Definicion de funcion y terminos relacionados

? 2 A= ? ? : longitud del lado (variable no deseada) ? ? p=4? A= ?2 y p=4? A= ?2 y p 4 =? 2

? 4 ? ? 16 ? DEFINICION DE FUNCION Y TERMINOS RELACIONADOS, POR MAURO H. HENRIQUEZ

3. FUNCIONES

3.1DEFINICION DE FUNCION Y TERMINOS RELACIONADOS CON LA DEFINICION

DEFINICION: Una función f, es una correspondencia entre dos conjuntos X y Y, de tal manera que a cada elemento x?X, le corresponde un único elemento y?Y. X se lama “dominio de la función f” Y se llama “codominio de la función f” El conjunto de elementos y?Y que están en correspondencia con algún NOTACION: Cuando “recorridoy=f(x) rango) indicando función es el único elemento en Y que la función f asigna a x en X. Por lo tanto llamamos a f(x) “valor de f en x”. El valor de f en x (que es “y”) depende de la elección de x, por lo que se llama “variable dependiente” mientras que a la “x” la denominaremos “variable independiente”.

RESTRICCION: En general el dominio, y el codominio de una función f no necesitan ser conjunto de números reales. Sin embargo consideraremos únicamente funciones en las que ambos son subconjuntos de números reales; es decir, consideraremos únicamente “funciones reales de una variable real”

Para especificar una función, conociendo una descripción de ella, es suficiente establecer a) su dominio y b) su regla de correspondencia, es decir una regla para evaluarla.

NOTAS 1. La regla de correspondencia que define a una función, usualmente es una fórmula o una ecuación. 2. Llamamos “dominio natural de una función” al conjunto de todos los valores de la variable independiente para los que la fórmula (o ecuación) origine un número real. Decimos que la función f está definida en un conjunto S, cuando S está contenido en el dominio natural de f. 3. Si se da la regla de correspondencia y no se especifica el dominio, se sobreentiende que éste, es su dominio natural.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

1. Encuentre una fórmula que exprese el área de un cuadrado en función de su perímetro.

SOLUCION A: el área del cuadrado (variable dependiente) P: el perímetro del cuadrado (variable independiente) x?X, se llama escribimos (o estamosde la que “y”f” ? Eliminemos la variable no deseada del sistema de ecuaciones (por sustitución)

p2 16 ? A?p? ? , D= ?0,??? Así 42 16 ? A?4? =1 es el valor del área de un cuadrado que tiene un perímetro de 4 2 Entonces A: =x (40-2x) = 40x – 2 x En símbolos: Gráfica de ? y ? f (x)? ? f ??x,y??R2 /x?Df EJEMPLO ILUSTRATIVO

1. Sea f la función definida por Entonces (0,0) ? gráfico de f. ¿Porqué? (-1,1) ? gráfico de f. ¿Porqué? f (x) ? x2 en ??1,4?

(2,4) ? gráfico de f. ¿Porqué? (4,16) ? gráfico de f. ¿Porqué? VERIFICANDO SU COMPRENSION 2. Sea g la función definida por 1 x g(x) ? a) ¿Cuál es el domino natural de g? El mayor valor de x será cuando y=0; es decir si 40-2x = 0 o bien x=20 ? A?x? ? 40x?2×2, D= ?0,20? VERIFICANDO SU COMPRENSION

1. Con una hoja cuadrada de cartón, de 50 cms por lado, se hará una caja sin tapa, recortando un cuadrado en cada una de sus esquinas y luego doblando los bordes hacia arriba. Expresar:

a) El área de la base y b) El volumen de la caja, en función de la longitud “x” del lado del cuadrado recortado.

2. Un cable de 100 cms de longitud se corta en dos pedazos. Con un pedazo que tiene x cms de longitud se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es el doble de la altura. Expresar la suma de las áreas (del cuadrado y rectángular) en función de x.

