A + µ – 3Aµ

A+µ – 3 Aµ = 0

µ = –A : (-3A)

µ = 1/3

Al existir dos soluciones posibles no existe Elemento Absorbente.

Si la operación no es conmutativa debemos probar el neutro a derecha y a izquierda. Puede ocurrir que no exista neutro porque queda en función de A, o bien, que exista derecha, pero no izquierda o viceversa. Por ejemplo: La potencia tiene neutro a derecha, pero no tiene neutroizquierda. Para poder decir que una operación no conmutativa tiene neutro, debe tener neutroizquierda, neutroderecha y ambos deben ser iguales.

CONJUNTOS ORDENADOS

Decimos que dos elementos son comparables cuando una relación l , podemos afirmar que Al B o Bl A. Ejemplificación: En Z, 2 y 3 son comparables respecto de la relación de menor, pues 2 < 3, pero no son comparables respecto de la relación "/" ("Divide a"), puesto que ni 2/3, ni 3/2.

Una relación es de Orden Total cuando todos los elementos del conjunto en el cual está definida son comparables entre si. Hay relaciones de orden amplio que son totales como ³ y relaciones de orden amplio que no lo son, como /.

Hay relaciones de orden estricto que son totales, como < y relaciones de orden estricto que no lo son, como la inclusión propia (Decimos que un conjunto AÌ B propiamente, si existe al menos un elemento de B que no pertenece a A).

Una relación de orden definida en un conjunto A es un Buen Orden si para cualquier elemento de A $ siempre un elemento que l a todos los otros. Ejemplificación: la relación de menor definida en N es buen orden, pues cualquier subconjunto de N tiene siempre un elemento menor que todos los demás. La relación de mayor definida en N, tiene como primer elemento el mayor elemento del conjunto, por lo tanto, cualquier subconjunto infinito de los N no tiene primer elemento.

Elementos notables:

Dado un conjunto A incluido en otro R, llamamos Cotas Superiores a todos los elementos de R que siguen a cualquier elemento del conjunto A, y llamamos Cotas Inferiores a todos los elementos de R que preceden a cualquier elemento de A.

La menor de las cotas superiores, si pertenece al conjunto A es Máximo, y si no pertenece es Supremo. La mayor de las Cotas Inferiores, si pertenece al conjunto A es Mínimo y si no pertenece es Ínfimo.

Si una relación de orden no es total, genera un gráfico llamado Diagrama de Hasse.

Dado un conjunto A incluido en otro R, llamamos Minimales a los elementos del conjunto A que no son precedidos por ningún otro. Llamamos Maximales a los elementos de A que no son seguidos por ningún otro elemento de A.

Nótese que un mismo elemento puede ser minimal y maximal a la vez.

Ejemplificación:

Sea el conjunto de los x A={ x / 2 £ x £ 13} , en la relación "/" en Z

Maximales: { 8,12,9,10,11,13}

Minimales: { 2,3,5,7,11,13}

Cotas inferiores: { -1, 1} , 1 es ínfimo.

Cotas superiores: { 360360} , 360360 es supremo.

Diagrama de Hasse:

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GRUPOS

Condiciones:

(G;Û )

1) Û es cerrada en G

2) Û es asociativa en G

3) $ e neutro en G para Û

4) $ a’ para cada a de G / a’Û a = aÛ a’ = e

Cuando además de ser grupo la operación es conmutativa, se dice que es Grupo Abeliano.

Composición de funciones:

Es asociativa, generalmente no es conmutativa. El elemento neutro es la Identidad. La función inversa es la que conocemos habitualmente y decimos que la composición de F con G es otra función de pares (x,y) / $ k: (x,k) Î g Ù (x,y) Î F.

Ejemplificación:

• La operación es cerrada, como se puede observar en la tabla.
• La composición de funciones es asociativa.
• F1 es la identidad y funciona como neutro.
• Cada elemento tiene inverso.
• No es conmutativa, puesto que

F4° F3 = F5 y F3° F4 = F6, por lo tanto (F; ° ) es grupo no abeliano.

Inversos:

F1’ = F1

F2’ = F3

F3’ = F2

F4’ = F4

F5’ = F5

F6’ = F6

SUBGRUPOS

Si un conjunto S ¹ Æ , incluido en G, tiene a su vez estructura de grupo, decimos que S es un subgrupo de G.

En el ejemplo anterior S = { F1, F2, F3} , constituye a su vez un grupo, además abeliano.

Nótese que todo grupo abeliano tiene todos sus subgrupos abelianos, sin embargo un grupo no abeliano puede tener grupos abelianos o no abelianos.

