Definicion de funcion y terminos relacionados (página 2)

(?3)3= (-3)(-3)(-3) = -27 (?3)4= (-3)(-3)(-3)(-3) = 81 (?3)5= (-3)(-3)(-3)(-3)(-3) = -243

Recuerde: Toda potencia par de un número negativo es un número positivo, y toda potencia impar de un número negativo es un número negativo. CUIDADO (?3)2= 9 y ?32= -9; por lo tanto, (?3)2 ? ?32

ACTIVIDADES 1. Determine, por simple inspección, si la potencia dada es un número positivo o negativo. a) (17)36 b) (17)37 c) (?17)40 d) (?17)45 2. Evalúe cada una de las expresiones siguientes a) (3)5 c) ?35 e) 23(?2)3 g) 23 ?(?2)3 b) (?3)5 d) ?(?3)5 f) ?32 25 h) 23 ?(?2)3 3. Reglas para trabajar con potencias En esta sección elaboramos una lista de las reglas que se aplican al trabajar con potencias. En éstas asumimos que: ? Los exponentes, m y n, son enteros positivos; ? Las bases, a y b, son números reales, y ? Los denominadores no pueden valer cero.

Reglas de la multiplicación. R1. am.an ?am?n (cuando las bases son iguales, los exponentes se suman) ?25.24 ?25?4 ?29 ??(?3)5.(?3)4 ?(?3)5?4 ?(?3)9

R2. am.bn ? (ab)n (cuando las bases no son iguales, las bases se multiplican) ?22.32 ? (2.3)2 ? 62 ? 36 ??(?2)2.(?3)2 ??(?2).(?3)?2 ? 62 ? 36 Regla de la potencia de una potencia.

R3. (am)n ?amn (los exponentes se multiplican)

?(22)3 ? 22×3 ? 26 ? 64 3

CUIDADO Evite el siguiente error usual (22)3 ?22?3 ?25 (los exponentes deben multiplicarse, no sumarse)

REGLA DEL COCIENTE (UN CASO PARTICULAR). R4. am an ?am?n (cuando las bases son iguales y m > n, los exponentes se restan) ? ?33 ? 27 3 4 ?(?2)3

?? ? ?? ? g) 123? ? ? ? ?8 ?? ? ??? ? ?1? ??? ? a a ? a0?n ? a?n . Pero a ?1, Advierta que en esta regla faltan por considerar dos casos: cuando m=n y m< n, pero los estudiaremos en la siguiente sección. R5. n an bn ?a? ?b? (Cuando las bases no son iguales las bases se dividen) 3 3

? 2 2 ? ? 3 ?

ACTIVIDADES 1. Clasifique cada aseveración como falsa o verdadera. Si es falsa, corrija el lado derecho de la igualdad para obtener una expresión verdadera. a) 5254 ?58

b) 2522 ?41 d) (?2)3 ? (?3)2

e) ?43 ?(?4)2 g)

h) 2 106 102 45 93 ?103

?4? ?9? c) (52)6 ? 58 f) 34 ?34 ?38 3 1 ?6? 2. Evalúe cada una de las expresiones siguientes. a) 5 ?1? ?3? d) 3 8 ? 2? 27 ? 3? g) 22.83 (?4)2 b) 23(?2)3 3 e) ? ? 83 ?2? h) 2 (?2)3 ?3 33 ? 22 c) 3 8 ? 2? 27 ? 3? f) 3 (?12) 33 g) (?3)5 ?(3)5 3. Extensión del concepto de potencia para el caso de un exponente entero cualquiera Nuestro estudio sobre las potencias ha estado limitado al uso de exponentes enteos positivos y nada más. Sabemos que 32 es el resultado de considerar el 3 dos veces como factor; sin embargo, carece de sentido decir que 30 es el resultado de tomar el 3 cero veces como factor, o que 3?2 es el resultado de considerar el 3 menos dos veces como factor.

Por tal motivo, ahora se extenderá la definición de potencia para permitir que el exponente (n) pueda ser cero o un entero negativo. La extensión se hará de tal manera que las reglas de las potencias, ya citadas puedan aplicarse a cualquier tipo de exponente entero. Para que R1 sea válida, es necesario definir a0 ?1 y asumir que a? 0 (luego am ?0. En efecto,

ama0 ?am?0 (por R1) ama0 ? am (obvio) am 0 a a0 ?1 (el cociente de cualquier cantidad, diferente de cero, entre ella misma es 1) 1 n , ya que a0 n 0 Para que R4 sea válida es necesario definir a?n ?

1 ? a?n luego debe ser an

Según (b) ? ? ? ? ? , ya que ?a? ? ? ? ? ?7 ? 73?1 ? 72 ? 49 ? ? ? ? 3 ? 70 ?1 ?73 ? 73?1 ? 72 ? 49 7 g) ? ? 1? d) ? ??? ? b) ? ? ?? ? ? Los dos resultados anteriores nos permiten formular la definición siguiente.