3.2 GRAFICA DE UNA FUNCION DEFINICION: La gráfica de una función f, es el conjunto de puntos en el plano cartesiano, cuyas coordenadas satisfacen la fórmula (o ecuación) que defina f” unidades 2. Un hombre dispone de 40 pies de malla de alambre para cercar un jardín rectangular, utilizando como muro un lado de su casa. Encuentre una fórmula que exprese el área del jardín en función de x (la longitud de uno de sus lados).

SOLUCION A: el área del rectángulo (variable dependiente) x: longitud de un lado del rectángulo (variable independiente) casa A= xy (aquí “y” es una variable no deseada) x x 40=2x + y y Eliminamos la variable no deseada del sistema de ecuaciones por el método de sustitución así: A= xy y P=4? AQ-2x= y

g(x) ? b) Si g está definida en ?0,5?, determine puntos en la gráfica de g y puntos que no estén en la gráfica de g. Justifique su respuesta

PROCEDIMIENTO PARA GRAFICA SU FUNCION Para construir la gráfica de una función se sugieren tres pasos. PASO 1: Obtener las coordenadas de unos puntos que satisfagan la ecuación que define a la función. Presentar estos puntos en una tabla de valores PASO 2: Ubicar en el plano los puntos de la tabla de valores y PASO 3: Unir los puntos mediante una curva de trazo contínuo NOTA: Al construir la gráfica de una función definida en un intervalo ?a,b? o ?a,b?, conviene comenzar la tabla de valores con el punto con abscisa “a” y terminar con el punto con abscisa “b”. Cuando el intervalo es abierto, se eliminan los puntos terminales de la gráfica, dejando en su lugar un hueco.

EJEMPLO ILUSTRATIVO Construir la gráfica de a) ?1,4? 1 x b) ? en 1,4? SOLUCION a) x g(x) b) 1 1 4 1 4 1 1 4 1 4 VERIFICANDO SU COMPRENSION Construya la gráfica de f (x) ? x2 en a) ??1,2? b) ??1,2? c) ??,2? d) ??1,2? x x y x Donde el dominio natural a0 ? 1……a , son polinomial R. 3.3 FUNCIONES ESPECIALES Y SUS GRAFICAS

3.3.1. FUNCIONES POLINOMIALES

DEFINICION: Una función polinomial es cualquier función f, que tenga como regla de correspondencia una expresión de la forma f (x) ? anxn ?an?1xn?1 ?…….?a2x2 ?a1x?a0 Obviamente, los coeficientesde cualquier función números reales y los exponentes son enteros no negativos Si an ? 0, n es el grado de la función polinomial Particularmente, una función polinomial 1 2

3 1 1 2 1 3 4 y 4 1 y 1 2 3 4 1 1 2 1 3 1 4

y ? y1 ? De grado 0, f (x) ? a0 , se llama “función constante”. ? De grado 1, f (x) ? ax?b, se llama “función lineal”. ? De grado 2, ? De grado 3, f (x) ? ax2 ?bc?c, se llama “función cuadrática” f (x) ? ax3 ?bx2 ?cx ?d , se llama “función cúbica” CASO A: FUNCION LINEAL Y SU GRAFICA Graficar en el intervalo ??1,5? la función f a) Si f (x) ? 2x?1 o y= 2x-1 b) Si f (x) ? ?2x?1 o y= -2x-1 SOLUCION En ambos casos, la tabla de valores constará de dos puntos, porque como pronto veremos, la gráfica de una función líneal es una línea recta y toda recta está determinada por dos puntos de ella. a) b) 0 ? 2 y2 ? y1 x2 ? x1 c = 0, de modo m ? y la división entre cero no está permitida. NOTA 2. La pendiente de una recta horizontal es cero ya que y2 ? y1= c – c = 0, y y2 ? y1 x2 ? x1 m ? ? 0. EJEMPLOS ILUSTRATIVOS Advierta: cuando en la ecuación que define a una línea recta, la variable dependiente está despejada: – La recta sube si el coeficiente de la variable independiente es positivo; es decir, el valor “y” crece al crecer el valor de “x”. – La recta baja si el coeficiente de la variable independiente es negativo; es decir, el valor de “y” decrece al aumentar el valor de “x”.