El Conjunto generado por un elemento es el conjunto que se obtiene operando un elemento consigo mismo como sea necesario hasta que empieza a repetirse.

< F1> = { F1}

< F2> = { F3; F1; F2}

< F3> = { F2; F1; F3}

< F4> = { F1; F4}

< F5> = { F1; F5}

< F6> = { F1; F6}

Todo conjunto tiene como mínimo dos subgrupos: el Subgrupo Trivial { e} y el Subgrupo Impropio, que es G.

Cualquier subgrupo que no sea el trivial ni el impropio se denomina Subgrupo Propio.

Teorema de Lagrange

Si un conjunto es finito, de cardinal n y tiene un subgrupo de cardinal d, entonces d divide a n. En consecuencia si el cardinal de un grupo es primo, no tiene subgrupos propios.

Grupos de pocos elementos

a) Grupos de un elemento:

El único grupo de un elemento es el grupo trivial (neutro).

b) Grupos de dos elementos:

Cualquier conjunto que contenga al neutro y a otro elemento inverso de si mismo es subgrupo del dado.

c) Grupos de tres elementos:

Si queremos encontrar grupos de tres elementos debemos buscar dos elementos que sean uno inverso del otro y que además el primero operado con si mismo de el segundo y viceversa.

d) Grupos de cuatro elementos:

Si el subgrupo de cuatro elementos tiene un inverso de si mismo y una pareja, debemos comprobar que b Û b = c Û c = a

Grupos Cíclicos

Decimos que un grupo es Cíclico cuando hay por lo menos un elemento que genera todo el grupo. Los grupos cíclicos son siempre conmutativos. El ejemplo de las funciones no es cíclico, porque no existe elemento que genere a todos.

Ejemplificación:

(Zn; Å )

a) Por definición la suma de clases es otra clase, por lo tanto es cerrada.

b) La suma de clases es asociativa y conmutativa porque lo es la suma en Z.

c) La clase del cero funciona como elemento neutro en base a la definición dada.

d) Cada clase x tiene su inverso en la clase n-x

e) Para cualquier n, (Zn; Å ) es un grupo abeliano.

En todos los casos el elemento 1 genera a todos los demás, por lo tanto son grupos cíclicos.

º 12

0’ = 0

1’ = 11

2’ = 10

3’ = 9

4’ = 8

5’ = 7

6’ = 6

Los números coprimos con n generan todo el conjunto. Los divisores de n generan al conjunto de sus múltiplos que constituyen subgrupos.

En las clases Zn con el producto de clases, debemos retirar la clase del 0, que es absorbente para el producto, si n es un número primo entonces (Zn -{ 0} ; Ä ) tiene estructura de grupo. El elemento neutro es la clase del 1 y los inversos los encontramos en la tabla correspondiente.

En Zn con el producto cuando n no es primo, veremos que algunos elementos tienen inversos. El conjunto de estos elementos es con el producto un grupo abeliano.

Si un grupo tiene cardinal infinito para probar que es un subconjunto es subgrupo de él, debemos probar que la operación es cerrada, que existe neutro y que cada elemento tiene inverso.

Si el cardinal del grupo es finito, para probar que un subconjunto es subgrupo basta mostrar que la operación es cerrada en él.

Ejemplificación:

{ Z14 -{ 0} ; Ä }

INV = { 1,3,5,9,11,13}

1’ ® 1

2’ ® No

3’ ® 5

4’ ® No

7’ ® No

9’ ® 11

13’® 13

Subgrupos:

{ 1;13}

{ 1;3,5} ® No válido

{ 1;9,11}

{ 1}

Red de subgrupos

Intersección de subgrupos:

1) Sean H1 y H2 elementos pertenecientes a la intersección de h y k. eso significa que ambos pertenecen a H, que por ser subgrupo contiene a H1 con H2.

2) Por pertenecer ambos a la intersección, pertenecen a k, y como k es un subgrupo contiene a H1 Û H2. Por pertenecer H1 Û H2 a ambos conjuntos pertenece a la intersección.

El neutro pertenece a ambos subgrupos, por lo tanto pertenece a la intersección.

3) La asociatividad se hereda de un grupo grande a cualquier conjunto, y por lo tanto a la intersección.

4) Si H pertenece a la intersección es porque pertenece a H grande, que por ser subgrupo contiene a H’; pero H pertenece también a k, que por ser subgrupo contiene a k’; entonces k’ por pertenecer a h y k pertenece a la intersección.

