Más que una notación científica

Introducción

Las unidades que todos conocemos y que nos resultan familiares: metros (m), kilogramos (kg), segundos (s), litros (l) son unidades del sistema métrico decimal creado poco después de la revolución francesa con el propósito de terminar con el gran problema que ocasionaba la existencia de numerosas unidades de distinto origen en aquel momento y que provocaban dificultades en las mediciones y en las transacciones comerciales. Un único sistema, usado por todos, es una aspiración aún no concretada, que permitiría que la gente se entendiera más fácilmente. Vamos en ese camino.

Sea como fuere, el sistema es un sistema creado a escala humana y nos permite expresar mediante números relativamente sencillos, cantidades de diversas magnitudes de nuestro mundo cotidiano: compramos 2 kg de azúcar, cargamos 15 l de nafta, recorremos 400 Km. a una velocidad media de 80 Km. / h. Todos números que comprendemos fácilmente; están, como decíamos, a nuestra escala. (Recordemos que las primeras unidades concebidas por los distintos pueblos estuvieron relacionadas precisamente con partes del cuerpo humano: manos, pies, codos, pulgadas.) Pero, con los continuos adelantos tecnológicos, el hombre ha conseguido "ver" cada vez más lejos y escudriñar espacios cada vez más pequeños. Instrumentos y técnicas cada vez más sofisticados son capaces de medir distancias tan enormes como inconcebibles y partículas tan pequeñas que no parecen reales. En estos "mundos" de lo muy, muy grande o de lo muy, muy pequeño ya no estamos a escala humana, nos vamos fuera de escala. Y los investigadores deben expresar los resultados de esas mediciones mediante números increíbles que desafían nuestra comprensión e imaginación. Vayan algunos ejemplos:

La escritura de estos números en la notación decimal habitual es muy incómoda por el considerable espacio que ocupa y lo dificultoso de su lectura. Por fortuna, la matemática nos brinda un modo de expresar esos números en forma compacta y abreviada, llamamos a este recurso: notación científica y la desarrollaremos en esta unidad. También haremos una revisión de los números racionales, sus distintas formas de expresión y el modo en que operamos con ellos. Asimismo, presentaremos varios números irracionales famosos y otros que no lo son tanto. Encontraremos algunas secuencias para conseguir escribir números irracionales y estableceremos la forma de diferenciar entre números racionales e irracionales a través de sus expresiones decimales. Deberás recordar lo estudiado en el curso anterior sobre números racionales y lo aplicarás en la resolución de ejercicios combinados y ecuaciones.

El hombre se esfuerza continuamente en buscar herramientas que lo ayuden en la resolución de los problemas que se le van presentando, sirviéndole para su mejoramiento, dándole agilidad y mejor precisión en sus tareas.

Como lo hicimos notar en la introducción, en algunos temas se trabaja con números muy grandes o muy pequeños. En dicha introducción, ya hemos visto varios ejemplos.

Para poder expresar esos números de forma más compacta y comprensible, como también dijimos, contamos con un importante recurso: la notación científica.

Trabajemos primero con la unidad seguida de ceros

Así mismo:

Tomemos como ejemplo ahora el primero de los números de la tabla de la introducción, el radio terrestre: 6370000m Podemos escribir este número como producto de otros dos, como sigue:

6370000 = 637 x 10000 (Donde hemos prescindido de la unidad) Pero 637 = 6,37 x 100 = 6,37 x 102 y 10000 = 104 Luego reemplazando estas dos últimas igualdades en la anterior queda:

6370000 = 6,37 x 102 x 104 = 6,37 x 106 Esta forma abreviada de escribir el número, se llama Notación Científica. Observá que el número original ha quedado expresado como el producto de dos factores, el primero de ellos es un número mayor que 1 y menor que 10 y el otro es una potencia de 10 cuyo exponente es igual al número de lugares que se ha desplazado hacia la izquierda la coma decimal del número original 6370000 al primer factor de la expresión del número en notación científica 6,37.

Tené en cuenta que en el número original 6370000 la coma decimal (que no aparece escrita) se encuentra a la derecha de la cifra de las unidades del número (a la derecha del último cero) (6370000 = 6370000,000…).

La luz viaja en el espacio a una velocidad extraordinaria: recorre aproximadamente 300000km en cada segundo. Decimos que la velocidad de la luz es 300000 km/seg.

Existe una forma abreviada de escribir esta cantidad: descomponemos 300.000 como el producto entre dos números: uno de ellos, el 3, está comprendido entre 1 y 10 y el otro 100.000, es la unidad seguida de cinco ceros que escribimos sintéticamente: 105

300.000 km/seg = 3.1 0 0 0 0 0

5 ceros = 3.105

Para escribir un número en la Notación Científica lo expresamos como un número mayor o igual que 1 y menor que 10, multiplicado por una potencia de base 10. Pongamos como tercer ejemplo otro de estos números extraordinarios: el año-luz (que es la distancia recorrida por la luz en un año viajando a una velocidad de 300000km/s), su valor es aproximadamente:

9500000000000km En notación científica será (prescindiendo de la unidad):

9500000000000 = 9,5 x 100000000000 = 9,5 x 1011

Consideremos ahora números menores que la unidad:

Observá nuevamente ahora que los números menores que 1 considerados han quedado expresados como el producto de dos factores, el primero de ellos es un número mayor que 1 y menor que 10 y el otro es una potencia de 10 cuyo exponente negativo es igual al número de lugares que se ha desplazado hacia la derecha la coma decimal de los números originales a los primeros factores de las expresiones de los números en notación científica.

