- Ventanas
- Enventandado de señales
- Enventanado rectangular
- Enventanado de Hanning
- Enventanado de Hamming
- Enventanado Blackman
En la actualidad existen sistemas que obtienen el espectro de una señal a través de algoritmos que son implementados en equipos de procesamiento de señales. Un equipo capaz de realizar esta función con algunas limitaciones (tales como la capacidad de procesamiento, el número de muestras disponibles por segundo, etc.) es un ordenador. Pero hasta que punto, el espectro obtenido a través de un sistema digital como el implementado en ordenador, es real? En el presente documento intentaré esclarecer esta duda (de forma teórica y con ayuda de algunas simulaciones), enfocando el efecto que tiene utilizar diferentes tipos de ventanas para realizar el muestreo.
Es importante analizar el efecto de cada una de las ventanas, ya que si deseamos obtener el espectro de una señal mediante la ayuda de una herramienta de procesamiento digital, es necesario hacerlo de manera discreta. De la elección de cada una de las ventanas variarán los resultados. Primero vamos a definir las funciones de cada una de ellas. Los tipos de ventanas mas conocidas son:
- Rectangular
- Hamming
- Hanning
- Blackman
Ventana Rectangular.
Una ventana rectangular es aquella que posee un valor de 1 en todo el intervalo de la ventana, y de 0 para cualquier otro valor.
En la figura 1(a) podemos observar que la ventana rectangular continua, la misma que posee una amplitud constante, por lo que al utilizar una ventana de este tipo la señal no se verá afectada. En la figura 1(b) encontramos el equivalente de esta señal para señales muestreadas, es decir la ventana rectangular discreta.
Ventana de Hanning
La ventana de hanning se define a través de la función:
Para valores fuera del rango 1 a n tenemos una amplitud de 0.
En la figura 1(c) podemos observar la Ventana de Hanning continua, la misma que posee características especiales con respecto a la ventana rectangular, ya que atenúa la señal en los bordes de la misma. Este efecto se tratará mas adelante en este documento. En la figura 1(d) encontramos la ventana de hanning discreta, la que ha sido muestreada a con una factor de 32 muestras.
Ventana de Hamming
La función para definir esta ventana es:
De manera similar, si se tiene otros valores fuera del rango 0a n-1, estos poseen valor de cero.
En la figura 1(e) observamos la grafica de la ventana de Hamming continua. Podemos observar que es muy similar a la de Hanning, pero su respuesta en frecuencia variará, este tema se analizará con mayor detalle en las siguientes secciones del documento. En la figura 1(f) podemos observar la ventana de Hamming discreta, la misma que se ha obtenido a partir de 32 muestras.
Ventana de Blackman.
La ventana de Blackman se define mediante:
En al figura 1 (g) podemos observar la ventana de blackman continua, mientras que en la figura 1(h) podemos observar la ventana de blackman discreta
Figura 1. Diferentes tipos de ventana, generalmente utilizadas
para realizar el muestreo de una señal continua
La importancia de cada una de las ventanas, radica en que las características de inicio y de finalización de las ventanas, permite disminuir los efectos de las discontinuidades al momento de realizar el enventanado de una señal continua, infinita, no periódica. Para realizar este análisis, vamos a tomar una señal compuesta de 2 senoides así:
A1*(cos(w1) +A2*cos(w2);
Idealmente al tener una señal continua como la anterior, el espectro resultante estaría dado por 2 pulsos, ubicados en w1 y w2, con amplitudes A1 y A2. Desafortunadamente al realizar la fft con la ayuda de un sistema digital, se puede obtener resultados erróneos, como resultado del muestreo, del tipo de ventana utilizada, etc.
Para realizar las pruebas correspondientes, establezcamos los parámetros:
A1= 1 amplitud del primer pulso
A2=2 amplitud del segundo pulso
w1=pi/10 frecuencia 1
w2=9pi/10 frecuencia 2
La forma de onda de la señal definida anteriormente es:
Figura 2. Forma de onda de la señal de prueba.
Los efectos del tipo de ventana a utilizar, se hace presentes en este punto. Si lo hacemos con una ventana rectangular tenemos una señal que en el dominio del tiempo sin cambios, esto se debe a la característica de la ventana, ya definida con anterioridad.
En la figura 3(a) podemos observar la forma de onda de la señal sin enventanar, y en 3(b) el espectro correspondiente a dicha figura. Es importante hace notar que al utilizar una ventana rectangular como la de la figura 3(c), la señal no se ve afectada de mayor manera, por lo que al obtener la señal enventanada en la figura 3(e), podemos ver que es idéntica tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia.
Hay que hacer hincapié, en que las gráficas de la figura 3(a) y 3(b), no corresponden a una señal continua en el tiempo, ya que han sido muestreadas (referirse al Anexo A), y por lo tanto inducen una determinada distorsión. No debe pensarse en ningún caso que cualquier espectro obtenido en la figura 3 es el espectro real de la señal, debido a que estamos aproximando el espectro de Fourier, al utilizar una porción de la señal, y enventanarla, además que estamos utilizando muestras de dicha señal, y no su función para obtener el espectro.
Figura 3. (a) forma de onda de la señal original (b) espectro de la señal de prueba (c) forma de onda de la ventana rectangular (d) espectro de la ventana (e) señal enventanada (f) espectro de la señal enventanada *los espectros tienen escala logarítmica.
Al realizar un análisis similar, pero esta ves cambiando el tipo de ventana rectangular por otro tipo de ventana como la de hanning, podemos ver que el espectro de la señal enventanada se asemeja, aunque no de gran manera al ideal que es tener 2 pulsos ubicados en w1 y w2.