NOTA: Si c es una constante, entonces y=c representa una recta horizontal y x=c representa una recta vertical DEFINICION: Si una línea recta no es vertical y P(x,y) con Q(x2, y2) son puntos distintos de la recta, entonces la “pendiente de la recta” es m ? 2 ? x2 ? x1 diferencia de abscisas NOTA 1. La pendiente de una recta vertical no está definida porque en tal caso x2 ? x1= c – x y -1 -3 5 9 x y -1 5 1 -11 -3 0 0 1 2 3 4 5 5 y 0 1 -1 -2 2 4 5 -10 -11

Encuentre la pendiente de la recta representada por la ecuación a) y = 2x – 4 b) y = -2x + 4

SOLUCION En cada caso necesitamos dos puntos (cualesquiera) que pertenezcan a la gráfica de la ecuación dada. Para a) x 0 2 y -1 0 Para b) x 0 2 y 4 0 Advierta: en cada caso, la pendiente de la recta es el coeficiente de la variable independiente, cuando la variable dependiente está despejada. Consecuentemente

m > 0, indica que la recta sube m< 0, indica que la recta baja m = 0, ni sube ni baja

VERIFICANDO SU COMPRENSION

Encuentre de dos maneras distintas, la pendiente de la recta representada por la ecuación. a) 3x – 2 = 4y b) 3 – 2y = x

Para obtener la ecuación que define a una recta se tienen las siguientes alternativas

PRIMERA FORMA: PUNTO PENDIENTE

Si (x1,y1) es un punto específico de una recta no vertical, (x,y) es cualquier otro punto situado sobre la recta y m es la pendiente, entonces la ecuación se puede escribir como: y – y1 = m (x – x1), que es la forma punto pendiente de la ecuación de la recta que pasa a través del punto (x1,y1) y cuya pendiente es m.

Particularmente, si en la forma punto pendiente (x1,y1) = (0,b), donde b se llama intersección “y” y es la ordenada del punto donde la recta cruza el eje y, se tiene y-b = m(x-0) = mx o bien y = mx + b.

y = mx + b es la fórmula “pendiente-intersección” de la ecuación de la recta.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

1. Determine la ecuación de la recta que pasa por (1,3) con pendiente 6.

SOLUCION Tomando (x1,y1) = (1,3) y m=6 en la forma punto pendiente se obtiene y – 3 = 6 (x-1) y – 3 = 6x – 6 y = 6x – 3

2. Calcule la pendiente y la intersección “y” de 2x+3y+6 = 0 SOLUCION Despejando y: 2 3 y= ? x?2 2 3 Por tanto m = ? es la pendiente y b = -2 es la intersección “y” VERIFICANDO SU COMPRENSIÓN 1. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-1,-3) con pendiente -1. ? 2 ?1?0 0?2 m ? ? ?2 4?0 0?2 m ?

y ? y1 y2 ? y1 x2 ? x1 (x?6) ?1?(?4) (x?6) 3(x?6) (x?1) ?4?(?1) ?3(x ?1) a) m1 ? , m2 ? 5?11 ?6 5?4 1 ?2?0 2. Calcule la pendiente y la intersección “y” de y-2x+1=0

SEGUNDA FORMA: DOS PUNTOS Si (x1,y1) y (x2,y2) son puntos específicos de una recta no vertical y (x,y) es cualquier otro

punto situado sobre la recta, entonces y son expresiones de la pendiente, x ? x1 por lo tanto

= x ? x1 =m o bien y – y1 = y2 ? y1 x2 ? x1 (x-x1) Esta última igualdad recibe el nombre de Forma de dos puntos de la ecuación de la recta que pasa a través de los puntos (x1,y1) y (x2,y2).

NOTA: En la forma dos puntos de la ecuación de la recta, a cualquiera de los dos puntos se puede elegir como (x1,y1).

EJEMPLO ILUSTRATIVO

Halle la ecuación de la recta que pasa a través de los puntos (6,-4) y (1,-1).

