Problemas resueltos de la fisica de Sears – Zemansky (página 2)

B B B B B 0 TA = 165,88 Kg. Reemplazando en la ecuac 1 TA cos 37 – TB – TC cos 53 = 0 TA cos 37– TC cos 53 = TB Pero: TC = 125 Kg. TA = 165,88 Kg. TB = 165,88 * cos 37 – 125 cos 53 TB = 165,88 * 0,8 – 125 * 0,602 TB = 57,29 Kg. CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.6 Calcular la tensión del cable y el valor y sentido de la fuerza ejercida sobre el puntal por el pivote, en los dispositivos esquematizados en la figura 2-15, siendo en todos los casos 1000 Kg. el peso del objeto suspendido. Despréciese el peso del puntal ? Caso a T 30 T TCY C W TCX C W Caso a Sea W = 1000 kg el peso suspendido. T la tensión del cable y C la fuerza del pivote. Las condiciones del equilibrio de los sistemas exige para cada punto. Condición que la tomaremos en la unión del puntal con la cuerda. ? FX = 0 pero: TCX = T cos 30 ? FX = C – TCX = 0 ? FX = C – T cos 30 = 0 ? FY = 0 pero: TCY = T sen 30 ? FY = TCY – W = 0 ? FY = T sen 30 – W = 0 C = T cos 30 T sen 30 = W (Ecuac 1) Ecuac 2 T sen 30 = W (Ecuac 2) T = 1000 / 0,5 8

T = 2000 KG. Reemplazando C = T cos 30 (Ecuac 1) C = (2000) * cos 30 = 2000 * 0’866 C = 1,732 KG. Caso b T300 T CY C 300 Cx C 300 Caso b ) ? FX = 0 pero: CX = C cos 30 ? FX = CX – T = 0 ? FX = C cos 30 – T = 0 W W ? FY = 0 pero: CY = C sen 30 ? FY = CY – W = 0 ? FY = C sen 30 – W = 0 T = C cos 30 C sen 30 = W (Ecuac 1) (Ecuac 2) C sen 30 = W (Ecuac 2) C = W / sen 30 = 1000 / 0,5 C = 2000 KG. Reemplazando T = C cos 30 T = 2000 * 0,866 T = 1732 kg. Caso C) ? FX = 0 ? FX = C cos 30 – T cos 45 = 0 ? FY = 0 ? FY = C sen 30 + T sen 45 – W = 0 T cos 45 = C cos 30 Ecuac 1 C sen 30 + T sen 45 – W = 0 Ecuac 2 T 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 T 0,707 = W – C 0,5 Ecuac 2 9

0 0 T 450 TY 45 0 CY C 300 Caso C C 300 T W TX W CX Igualando las ecuaciones T 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 T 0,707 = W – C 0,5 Ecuac 2 C 0,866 C 0,866 = W – C 0,5 = 1000 – C 0,5 C 0,866 1,366 C + C 0,5 = 1000 = 1000 C = 1000 / 1,366 C = 732,7 Kg Reemplazando T 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 T 0,707 = (732,7) * 0,866 T = (732,7) * 0,866 / 0,707 T = 896,7 Kg. Caso d) Ecuac 1 T C CY 300 C 45 W TX 300 T TY 30 45 CX 0 W 10

? FX = 0 Pero: CX = C cos 45 TX = T cos 30 ? FX = CX – TX = 0 ? FX = C cos 45 – T cos 30 = 0 T cos 30 = C cos 45 ? FY = 0 Pero: CY = C sen 45 TY = T sen 30 ? FY = CY – TY – W = 0 ? FY = C sen 45 – T sen 30 – W = 0 T 0,866 = C 0,707 (Ecuac 1) Igualando las ecuaciones T 0,866 = C 0,707 (Ecuac 1) C 0,707 = W + T 0,5 (Ecuac 2) T 0,866 = W + T 0,5 T 0,866 – T 0,5 =W C 0,707 = W + T 0,5 (Ecuac 2) T 0,366 = 1000 T = 1000 / 0,366 T = 2720 kg. Reemplazando en la ecuac 1 C 0,707 = T 0,866 C 0,707 = 2720 * 0,866 C = 2720 * 0,866 / 0,707 C = 3340 KG CAPITULO 2 EQUILIBRIO Problema 2.8 SEARS – ZEMANSKY Una viga horizontal de 8 dm de larga se encuentra empotrada en una pared vertical por uno de sus extremos. En el otro extremo hay suspendido un peso de 500 kg. La viga esta sostenida en su extremo libre por un cable tenso, sujeto a un punto de la pared situado en la misma vertical que el extremo empotrado de la barra. a) Si la tensión en este cable no puede exceder de 1000 kg. ¿Cuál sera la altura minima por encima de la viga a la cual ha de estar sujeto a la pared. b) En cuantos Kg aumentaría la tensión del cable si se sujetase 1 dm por debajo de dicho punto, permaneciendo la viga horizontal? (Despreciar el peso de la viga). T TY h T = 1000 kg ? TX P = 500 kg X = 80 cm P = 500 kg 11

