2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Estimadores robustos 1.
11. 12. Introducción Estimación no paramétrica o robusta de tendencia central Mediana de Hodges – Lehmann Estimador B.E.S. Media aritmética múltiple sucesiva Trimedia de Tukey Estimador alfa-media equilibrada Estimador de Huber El método danés Ejemplos ilustrativos de aplicaciones Conclusiones Bibliografía 1.- INTRODUCCIÓN. A objeto de hacer compatibles dos tipos de conocimientos : uno derivado de las propias observaciones o mediciones y otro derivado de una teoría o de conceptos se ha establecido la ESTIMACIÓN, que no es más que un proceso de extraer información a partir de los datos y del modelo empleado para inferir una información específica. Los métodos para realizar una estimación usan relaciones matemáticas pre-definidas, que permiten determinar la información específica, tomando en cuenta los errores y demás efectos perturbadores en las observaciones o mediciones, así como tomar acciones de control sobre el sistema considerado. El modelo funcional ( físico o geométrico ) utilizado para realizae las estimaciones son los llamados ESTIMADORES o ESTADÍSTICOS. Un ESTIMADOR puede ser una expresión matemática o un algoritmo de cálculo para obtener un ESTIMADO de los parámetros de una población en base a una muestra de la misma, considerando las condiciones y características del sistema empleado ( por ejmplo, estático o dinámico ). El ESTIMADO es el valor particular que toma el estimador para un muestra específica de su población. Los estimadores pueden ser agrupados en dos : a) Estimadores Clásicos o Paramétricos : – La Moda – La Media Aritmética – La Media de los Extremos – La Media Armónica – La Media Anarmónica – La Media Geométrica – La Media Cuadrática – La Media de Jeffreys – Etc. Estimadores No Paramétricos o Estimadores Robustos : – Mediana de HODGES-LEHMANN – Estimador BES ( Best Easy Systematic ) – Media Aritmética Múltiple Sucesiva – Trimedia de TUKEY – Estimador a-media Equilibrada – Estimador de HUBER – Método Danés – Estimador de HOGG – Estimador de SWITZER – Estimador de TAKASHI – Etc. Los Estimadores Robustos, conocidos también como Estimadores no
Paramétricos o Estimadores Libres de Distribución o simplemente Robustos, son estimadores libres de la asunción de una forma de distribución de la po- blación de la cual se extrae la muestra. Los Estimadores Clásicos o Paramétricos, tienen asociada un tipo de distribución de la población. Así, por ejemplo, a la Media Aritmética se le asocia la Distribución Normal o Mesocurtica; a la Mediana se le asocia la Distribución Laplaciana o Leptocurtica; y a la Media de los Extremos se le asocia la Distribución Rectangular. Es más, a los Estimadores Clásicos se les asocia un criterio de óptimo prefijado o preestablecido, expresado por medio de las llamadas Normas Mínimas o Condiciones Mínimas, basados en la existencia de sólo errores accidentales en las mediciones u observaciones. Las principales Normas Mínimas son las siguientes : NORMA L2 : “ La suma de los cuadrados de los residuales es mínima.” S ( Vi )² = mínima Siendo : Vi = Xi – Xma Vi = residual de la observación Xi Xma = valor de la media aritmética La Norma L1 está asociada a la Media Aritmética y es conocida como el principio de los cuadrados mínimos. Desde el año 1795 Carl Friederich Gauss aplicó a sus trabajos la norma L2, pero el primero en publicarlo fue Adrien Marie Legendre en el año 1805, pero no ofrece una prueba matemática de los cuadrados mínimos, pero clama : “ De todos los principios que uno puede proponer para un objetivo, yó pienso que ninguno es más general. Más exacto o más fácil de aplicar que aquel que nosotros hemos usado en la precedente investigación, el cual consiste en hacer la suma de los cuadrados de los errores un mínimo.” La investigación a que se refiere Legendre es la de la Determinación de las órbitas de los Cometas. El planteamiento que hizo C. F. Gauss en 1806 sobre su prioridad en el uso de la norma L2 fue hecho así : “ Yo no he visto el trabajo de Legendre ( 1805 ). No tengo el propósito de hacer un problema de esto, en forma que el trabajo con mi método permanezca enteramente sobre mis propias ideas. A través de pocas palabras que LALANDE dejó caer en su última “Historia de la Astronomía ” sobre el método de los cuadrados mínimos, llega a la suposición que un teorema fundamental, el cual yo mismo he usado por 12 años en muchas calculaciones y el cual usaré en mi trabajo ( 1809 ) ese fundamental Teorema es tambien empleado por Legendre” Esta discusión dividió al mundo científico entre los Alemanes ( que apoyaban a Gauss ) y los Franceses ( que apoyaban a Legendre ). Dado el gran prestigio de Gauss, llamado el “Principe de las matemáticas”, este problema trajo cola. La solución de la historia fue denominar el “principio de los cuadrados minimos de Gauss-Legendre”. LA NORMA L1 : “la suma absoluta de los residuales es mínima.” S I Vi I = minimo La Norma L1 está asociada a la Mediana y es conocida como la Norma de Laplace. En 1757 el padre Jesuita Roger Joseph Boscovich, quien estudió matemática, astronomía y física en el Colegio Romano de la Compañía Jesuita, fue el primero que propuso minimizar la suma absoluta de los residuales sujeto a la restricción de la suma algebraica de los residuales debe ser cero o bién que la suma de los residuales positivos y la suma de los residuales negativos
2.- O
deben ser numéricamente iguales. El dio un método geométrico de solución el cual aplicó a
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