Congruencia Módulo H

Dado un grupo G, y un subgrupo H de él, definimos la relación Congruencia Módulo H en G de la siguiente manera:

a º h b Û a’ Û b Î H " a, b Î G Congruencia modulo H a izquierda.

a º h b Û a Û b’ Î H " a, b Î G Congruencia modulo H a derecha.

a) a º h a a’ Û a = e Î H Es reflexiva

b) a º h b Þ a’ Û b Î H Þ (a’ Û b’) Î H Þ b’ Û (a’)’ Î H Þ b’Û a Î H Þ b º h a

Es Simétrica

c) a º h b Þ a’ Û b Î H

b º h c Þ b’ Û c Î H

Queda demostrado que º h es de equivalencia, por lo tanto produce en G una partición en clase de equivalencia. La clase del neutro es el subgrupo H, porque " elemento de H ° e es un elemento de H.

La partición que produce es regular, por lo tanto, cada clase tiene tantos elementos como el subgrupo H, si G ¹ ¥ , de # n y H tiene # q Þ la cantidad de clases de equivalencias es n/q, y el índice del subgrupo se obtiene efectuando # G / # H.

Ejemplificación:

G = (Z12; Å ) H = { 0;4;8}

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Cuando el grupo es abeliano las coclases a izquierda y a derecha son iguales.

Si el grupo no es infinito, entonces componiendo los elementos de G con los del subgrupo se obtienen las coclases a izquierda, y en cambio si componemos los elementos del subgrupo con las de G obtenemos las coclases a derecha.

Ejemplificación:

F = { F1; F2; F3; F4; F5; F6}

S = { F1; F4}

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Si un subgrupo genera coclases iguales, decimos que es normal y entonces se cumple " G Ì al grupo grande, y " H Ì al subgrupo g’ Û h Û g Î H.

Una operación binaria definida en A x A, y una relación definida en A son compatibles (~) Û a ~ b Ù c ~ d Þ a Û c ~ b Û d.

Homomorfismos

Sean dos grupos G, G’, decimos que f, definida en G ® G’ es un Homomorfismo Û

f (a Û b) = f (a) Û f(b).

Si f es sobreyectiva es un Epimorfismo. Si f es inyectiva, entonces es un Monomorfismo. Si f es biyectiva es un Isomorfismo. Si está definido un grupo en ese mismo grupo es un Endomorfismo, y si además es biyectiva, es un Automorfismo.

REDES

Dado un conjunto A y una relación de orden definida en él, siendo el orden parcial, decimos que dicha relación le da estructura de Red (también llamada Retículo o Lápiz) al conjunto, si para cada par de elementos existe un único máximo y un único mínimo.

Toda red tiene un primer elemento que antecede a todos los demás y uno último que sigue a todos los demás, llamados Máximo Absoluto y Mínimo Absoluto.

Decimos que dos elementos son Complementarios cuando el mayor y el menor entre ellos son el mayor y el menor absoluto. Si para todos los elementos del conjunto existe complemento, decimos que la red es Complementada.

Las operaciones mayor y menor pueden o no ser mutuamente distributivas. Si lo son, la red es Distributiva.

Redes del tipo P(A) con la inclusión

Sea:

A = { 1,2,3} { P(A); Ì }

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• El mínimo absoluto es Æ .
• El máximo absoluto es A.
• Cada elemento tiene complemento respecto de A.
• En estos retículos el máximo es la unión y el mínimo la intersección.

Átomos de una red

Llamamos Átomos a los elementos del conjunto, precedidos únicamente por el mínimo absoluto. En nuestro ejemplo los átomos son los conjuntos de 1 elemento.

Subred

Si el conjunto S Ì A tiene a su vez estructura de red, decimos que es una Subred.

Ejemplificación: S = { Æ ; 1; 2; 1,2}

Redes de divisores de n, con la relación "divide a"

(D30; /)

D30 = { 1,2,3,5,6,10,15,30}

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Mínimo absoluto: 1

Máximo absoluto: 30

Átomos: { 2,3,5}

Inversos: (Elementos que no se tocan entre si)

1 = 30

2 = 15

3 = 10

5 = 6

S = { 3,6,15,30}

Máx = [a,b]

Mín = (a,b)

Redes complementadas:

Las redes del tipo P(A) con la inclusión son siempre complementadas, y el complemento de cada elemento es el complemento respecto del conjunto.

En las redes divisores de n con la relación "divide a"; si dos números son complementados, su producto es n, pero no todos son complementados.

Para que una red de este tipo sea complementada n debe ser el producto de factores primos distintos.