SOLUCION Tomando (x1,y1) = (6,-4) y-(-4) = 1?6 y+4 = 1?6 -5(y+4) = 3(x-6) Tomando (x1,y1) = (1,-1) y-(-1) = 6?1 y+1 = 5 5(y+1) = -3(x-1) -5y – 20 = 3x – 18 5y + 5 = -3x + 3 0 = 3x + 5y + 2 3x + 5y + 2 = 0 VERIFICANDO SU COMPRENSION Halle la ecuación de la recta que para a través de los puntos (-6,4) y (-1,1). RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES: Dos rectas paralelas o perpendiculares entre sí, pueden caracterizarse por medio de sus pendientes RECTAS PARALELAS: Dos rectas no verticales y=m1x+b1 y y= m2x + b2 son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente (m1 = m2) RECTAS PERPENDICULARES: Las dos rectas y=m1x+b1 y y= m2x + b2 son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1 (m1m2= -1) (aquí se supondrá, por supuesto, que m1 ? 0 y= m2 ? 0), por lo tanto, ninguna de las dos rectas es horizontal o vertical. EJEMPLO ILUSTRATIVO Los siguientes pares de recta ¿son paralelas, perpendiculares o ninguno de los casos? a) Pasa a través de (2,5) y (4,9) y a través de (3,-1) y (6,5) b) Pasa a través de (4,0) y (2,-1) y a través de (2,5) y (5,1) c) Pasa a través de (12,5) y (10,4) y a través de (-1,0) y (0,-2) 4 2 ? SOLUCION 9?5 4?2 6 3 ? 2 ? 5?(?1) 6?3 ? 2 , m2 ? 1 2 ? m1 = m2 0?(?1) 4?2 b) m1 ? ? 2 ? son paralelas ? 2?5 ?3 c) m1 ? ? ?2 ? ninguna de las dos ? , m2 ? 12?10 2 0?(?1)

m1m2 =-1 ? son perpendiculares VERIFICANDO SU COMPRENSION Los siguientes pares de rectas, ¿son paralelas, perpendiculares o ninguno de los casos? a) 6x + 3y = 4 b) 8x – 2y = 5 2x + y = -5 x + 4y = 15 CASO B: FUNCION CUADRATICA Y SU GRAFICA 2 c son números reales, a?0, se llama función cuadrática. 2 cuadrática (escrita en forma estándar). 2 2 está en forma estándar. 2 en x y un término independiente de x. Así, las ecuaciones. 2 2 2 Son ecuaciones cuadráticas completas (solo b) está en forma estándar). ? Se dice que una ecuación cuadrática es incompleta si es de la forma: 2 2 A la abscisa a del punto (a,0), donde la gráfica de f cruza al eje x (la intersección x) se llama ? Cero de la función cuadrática, o bien ? Raíz de la ecuación cuadrática DEFINICIÓN: Las raíces de una ecuación cuadrática son los valores de la incógnita (x en nuestro caso) que satisface la ecuación)

NOTA 1: Resolver una ecuación cuadrática es hallar las raíces de la ecuación. Si estamos interesados solo en los valores reales, pueden ocurrir tres casos: que la cuadrática tenga dos raíces reales, una sola raíz real o que carezca de solución real. EJEMPLOS ILUSTRATIVOS La ecuación y = (x-1)(x+2) tiene dos raíces reales: x=1 y x=-2. En efecto 0 = (x-1)(x+2). Si x = 1, se cumple 0 = 0 (x+2) = 0 Si x = 1, se cumple 0 = 0 (x+2) = 0 2 2 2 2 2 2 cualquier potencia para de un número real es un número negativo. NOTA 2: Hallar los ceros de una función cuadrática es hallar las raíces de la ecuación (cuadrática) que la define. Así: ? Los ceros de f(x) = (x-1)(x+2) son las raíces de la ecuación y=(x-1)(x+2)(1y-2). 2 2

2 2 METODOS PARA RESOLVER ECUACIONES CUADRATICAS Existen métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas y varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas; sin embargo, utilizaremos únicamente el método de la fórmula general que igual sirve para los distintos tipos de ecuaciones cuadráticas.