h h = S FY = 0 TY – W = 0 (Ecuación 1) TY = W pero: W = 500 kg. TY = 500 TY = T sen ? Pero T = 1000 Kg. Reemplazando en la ecuacion1 TY = T sen ? 500 = (1000) * sen ? sen ? = 500 1000 = 0,5 sen ? = 0,5 ? = arc sen 0,5 ? = 300 tg ? = tg 30 = = X 80 h 80 h = 80 * tg 30 h = 46,18 cm CAPITULO 2 EQUILIBRIO Problema 2.9 SEARS – ZEMANSKY Uno de los extremos de una cuerda de 15 m de longitud esta sujeto a un automóvil. El otro extremo esta atado a un árbol. Un hombre ejerce una fuerza de 50 kg en el punto medio de la cuerda, desplazándola lateralmente 60cm. Cual es la fuerza ejercida sobre el automóvil? D = 15 metros X = 7.5 metros T1X X = 7.5 metros sen ? = Y 0,6 X 7,5 = 0,08 T1 ? T1Y T2Y F = 50 Kg ? T2X Y = 60 cm sen ? = 0,08 S FX = 0 T2X -T1X = 0 T2X = T1X Pero T1X = T1 cos ? T2X = T2 cos ? T1 cos ? = T2 cos ? (Ecuación 1) 12

= = 0 0 T1 = T2 S FY = 0 T 2y + T1y – F = 0 (Ecuación 1) T 2Y + T1Y = F pero: F = 50 kg. T 2Y + T1Y = 50 T 2Y = T2 sen ? T 1Y = T1 sen ? T 2Y + T1Y = 50 T2 sen ? + T1 sen ? = 50 (Reemplazando Ecuación 1) T1 = T2 T2 sen ? + (T2 ) sen ? = 50 2T2 sen ? = 50 T2 = 50 50 50 2 sen ? 2 * 0,08 0,16 = 312,5 Kg. T2 = 312,5 Kg T1 = T2 = 312,5 Kg CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.10 Calcular el máximo peso W que puede soportar la estructura de la figura, si la máxima tensión que la cuerda superior puede resistir es de 1000 Kg. y la máxima compresión que puede soportar el puntal es de 2000 kg. La cuerda vertical es lo bastante fuerte para poder resistir cualquier carga. T = 1000 kg 30 450 T = 1000 kg 30 TX TY C 450 CX CY C W W CX = C . cos 45 CY = C . sen 45 TX = T . cos 30 TY = T . sen 30 S FX = 0 CX – TX = 0 (Ecuación 1) CX = TX C . cos 45 = T . cos 30 13

C. 0,707 = (1000) . 0,866 C. 0,707 = 866 C = 866 0,707 = 1224,89 Kg. S FY = 0 CY + TY – W = 0 (Ecuación 2) CY + TY = W C . sen 45 + T . sen 30 = W (1224,89) * 0,707 + (1000) * 0,5 = W 865,99 + 500 = W W = 1365,99 Kg. CONCLUSION: Notese que aisladamente la cuerda no puede resistir un peso superior a 1000 kg. Pero al formar la estructura podemos superar la tensión máxima. Esto se debe a que en la estructura es el conjunto el que se distribuye el peso a resistir y no la cuerda aisladamente. CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.11 El bloque A pesa 100 kg. El coeficiente estático de rozamiento entre el bloque y la superficie sobre la cual reposa es 0,3. El peso W es de 20 kg. y el sistema esta en equilibrio. Calcular la fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque A. N WA W2 FR T2 T2 T1 450 FR N T2 T1Y T1 450 T2 T1X WA WA W2 W2 BLOQUE WA = 100 Kg. S FX = 0 T2 – FR = 0 (Ecuación 1) T2 = FR S FY = 0 N – WA = 0 (Ecuación 2) N = WA Pero: WA = 100 Kg. N = 100 Kg. Pero: µ = 0,3 FR = µ * N (Ecuación 3) FR = (0,3) * 100 FR = 30 Kg. Pero: T2 = FR T2 = 30 Kg. 14