Ejemplificación:

30 = 2•3•5 Es complementada

/ de 12, siendo 12 = 2•2•3 No es complementada

LENGUAJES

Llamamos Vocabulario a cualquier conjunto finito. Siendo V un vocabulario cualquiera,

cada elemento de V es llamado Letra. Concatenar dos o más letras es escribir una junto a la otra. La concatenación de varias letras se llama Palabra (también denominada Cadena o String).

Cualquier secuencia continua de letras de una palabra que contenga a la primera letra es un Prefijo, si contiene a la última letra es un Sufijo.

La palabra vacía o sin letras se simboliza con la letra griega Lambda (l ).

R

La reflexión de una palabra W es la que tiene sus letras invertidas. La reflexión es involutiva.

Ejemplificación:

Lidia = Aidil Juan = Nauj Pedro = Ordep

V* es el conjunto de palabras que pueden formarse con las letras del alfabeto V. es un conjunto infinito siempre y cuando V ¹ Æ .

Llamamos Lenguaje sobre un vocabulario V a cualquier subconjunto de V*

Ejemplificación:

Sea N= { 0;1}

L1 = { w Î N* / long (w) £ 2} = { 0; 1; 00; 01; 10; 11}

L2 = { w Î N* / long (w) ³ 1} = { 0; 1; …}

L3 = { w Î N* / w termina en 1} = { 1; 01; 11; 001; 001; …}

L4 = { w Î N* / ç ç wç ç =2} = { 00; 01; 10; 11}

L5 = { w Î N* / ç ç wç ç = 4 y tiene un 1 solamente} = { 1000; 0100; 0010; 0001}

Concatenar dos lenguajes es obtener otro lenguaje donde cada palabra es concatenación de una palabra del primer lenguaje con otra del segundo lenguaje.

L1 ° L2 = { w/w = w1· w2 w1 Î L1 Ù w2 Î L2 }

Ejemplificación:

Sea:

L1 = { l , 0, 1, 100}

L2 = { 0, 1, 01}

L1 L2 = { 0, 1, 01, 00, 001, 10, 11, 101, 1000, 1001, 10001}

ï ï L1 L2ç ç £ ç ç L1ç ç ° ç ç L2ç ç

Para la concatenación de lenguajes usamos la notación exponencial

L³ = L¹ L¹ L¹

Lº = { l } = L

L¹ = L

Lª = Lª¯¹ L

¥

Clausura de Kleene U Lª

n=0

¥

Clausura Positiva U Lª

n=1

Producción:

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Gramática:

Componentes: (Vt; Vn; S; P)

Vt es un conjunto finito de símbolos no terminales.

Vt ¹ Æ , Vn ¹ Æ , Vt Ç Vn = Æ

S = Símbolo no terminal, inicial o cabecera del lenguaje.

P = Conjunto de producciones X® Y con X ¹ l

Sea: Vt = { a,b}

Vn = { S,A,B}

S ® a / A / B

A ® l / Ab

B ® b / bbB

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Clasificación de Chomsky

Las gramáticas de Tipo 0 o Irrestrictas permiten cualquier tipo de producción.

Las gramáticas del Tipo 1 o Sensibles al Contexto son tales que en cada producción del tipo

X ® Y la longitud de Y es mayor que la longitud de X.

Las gramáticas de Tipo 2 o Independientes del Contexto son las que admiten en las producciones X como un único símbolo no terminal. En las de Tipo 3 o Regulares X solo puede ser un símbolo no terminal, e y puede ser la palabra vacía, un único símbolo, o bien dos: uno terminal y otro no terminal.

Dos gramáticas son equivalentes cuando generan el mismo lenguaje.

AUTÓMATAS FINITOS

Componentes: (AE; E; e0; f; F)

AE: Es el lenguaje de entrada, constituido, en el caso de lenguajes, por los elementos del vocabulario.

E: Conjunto de estados necesarios para hacer el reconocimiento.

e0: Estados iniciales.

f: Función que hace corresponder a cada estado con la letra de entrada el estado siguiente.

F: Conjunto de estados finales que se marcan con doble círculo.

Ejemplo de autómata:

 Autor:

Banfield Crítico

Editado en febrero/marzo de 2005 por Banfield Crítico.

Todos los textos presentes en esta edición fueron extraídos durante la cursada de la materia homónima en la Universidad Tecnológica Nacional durante los meses de agosto de 2004 y febrero de 2005.

El autor de esta obra no se responsabiliza por el contenido de la misma, ni garantiza su funcionalidad en el estudio.

Queda autorizada la duplicación por cualquier medio óptico o digital en tanto no se utilice para fines de lucro.

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