FORMULA GENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES CUADRATICAS 2 ?b? b2 ?4ac 2a x ? Fórmula general. EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

? La gráfica de y = (x + c) , es la gráfica de y = x ? La gráfica de y = (x – c) , es la gráfica de y = x 6 (0,4) y=x2+4 2 Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas: 2 2 2 2 2 SOLUCION En cada caso, para identificar a,b y c de la fórmula general, la ecuación debe estar en forma estándar. Así : 2 2 2 2 2 2 discriminante de la ecuación cuadrática. Al determinar el valor del discriminante se obtiene información acerca de la naturaleza de las raíces, sin tener que resolver realmente la ecuación. 2 2 2 2 EJEMPLOS ILUSTRATIVOS Determine la naturaleza de las raíces de la ecuación dada: 2 2 2 VERIFICANDO SU COMPRENSION Determine la naturaleza de las raíces de las ecuaciones 2 2 GRAFICA DE UNA FUNCION (ECUACION) CUADRATICA PRIMERA FORMA: Usando deslazamientos y reflexiones de la gráfica de la ecuación y = x 2 2

2 2

2 desplazada c unidades hacia la

desplazada c unidades hacia la izquierda.

derecha. EJEMPLOS ILUSTRATIVOS Para un número real c mayor que cero: (0,0) 2 2 2 2 y=x2 y y 2 -2 0 4 (0,4) y=x2+4 x 5 y 0 -1 -2 -3 1 2 3 y

5

6 La gráfica de y = -x , es 2 la gráfica de 4y = x reflejada La gráfica de y = 4 – (x+2) , se obtiene de la gráfica de y = x -4 a) y = (x-1) – 1 b) y = 1-(x+2) (r1,0), ? ? ?r ?r2 ?? y (r ,0) y luego se unen con una curva de trazo continua , f? 1 ?? ? 2 ?? 2 2 2 2 desplaza 4 unidades hacia arriba (cruza el eje de x en -2 y 2). 2 2 desplazándola 2 unidades hacia la izquierda; esta a su vez se refleja y la reflexión se desplaza 4 unidades hacia arriba (Corta al eje x en -4 y 0). 2 2 c) y = -1- (x-2) 2 SEGUNDA FORMA: Usando las raíces de la ecuación ? Si la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales, r1 y r2, se ubican en el plano los puntos ?r 1 ?r2 ? 2 2 EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 2 SOLUCION y=(x+4)2 0 x y=(x+4)2 -2 -4 -6 x y 5

0 y=-x2 y 0 0 y=4-x2

Advierta: Cuando en una función cuadrática la variable dependiente está despejada. 2 2

VERIFICANDO SU COMPRENSION 2 siguientes ecuaciones: x y

0 20 0 ? ? ? ? ? ? ? ? x y=4(x+2)2 0 y 0

f(x) = 2x + 3x – 2 = 0, cuando x = 1 ? ? r 1 ? r2 y f ? 3 ? ? ? ? 8 4 ?? ,? ? y ? ,0? f(x) = -2x -3x+2 = 0, cuando x= 1 ? ? r 1 ? r2 y f ? 3 ? ? ? 8 4 ?? ,? ? y ? ,0? y=x2+2x+1 2 2 o 2 x = -2 (verificarlo), si r ? 1 y r=-2, entonces 2 4 3 25 ? 3 ? 4 8 ? ?2 ? 25? ?1 ? 2 SOLUCION 2 2 o x=-2 (verificarlo), si 2 r ? 1 y r=-2, entonces 2 4 3 25 Los puntos a ubicar en el plano son (-2,0), ? 3 ? 4 8 ? ?2 ? 25? ?1 ? Los puntos a ubicar en el plano son (-2,0),

y y=2×2+3x+2 x 0 0 x 0 0 Si la ecuación cuadrática tiene una raíz real única, r entonces se ubica en el plano el punto (r,0) y la intersección y, (0,y) y luego se unen los puntos con una curva de trazo continuo. 2 2