= F 8,66 BLOQUE W2 S FX = 0 T1X – T2 = 0 T1X = T2 (Ecuación 4) Pero: T2 = 30 Kg. T1X = 30 Kg. T1X = T1 cos 45 T1 = T1X 30 cos 45 0,707 = 42,426 Kg T1 = 42,426 Kg. S FY = 0 T1Y – W2 = 0 T1Y = W2 (Ecuación 5) Pero T1Y = T1 sen 45 T1Y = W2 = T1 sen 45 W2 = T1 sen 45 W2 = (42,426) sen 45 W2 = 30 kg. CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.12 Un bloque es arrastrado hacia la derecha a velocidad constante por una fuerza de 10 kg. que actúa formando un ángulo de 300 por encima de la horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y la superficie es 0,5. Cual es el peso del bloque. Supóngase que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque. N F 30 0 N F 300 F = 10 Kg FY FR FX W BLOQUE W = 100 Kg. S FX = 0 FR – FX = 0 (Ecuación 1) FR = FX Pero: FX = F cos 30 FX = 10 . 0,866 FX = 8,66 kg. Pero FR = FX 8,66 Kg. FR = µ N (Ecuación 2) FR = 0,5 N = 8,66 Kg W N = R = 0,5 0,5 = 17,32 Kg. N = 17,32 KG. 15

T S FY = 0 N + FY – W = 0 (Ecuación 3) Pero: FY = F sen 30 FY = (10) 0,5 FY = 5 Kg. Reemplazando en la ecuación 3 N + FY – W = 0 Pero: FY = 5 Kg. N = 17,32 KG. W = N + FY W = 17,32 + 5 = 22,32 Kg. W = 22,32 Kg. CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.13 Un bloque que pesa 14 kg. esta colocado sobre un plano inclinado y ligado a otro bloque de 10 kg. por una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y el plano es 1/7. Para que dos valores de ? se moverá el sistema a velocidad constante. Supóngase que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque. P1 = m1 * g P1 = 14 kg Bloque m1 N1 Bloque m2 T FR T P1X FR T P1Y ? 0 P2 = m2 * g P2 = 10 kg ? 0 P2 = m2 * g P2 = 10 kg Bloque P1 = 14 Kg. S FX = 0 T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) P1 = m1 * g P1 = 14 kg Pero: P1X = P1 sen ? P1X = 14 sen ? Pero: P1Y = P1 cos ? P1Y = 14 cos ? S FY = 0 N1 – P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 14 cos ? FR = µ * N1 (Ecuación 3) FR = 1/7 * (14 cos ?) FR = 2 cos ? 16

? ? ?? ? 1 / 2 ? ? 2 ?? ?? = = = = Bloque m2 S FY = 0 P2 – T = 0 (Ecuación 4) P2 = T Pero: P2 = 10 kg T = P2 = 10 kg Reemplazando en la ecuación 1 T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) 10 – 14 sen? – 2 cos ? = 0 pero : sen2 ? + cos2 ? = 1 1 / 2 cos? = 1 – sen 2? = ?1 – sen 2 ? ? Reemplazando 10 – 14 sen? – 2 cos ? = 0 10 – 14 sen? – 2 (1-sen2 ?)1/2 = 0 5– 5– 7 sen? – (1-sen2 ?)1/2 = 0 7 sen? = (1-sen2 ?)1/2 Elevando al cuadrado en ambos lados [5 – 7 sen? ]2 = ??1 – sen 2 ? ? ? ?? ? 25 – 70 sen? + 49 sen2 ? = 1 – sen2 ? 49 sen2 ? + sen2 ? – 70 sen? + 25 – 1 = 0 50 sen2 ? – 70 sen ? + 24 = 0 Aplicando la formula para ecuaciones de segundo grado. sen ? = sen ? = – (- 70) ± 70 ± 100 100 ( – 70) 2 – 4 (50) 24 2 (50) 70 ± 10 100 70 ± 4900 – 4800 100 sen ?1 = sen ? 2 = 70 + 10 80 100 100 70 – 10 60 100 100 = 0,8 = 0,6 ?1 = arc sen 0,8 ?2 = arc sen 0,6 ?1 = 53,130 ?2 = 36,860 ?1 = 53,130 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la derecha. ?2 = 36,860 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la izquierda. 17