En la figura 4 podemos observar que ahora el efecto de la ventana es evidente sobre la señal en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. En el dominio del tiempo podemos observar que la ventana hace disminuir la amplitud de la señal hacia los bordes de la ventana, lo que ayuda a eliminar las discontinuidades. En el dominio de la frecuencia podemos observar que tenemos una copia del espectro de la ventana tanto en w1 como en w2. De ahí que el espectro de la ventana tendrá gran influencia, ya que serán quien defina la forma de representar los pulsos en las frecuencias que se requieran.
La figura 4 (a) y 4(b) muestran la señal en el dominio del tiempo, mientras que la figura 4(b) y 4(c) la forma de onda de la ventana y su espectro, en la figura 4(e) y 4(f) tenemos la señal enventanada, se nota claramente como la ventana afecta a la señal original en el tiempo y en la frecuencia.
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Figura 4. (a) forma de onda de la señal original (b) espectro de la señal de prueba (c) forma de onda de la ventana de hanning (d) espectro de la ventana (e) señal enventanada (f) espectro de la señal enventanada *los espectros tienen escala logarítmica.
Los resultados al utilizar una ventan tipo Hamming podemos apreciarlos en la figura 5. El ancho de banda de el pulso en w1 y w2 a aumentado como resultado del uso de este tipo de ventana, pero en comparación con el resultado obtenido con la ventana rectangular, vemos que la distorsión producida por las discontinuidades a sido atenuada, hasta con valores de -150dB.
Al fijarnos detenidamente en la figura 5 (c) podemos observar que hay una pequeña discontinuidad alrededor del punto 250, discontinuidades como esta son las que producen que aparezcan distorsiones en el espectro, que hasta ahora solo es una aproximación.
En la figura 5(a) y 5(b) podemos observar la señal sin ventanear, y su espectro (aproximación), en la figura 5(c) y 5(d) observamos la señal y su espectro después de haber sido ventaneada. El espectro posee menos distorsiones y la relación de las amplitudes de los pulsos se mantiene. Aun hay zonas en las que la distorsión es considerable y solo se atenúa a -20 dB.
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Figura 5. (a) forma de onda de la señal original (b) espectro de la señal de prueba (c) forma de onda de la ventana de hamming (d) espectro de la ventana (e) señal enventanada (f) espectro de la señal enventanada *los espectros tienen escala logarítmica.
Finalmente el último tipo de ventana a utilizar es la ventana de Blackman, quizá por lo pronto los beneficios de utilizar este tipo de ventana no sean evidentes, pero es una ventana que se debe tener especial atención. A continuación se analiza los efectos de usar esta ventana.
En el análisis en el dominio del tiempo, no encontramos mayores diferencias con respecto a los tipos de enventanado anteriores, ahora veamos el efecto que tiene el uso de este tipo de ventana en el dominio de la frecuencia. La figura 6(c) y 6(d) contiene la ventana de blackman, y su espectro. Es notorio que la pequeña discontinuidad ha desaparecido, lo que le da una ventaja a esta ventana al momento de obtener el espectro discreto de Fourier.
La aparición de frecuencias parasitas, en este caso es menor, pero en contraste, tenemos un ancho de banda mayor en cada pulso de frecuencia. De igual forma las amplitudes de las señales mantienen su proporción. Ver figura 6(f).
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Figura 6. (a) forma de onda de la señal original (b) espectro de la señal de prueba (c) forma de onda de la ventana de blackman (d) espectro de la ventana (e) señal enventanada (f) espectro de la señal enventanada *los espectros tienen escala logarítmica.
El efecto de usar escala logarítmica es que nos permite apreciar de mejor manera las distorsiones del espectro. Si utilizásemos una escala lineal, los efectos de la distorsión no serían tan notorios como se muestra en las figura 3, 4, 5 y 6.
A continuación una gráfica comparativa entre ambos tipos de escalas:
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Figura7. espectro al utilizar una (a-b)ventana rectangular (c-d) ventana de hanning
(e-f) ventana de hamming (g-h) ventana de blackman
Este cuadro comparativo muestra de mejor manera la eficiencia de cada una de las ventanas. En primera instancia vemos que todas las gráficas presentan errores en cuanto a la relación de las amplitudes, ya que como recordamos, las amplitudes tanto para el primer pulso como para el segundo eran de 1 unidad. Aunque el error no es muy notorio, es un parámetro que se debe tener en cuenta. También podemos observar que las amplitudes alcanzan una magnitud similar.
En cuanto a otros parámetros como el ancho de banda del lóbulo principal, será mejor apreciar en las gráficas que tienen escala logarítmica, de ahí determinamos que las ventanas de hamming y rectangular tienen un lóbulo principal muy definido, pero la atenuación de las frecuencias parásitas no es tan eficiente como con otras ventanas, en las ventanas de hamming apenas sobrepasa los -100dB, mientras que con otras como la de blackman y hanning, lo hace sobre los -200dB. Por lo que obtenemos una importante conclusión es:
- Las ventanas de hamming y rectangular, a pesar de poseer un lóbulo principal muy definido, producen frecuencias parásitas (lóbulos secundarios), no tan atenuadas como otras ventanas similares (hanning y blackman).
Al comparar, las otras dos ventanas restantes; Hanning y Blackman, vamos a encontrar que existen resultados similares en cuanto a atenuación de frecuencias parásitas, amplitud y ancho de banda del lóbulo principal, por lo que para la elección de cada una de ellas se deberá tener en cuenta la aplicación correspondiente.
Por:
Diego Alvarado
Universidad Técnica Particular de Loja