DEFINICIÓN

a) Si a es un número real diferente de cero, entonces a0 ?1 b) Si a es un número real diferente de cero y n es un entero positivo (-n< 0), 1 an a?n ? Según (a) 00 queda sin definir. b a a ?b? ?1 b a b ? b ?a? ?b? ? 1 ?a? ?b? ?1 ? ? ? ?b? En palabras: Una fracción elevada al exponente -1 es el recíproco de la propia fracción. Con la definición anterior es posible generalizar R4 para los casos en que m=n y m< n ? ?am?n, si m ? n m ? m ? n an

?a Ejemplos 3

7 ?73 ?7 ? 7 1 1 1 ? am an ACTIVIDADES 1. Clasifique cada aseveración como falsa o verdadera. Si es falsa, corrija el lado derecho de la igualdad para obtener una expresión verdadera. a) 20?4 10?4 ?2?4 d) ? ?32 1 3?2 g) (30)2 ?32 b) 5?6 ?5?6 ?10?6 e) 1 a2 ?2?a??2 ? 1 ? 4 h) 7?4 2 ?7?2 c) 5?6 ?5?6 ?5?12 f) (m? n)0 ?m?1 1 3 ?1 ?2 0 ? ? ?1 4? 2. Evalúe cada una de las expresiones. a) 5 ?7 0 ?3? ?3? ?2? ?2? g) 3?43233 ?1 ?2 ?2? ?3? ?2? ?3? e) 13 130 h) 535?9 5?45115?2 ?1 c) ?(?5)2(?3)2 f) 5?3 6?3 g) 234?2 458?2 FUNCION EXPONENCIAL Y SUS GRAFICAS Una función exponencial como f (x) ?bx que tiene la variable independiente como exponente se conoce con el nombre de “función exponencial”. Su dominio natural son todos los números reales.

?1? en ?12? ?12? ?12? = 1 ?12? = 0.5 ?12? = 0.25 Estudiaremos este tipo de funciones con la suposición de que la base numérica b>0. x NOTA 1. Todas las funciones exponenciales de la forma y ? f (x) ?bx, donde b > 1 tiene la misma forma de la función y ? 2x. ? Su intersección “y” es 1; ? Son crecientes x x y ? Su gráfica es cóncava hacia arriba x x x función constante, f(x) = 1, no usamos la base b=1 en la clasificación de las funciones exponenciales. x ??4,3? Graficar y ?? ? ?2? SOLUCION NOTA 3: Todas las funciones exponenciales de la forma f (x) ?bx donde 0< b< 1, tiene la x misma forma de la función y ?? ? : ?2? ? Su intersección “y” es 1; ? Son decrecientes x ? Su gráfica es cóncava hacia arriba Graficar a) y = 2 x-3 b) y = 2 x+3 c) y = -2 x-3 SOLUCION x -3 -2 -1 0 1 2 y 2-4 =0.125 2-2 = 0.25 2-1 = 0.5 20 = 1 21 = 2 22 = 4 3 23 = 8 x -3 3 (0,1) x y ?4 -4 = 16 ?2 -2 =4 -1 ??1??2= 1 0 0 1 1 2 2 x -2 2 4 y

(0,1) 0.25 y

8

4

se obtiene desplazando la gráfica de y = 2 , tres unidades hacia la , se obtiene desplazando la gráfica de y = 2 , tres unidades hacia la Rango: R ; es decir e > 0 0 < e < 1, para x< 0 e =1 e > 1 para x > 0 x-3 x ? La gráfica de y = 2 derecha ? a gráfica de y = 2 x+3 x izquierda. x-3 x-3. x x PROPIEDADES DE f(x) = e x ? ? ? ? ? ? Dominio: todos los números reales + x x 0 x La gráfica es cóncava hacia arriba CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL En muchos fenómenos naturales, hay cantidades que crecen o decrecen a una razón proporcional a su tamaño. Por ejemplo.

? El número de bacterias de un cultivo ? La masa de una sustancia radioactiva

Las únicas funciones que describen tales fenómenos son las funciones exponenciales de base e. kt Si k>0 se habla de crecimiento exponencial Si k< 0 se habla de crecimiento exponencial

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 1. Un cultivo de bacterias empieza con 10 bacterias y al cabo de 2 horas hay 30. Suponiendo que el cultivo crece a una razón proporcional a su tamaño, establezca la población al cabo de 4 horas. 2. Una sustancia radioactiva decrece a una razón proporcional a su tamaño. Si la cantidad inicial es de 10 gramos y después de 5 años quedan 8 gramos, calcule la cantidad restante a los 10 años.

x (0,1) y y=ex