0 CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.14 Un bloque que pesa 100 kg esta colocado sobre un plano inclinado de 300 y conectado a un segundo bloque de peso W pendiente de una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento. El coeficiente estático de rozamiento es 0,4 y el coeficiente cinético 0,3. a) Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 kg se eleva por el plano a velocidad constante. b) Hallese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante. c) Para que intervalo de valores de W permanecerá el bloque en reposo? Bloque P1 P1 = 100 kg T T N1 FR T Bloque W T FR 300 W= ? P1X 30 P1Y W = m2 * g W= ? P1 = m1 * g P1 = 100 kg Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 kg se eleva por el plano a velocidad constante. Bloque P1 = 100 Kg. S FX = 0 T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg. S FY = 0 N1 – P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. FR = µC * N1 (Ecuación 3) µC = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento) FR = 0,3 * (86,6) FR = 25,98 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X + FR = 0 18

T T = 50 + 25,98 T = 75,98 Kg. BLOQUE W S FY = 0 (por que se desplaza a velocidad constante) T–W=0 T = W (Ecuación 4) Pero T = 75,98 Kg. W = 75,98 Kg. Hállese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante. P1 = 100 kg Bloque P1 Bloque W FR T N1 FR T T P1X P1Y W= ? 30 0 300 Bloque P1 = 100 Kg. S FX = 0 T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1) P1 = m1 * g P1 = 100 kg W = m2 * g W= ? Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg. S FY = 0 N1 – P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. FR = µC * N1 (Ecuación 3) µC = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento) FR = 0,3 * (86,6) FR = 25,98 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X – FR = 0 19

T = 50 – 25,98 T = 24 Kg. BLOQUE W(por que se desplaza a velocidad constante) S FY = 0 T–W=0 T = W (Ecuación 4) Pero T = 24 Kg. W = 24 Kg. Para que intervalo de valores de W permanecerá el bloque en reposo? SI NO SE MUEVE EL CUERPO HACIA ARRIBA, la fuerza de rozamiento actúa hacia la izquierda Bloque P1 = 100 Kg. S FX = 0 T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg. S FY = 0 N1 – P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. FR = µC * N1 (Ecuación 3) µC = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento) FR = 0,4 * (86,6) FR = 34,64 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X + FR = 0 T = 50 + 34,64 T = 84,64 Kg. BLOQUE W S FY = 0 T–W=0 T = W (Ecuación 4) Pero T = 84,64 Kg. W = 84,64 Kg. SI NO SE MUEVE EL CUERPO HACIA ABAJO, la fuerza de rozamiento actúa hacia la derecha. 20

Bloque P1 = 100 Kg. S FX = 0 T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg. S FY = 0 N1 – P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. FR = µC * N1 (Ecuación 3) µC = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento) FR = 0,4 * (86,6) FR = 34,64 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. T = P1X – FR = 0 FR = 25,98 Kg. T = 50 – 34,64 T = 15,36 Kg. BLOQUE W S FY = 0 T–W=0 T = W (Ecuación 4) Pero T = 15,36 Kg. W = 15,36 Kg. Capitulo 2 Equilibrio Sears – Zemansky Problema 2 – 17 Dos bloques A y B están dispuestos como indica la figura 2-21 y unidos por una cuerda al bloque C. El bloque A = B = 20 Newton. y el coeficiente cinético de rozamiento entre cada bloque y la superficie es 0,5. El bloque C desciende con velocidad constante. a) Dibujar dos diagramas de fuerzas distintos que indiquen las fuerzas que actúan sobre A y B. b) Calcular la tensión de la cuerda que une los bloques A y B c) Cual es el peso del bloque C? 21

