Trabajo Práctico de Análisis Matemático III
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- Escriba con sus palabras de qué se trata el "principio de incertidumbre".
El principio de incertidumbre trata de explicar que no es posible saber la posición y la velocidad de una partícula en un determinado instante, esto se ve reflejado en la obra por la metáfora de Heisenberg según la cuál esquiaba y descendía de la montaña a gran velocidad y sólo podía tomar una decisión a la vez: ir hacia izquierda o derecha ante un obstáculo.
Esta teoría fue de crucial importancia para la física ya que dio fin a la era de la física determinística y dio origen a la física y mecánica cuántica.
El principio de Incertidumbre de Heisenberg:
El hecho de que cada partícula lleva asociada consigo una onda, impone restricciones en la capacidad para determinar al mismo tiempo su posición y su velocidad. Este principio fue enunciado por W. Heisenberg en 1927.
- Es natural pensar que si una partícula esta localizada, debemos poder asociar con alla un paquete de ondas más o menos bien localizado.
Un paquete de ondas se construye mediante la superposición de un número infinito de ondas armónicas de diferentes frecuencias.
En un instante de tiempo dado, la función de onda asociada con un paquete de ondas esta dado por
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donde k representa el número de onda
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y donde la integral representa la suma de ondas con frecuencias (o número de ondas) que varían desde cero a + infinito ponderadas mediante el factor g(k).
El momento de la partícula y el número de ondas están relacionados ya que
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de lo cual se deduce que
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- Queda claro que para localizar una partícula es necesario sumar todas las contribuciones de las ondas cuyo número de onda varia entre cero e
infinito y por lo tanto el momento
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también varía entre cero e infinito. Es decir que está completamente indeterminado.
- Para ilustrar lo anterior hemos indicado en la siguiente figura diferentes tipos de paquetes de onda y su transformada de Fourier que nos dice como están distribuidas las contribuciones de las ondas con número de ondas
k dentro del paquete.
- En el primer caso vemos que un paquete de ondas bien localizado en el espacio x, tiene contribuciones prácticamente iguales de todas las ondas con número de ondas k.
- En el segundo caso vemos que si relajamos un poco la posición del paquete de ondas, también es posible definir el número de ondas (o el momento) de la partícula.
- En el último caso vemos que al definir bien el momento
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- de la partícula, entonces su posición queda completamente indefinida.
- Es posible determinar el ancho, o la incertidumbre, del paquete de ondas tanto en el espacio normal
como en el espacio de momentos 
.
El principio de incertidumbre nos dice que hay un límite en la precisión con la cual podemos determinar al mismo tiempo la posición y el momento de una partícula.
- La expresión matemática que describe el principio de incertidumbre de Heisenberg es
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- Si queremos determinar con total precisión la posición:
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- De la desigualdad para el principio de incertidumbre verificamos entonces que
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Es decir, que la incertidumbre en el momento es infinita.
Es la llamada Ecuación de Difusión, con este cálculo se obtendría la cantidad necesaria de Uranio que se necesitaría para crear la bomba atómica y debido a un error de cálculo de Heisenberg no se llega a construir la bomba en Alemania.
Se basa en la fórmula de Einstein, E = m.c2, donde "E" es energía, "m" es la masa, multiplicada por el cuadrado de "c", que es la velocidad de la luz de 300.000 kilómetros por segundo; aquí se ve que para una masa muy pequeña la liberación de energía es enorme.
Esta "energía nuclear atómica" inmensa se produce de dos formas distintas, que parecerían contradictorias: Por "fisión" o división y por "fusión" o integración, tanto en los astros como en los átomos y laboratorios:
1- Por "fisión" o división, es como se produjo la Bomba Atómica A, de uranio, que estalló en Hiroshima en 1945: Se produce bombardeando el núcleo con electrones en el "ciclotrón", produciendo la división del núcleo, con la consiguiente desintegración del átomo, y la "reacción en cadena" que produce la desintegración de los átomos vecinos; casi instantáneamente pueden estallar trillones de átomos bombardeados por los neutrones liberados en las explosiones de sus respectivos vecinos.
Este método se usa también en centrales eléctricas gigantes, en submarinos, para generar calor, en medicina, la industria, agricultura, etc.
2- Por "fusión" o integración, es lo opuesto: Consiste en fundir dos elementos en uno. Así es como se hizo la Bomba H, de Hidrógeno, que tiene una potencia de 100 a 1000 veces más que la de Uranio. Se usaron dos isótopos de Hidrógeno, que son átomos con el mismo número de protones pero distinto número de neutrones en el núcleo y al transformase el uno en el otro producen una energía colosal, la resultante de la transformación del Hidrógeno en su isótopo Helio, y viceversa.
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- ¿Cuál es el nombre de la ecuación de la que el profesor Böhr le reprochó a su alumno no haber calculado para arribar a la posibilidad de fabricar la bomba nuclear?
- Escriba cuál es su interpretación de por qué no la habrá calculado.
En la obra se ve reflejada a travéz de la actitud de Heisenberg por un lado la presión ejercida por la nación Alemana para desarrollar lo antes posible la Bomba Atómica con una mezcla de competencia por la gran excelencia académica y científica que refleja la época. Por otro lado, se pone de manifiesto la incertidumbre del ser humano (más de unos pocos tan brillantes) por contribuir a la creación de una de las más devastadoras y terribles armas que la historia del hombre ha visto y la culpa él mismo y Böhr así como varios otros pueden adquirir; esta, creo yo, es una de las principales razones por la cual quizás hasta inconscientemente un matemático brillante y especialista en cálculo comete semejante error y esto es lo que su profesor de alguna manera le señala (además también aquí entra el centro de la trama ¿a qué fue Heisenberg esa noche a Copenhague?, a buscar un rechazo o una incentivación cómplice apoyado en un descubrimiento físicamente notable por parte de su profesor y amigo Böhr que le haga tomar la decisión final?, quizás….).
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Figura: Diagrama del reactor experimental de Haigerloch.
Bibliografía Utilizada:
- Conceptos de Física Moderna, A. Beiser – 2a. Edición. Mc. Graw Hill 1977
- Los Atomos, Biblioteca Salvat de Grandes Temas No. 6 – Salvat Editores, 1974
- El breviario del Sr. Tompkins, George Gamow, Breviarios del Fondo de Cultura Económica, No. 323
- Qué es la mecánica cuántica?, V.I. Rídnik, Editorial MIR 1977
Sitios de Internet:
http://www.teatrosanmartin.com.ar/html/fichacopen2.html
Javier Jiménez Bonino
Universidad de Palermo