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 2 SOLUCION 2 La intersección y es 1. Los puntos a ubicar en el plano son (-1,0), (0,1)

y 50 -10 x 0 0 -2 3 4 ? 8 y 5 25

3.3.2 FUNCION RAIZ CUADRADA Y SU GRAFICA DEFINICION DE FUNCION RAIZ CUADRADA: Una función “raíz cuadrada” f, se denota por el símbolo y se especifica así: f (x) ? x es el número no negativo cuyo cuadrado es x. Tiene como dominio natural, el conjunto de todos los números reales no negativos. Así f (4) ? 4 ? 2 porque 22 ? 4 (se dice la raíz cuadrada de 4 es 2) f (3) ? 9 ?3 porque 32 ? 9 (se dice la raíz cuadrada de 9 es 3) Advierta f (?4) ? ?4 no está definida? GRAFICA DE UNA FUNCION RAIZ CUADRADA (SUS DESPLAZAMIENTOS Y REFLEXIONES)

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 1. Gráficar y ? x x??0,16? SOLUCION y ? x?1 , se obtiene desplazando la gráfica de y ? x , una unidad

y ? x?1, se obtiene desplazando la gráfica de y ? x , una unidad 2. La gráfica de hacia la derecha. 3. La gráfica de hacia la izquierda. 4. La gráfica de y ? ? x , se obtiene reflejando la gráfica de y ? x . 5. La gráfica de y ? 4? x , se obtiene reflejando la gráfica de y ? x , y luego desplazando esta reflexión 4 unidades hacia arriba.

Así. x 0 1 4 9 y 0 1 2 3 16 4 x y 0 16 x y? x?1 y y y x x x y y ? ? x y ? 4? x y ? x?1 4 16

6. Graficar y ? 9?x Puesto que el dominio natural de una función raíz cuadrada es el conjunto de los números reales no negativos, la función dada esta definida para los valores de x que hacen el radicando, 9 – x no negativo; es decir 9 – x = 0, o bien 9 = x. Así, la gráfica de la función dada es VERIFICANDO SU COMPRENSION Graficar. a) f (x) ? 4?x b) f (x) ? 2? 4?x c) f (x) ? ?2? 1?x 3.3.3 FUNCIONES EXPONENCIALES Y SUS GRAFICAS Las funciones (como las polinomiales y las raíces cuadradas) cuya regla de correspondencia es una expresión algebraica, se llama “funciones algebraicas”.

Las funciones que no son algebraicas se llaman “funciones trascendentes”. Entre ellas tenemos las funciones exponenciales, que estudiamos a continuación. Con tal propósito recordamos la potenciación.

POTENCIACION 1. CONCEPTO DE POTENCIA CON EXPONENTE ENTERO Y POSITIVO. Al hacer cálculos matemáticos con frecuencia encontramos que algunos involucran productos de varios factores iguales, de tal manera que es conveniente tener una forma abreviada para expresarlos y establecer las reglas que permitan realizar operaciones con ellos en su forma abreviada. En esta sección nos ocupamos de ambos aspectos. Comenzamos con un caso en el cual el factor repetido es un número, luego es un monomio y finalmente un binomio.

DEFINICION: Si n es un entero positivo y “a” es cualquier número real, entonces la “n – ésima potencia de a”, representada por an, es el resultado de tomar el número “a” n veces como factor; esto es an = a.a.a.a.a…..a, n veces

En el símbolo an, “a” se llama “la base” y “n”, el “exponente” de la potencia. an se lee “la n- ésima potencia de a” o “a elevada a la n”. Al proceso para encontrar las potencias de un número se le llama “potenciación”. Advierta que la primera potencia de cualquier número “a” es el mismo número; es decir; a1 ?a; por ello, cuando no se escribe exponente, debe entenderse que éste es uno.

2. Signos de las potencias. a) Potencias de un número positivo

32 = (3)(3) = 9 (la segunda potencia de 3 es 9) 33= (3)(3)(3) = 27 (la tercera potencia de 3 es 27) 34 = (3)(3)(3)(3) = 81 (la cuarta potencia de 3 es 81)

Para recordar: cualquier potencia de un número positivo es un número positivo.

b) Potencias de un número negativo

(?3)2= (-3)(-3) = 9 x y ? 9?x 9 y