Teniendo en cuenta lo visto hasta aquí, podemos extraer las siguientes conclusiones:

Cualquier número mayor que 1, puede expresarse en notación científica como el producto de dos factores, el primero de ellos es un número mayor o igual que 1 y menor que 10 y el otro es una potencia de 10 cuyo exponente es igual al número de lugares que se ha desplazado hacia la izquierda la coma decimal del número original con respecto a la ubicación de la coma en el primer factor de la expresión del número en notación científica.

Cualquier número menor que 1, puede expresarse en notación científica como el producto de dos factores, el primero de ellos es un número mayor o igual que 1 y menor que 10 y el otro es una potencia de 10 cuyo exponente negativo es igual al número de lugares que se ha desplazado hacia la derecha la coma decimal del número original con respecto a la ubicación de la coma en el primer factor de la expresión del número en notación científica.

Otros ejemplos:

1.200.000.000 = 1,2.109 ( 234,0075 = 2,340075.102 Observación: el número 234,0075 se puede expresar correctamente de otras maneras, por ejemplo:

23,40075.10 o 0,2340075. 103 o 234007,5.10-3, sin embargo, ninguna de estas notaciones corresponde a lo que llamamos notación científica: el número que precede a la potencia de diez debe tener solo una cifra significativa (distinta de cero) como parte entera.

En el ejemplo, 2,340075.102 es el número 234,0075 dado en notación científica, y 2 es la única cifra significativa en la parte entera del número que precede a la potencia de diez.

Por ejemplo, cuando expresamos el número 234,0075 como 23,40075.10 tenemos dos cifras significativas en la parte entera del número que precede a la potencia de diez, y si lo expresamos como 0,2340075. 103 no tenemos ninguna cifra significativa en la parte entera del número que precede a la potencia de diez.

Sintetizando:

Decimos que un número está dado en notación científica cuando aparece escrito de la siguiente forma:

Siendo a un número cualquiera, tal que 1 ( a <10 y n es un número entero.

Más ejemplos:

1) 3000 = 3. 1000 = 3. 103 2) 150000 = 1,5 .100000 = 1,5. 105 3) 375000000 = 3.75. 100000000 = 3,75. 108 4) 0,00034 = 34/100000 = 34/105 = 34. 10-5. 10/ 10 = (34/10). (10-5 .10) = 3,4. 10-4 5) 0,00000000017 = 1,7. 10-10 Como puede verse en los ejemplos, para pasar de la notación decimal a la científica podemos seguir las siguientes sugerencias:

• a) Si el número es mayor que cero: escribimos el número a (tal que 1 ( a <10) y lo multiplicamos por 10 elevado a un exponente positivo igual al número de lugares que debimos desplazar la coma decimal hacia la izquierda.

• b) Si el número es menor que cero, escribimos el número a (tal que 1 ( a <10) y lo multiplicamos por 10 elevado a un exponente negativo igual al número de lugares que debimos desplazar la coma decimal hacia la derecha.

Observación: aunque no escribamos la coma decimal en los números enteros, el lugar que le correspondería sería inmediatamente a la derecha de la cifra de las unidades. Por ejemplo, el número entero 4752 si se escribiera con la coma decimal (cosa que no se hace) quedaría 4752,. A pesar de no escribirla, es conceptualmente útil imaginar la ubicación de la coma decimal en un número entero, por ejemplo y como veremos a continuación, cuando pasamos de la notación científica a la notación decimal.

Si se nos da un número en notación científica y queremos escribirlo en notación decimal procedemos del siguiente modo:

• Si el número es mayor que 1, desplazamos la coma decimal tantos lugares hacia la derecha como lo indique el exponente de 10.

Por ejemplo: 3,72. 107 = 37200000 Observemos que la coma decimal se desplazó siete lugares hacia la derecha desde su ubicación original (a la derecha del 3) hasta su posición final a la derecha de la cifra de las unidades del número expresado en notación decimal. (Aunque no aparece escrita, debemos imaginarla allí, a la derecha del último cero).

• Si el número es menor que 1, desplazamos la coma decimal tantos lugares hacia la izquierda como lo indica el exponente negativo de 10 (expresado el número en notación decimal, la cantidad de ceros a la izquierda de la primera cifra significativa, contando el cero de la parte entera, debe coincidir con el exponente negativo de 10 de la expresión del número en notación científica).

Por ejemplo: 4,17. 10 = 0,0000000417 Observemos que la coma decimal se desplazó ocho lugares hacia la izquierda desde su ubicación original (a la derecha del 4 en la expresión del número en notación científica) hasta su posición final a la derecha del cero entero en la expresión del número en notación decimal y se pueden contar ocho ceros (incluyendo al cero de la parte entera) a la izquierda de la primera cifra significativa del número (que es el 4) expresado en notación decimal.

Uso de la calculadora científica

Supongamos que tenemos que resolver esta multiplicación:

140.000 x 2.000.000 =

Colocamos como exponente de diez, un número negativo igual al número de ceros que precede a la primera cifra significativa (contando el cero entero). También podemos decir que el exponente negativo es igual al número de lugares que se desplaza la coma decimal desde su posición inicial (0,0000023) hasta su posición final (2,3)

1) Escribí utilizando notación científica.

80.000.000 = 0,003 = 0,000000000000153 = 2) Escribí utilizando notación científica los siguientes datos aproximados:

• a) Superficie del océano Pacífico: 160.000.000 km2

• b) Superficie del océano índico: 73.000.000 km2

3) Completá la tabla de la introducción.

MÁS QUE UNA NOTACIÓN CIENTÍFICA

Enviado por: Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

"NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"®

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Santiago de los Caballeros, República Dominicana, 2015.

"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"®

Autor:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.