B Bloque B T2 T2 Bloque A T1 T1 370 FR2 Bloque C FR1 Bloque A N1 T1 Bloque B FR2 T1 N2 T2 Bloque C T2 FR1 WA WBX 370 WBY WC Bloque A WB ? FX = 0 Por que se desplaza a velocidad constante, luego la aceleración es cero. T1 – FR1 = 0 (Ecuación 1) T1 = FR1 ? FY = 0 WA – N1 = 0 WA = N1 WA = N1 = 20 Newton Pero: FR1 = µ N1 FR1 = µ 20 = 0,5 * 20 FR1 = 10 Newton T1 = FR1 T1 = 10 Newton Bloque B Por que se desplaza a velocidad constante hacia la derecha, luego la aceleración es cero. ? FX = 0 T2 – WBX – T1 – FR2 = 0 (Ecuación 2) Pero: WBX = WB sen 37 22

B WBX = 20 sen 37 = 12,036 Newton WBX = 12,036 Newton T1 = 10 Newton ? FY = 0 WBY – N2 = 0 WBY = N2 = WB cos 37 = 20 cos 37 WBY = N2 = 15,972 Newton Pero: FR2 = µ N2 FR2 = µ 20 = 0,5 * 15,972 FR2 = 7,986 Newton Reemplazando en la ecuación 2, hallamos la tensión T2 T2 – WBX – T1 – FR2 = 0 (Ecuación 2) T2 = WBX + T1 + FR2 T2 = 12,036 + 10 + 7,986 T2 = 30 Newton Bloque C Por que se desplaza a velocidad constante hacia la derecha, luego la aceleración es cero. ? FY = 0 WC – T2 = 0 WC = T2 = 30 Newton WC = 30 Newton Capitulo 2 Equilibrio Sears – Zemansky Problema 2 – 18 una cadena flexible de peso W cuelga entre dos ganchos situados a la misma altura, como indica la figura 2-22. En cada extremo la cadena forma un ángulo ? con la horizontal a) Cual es el valor y dirección de la fuerza ejercida por la cadena sobre el gancho de la izquierda? b) Cual es la tensión de la cadena en el punto mas bajo? ? ? FY F F FY ? ? W ? FX = 0 FX – FX = 0 ? FY = 0 W – FY – FY = 0 W – 2FY = 0 W = 2FY FX W FX Pero: FY = F sen ? W = 2FY = 2(F sen ?) W = 2 F sen ? 23

? cos ? T = ? T = ? ? ? W ? T F = W 2 sen ? ? w/2 T FY FX F ? w/2 T ? FX = 0 T – FX = 0 T = FX Pero: FX = F cos ? T = FX = F cos ? T = F cos ? Pero: F = W 2 sen ? Reemplazando T = F cos ? ? W ? ? 2 sen ? ? ? W ? cos ? ? 2 ? sen ? T = ? ? ctg ? ? 2 ? Problema de Sears – Zemansky Un bloque de 8 kg y otro de 16 kg están suspendidos en los extremos opuestos de una cuerda que pasa por una polea. Calcular: a) La aceleración del sistema? b) La tensión de la cuerda c) La tensión de la cuerda que sostiene la polea. Desprecie el peso de esta. T1 T T T m1 W1 = m1 g W2 = m2 g m2 24

? FY = m1 a T – m1 g = m1 a (Ecuación 1) ? FY = m2 a m2 g – T = m2 a (Ecuación 2) Sumando las ecuaciones T – m1 g = m1 a (Ecuación 1) m2 g – T = m2 a (Ecuación 2) m2 g – m1 g = m1 a + m2 a m2 g – m1 g = (m1 + m2 ) a 16 * 9,8 – 8 * 9,8 = (8 + 16) a 156,8 – 78,4 = 24 a 78,4 = 24 a a = 3,266 m/seg2 Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión T – m1 g = m1 a (Ecuación 1) T = m1 a + m1 g T = 8 * 3,266 + 8 * 9,8 T = 26,128 + 78,4 T = 104,528 Newton T1 = 2 T = 2 * 104,528 T1 = 209,056 Newton. 25