Imaginemos que la tecnología mejora como se puede apreciar en el Gráfico Nº 2, donde la curva de ahorro se ubica en el equilibrio ( E1t ) y se desplaza a la derecha hasta intersectarse con la curva de depreciación hasta el punto de equilibrio ( E2t) y si el crecimiento con una tasa de crecimiento positiva es continuo se ubicara en ( E3t ) con un capital por trabajador k *** 2.
Gráfico Nº 2: Versión de Barro aumento de la tecnología En el estado de crecimiento proporcionado se tiene que kte t es nulo. Si kte t (n mL 0, entonces s.(kte) ).kte, se determina el capital por trabajador en estado de crecimiento proporcionado (kte) . 1 2 Revise Sala-i-Martín(1994) “Apuntes de Crecimiento Económico” Editorial: Antoni Bosch, pp. 39-43 Si a largo plazo no existe un nuevo aumento de B(t) la economía converge a un estado proporcionado con un stock de capital superior, pero con crecimiento nulo.
1 dkte
7 k e (kte) s n mL (kte)1 s n mL 1 1 s n mL (kte) t (kte) , si reemplazamos en la De la función de producción intensiva se tiene ye ecuación anterior tenemos: 1 t s n mL (ye) Donde Asterisco denota el valor de equilibrio de las variables
Gráfico Nº 3: Diagrama con tecnología Versión de Barro
De la ecuación fundamental de Solow – Swan dividimos entre el capital por trabajador eficiente kte. kte kte mL ) (n s(kte) kte . kte dt
8 e k kte kte ) (n mL s(kte) kte En el crecimiento proporcionado de largo plazo, la tasa de crecimiento de capital es nula esto quiere decir que LPe k 0. Si e k 0 entonces kte kte ) (n mL s(kte) kte , esta ecuación determina el capital por trabajador en equilibrio (kte ) como se aprecia en el gráfico
Gráfico Nº 4: Gráfico de la versión de Barro Política de crecimiento ejercicios resueltos
Problema #1
Su Suponga que existe una economía capitalista cuya función de producción 1/ 2 t K1/ 2 B(t)Lt dinámica: Yt y se sabe que la tasa de ahorro de esta sociedad es de 24% del producto agregado cada año, también se sabe que la tasa de depreciación del capital es de 5% al ano, la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo es del 1.5% y por ultimo se sabe que la tasa de progreso tecnológico debido a la eficiencia del trabajo es de 1.5% al año.
a) Hallar la ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico. b) Determinar el estado de crecimiento proporcionado con su respectivo gráfico. c) Hallar los valores de equilibrio por unidad de trabajo eficiente. d) Hallar la tasa de salario y la tasa de rendimientos bruto de l capital y graficar los valores. e) Hallar la participación de los salarios y de los beneficios brutos en el ingreso nacional.
B(t)Lt y B(t)Lt sf (k ) kt
9 Rpt:
a) Hallar la ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico. 1.5% 24, 1.5%,mL 0.05,n De los datos tenemos s 1/ 2 1/ 2 t B(t)Lt K Yt , dividiendo a la función de producción entre la cantidad de trabajadores eficientes B(t)Lt 1/ 2 t B(t)Lt B(t)Lt K1/ 2 1/ 2 Yt B(t)Lt (FPI) K1/ 2 1/ 2 (kte)1/ 2 ye t t e t De la condición de equilibrio macroeconómico sabemos: Kt K t Ct It
(1 s)F(Kt,B(t)Lt) F(Kt,B(t)Lt)
F(Kt,B(t)Lt) Dividiendo entre la cantidad de trabajadores eficientes Kt K t 1 B(t)Lt sF(Kt,B(t)Lt) 0 e e t kt 0 e Despejando kt , tenemos: (I) e kt e sf (kt ) e kt Para saber el comportamiento de kte, calcularemos su derivada con respecto al tiempo Kt.B(t) Lt Kt.B(t)Lt 2 B(t)Lt K t.B(t)Lt Kt /B(t)Lt t kte t B(t) Kt . B(t) B(t)Lt
(II) Lt Kt . Lt B(t)Lt
mL.kte K t B(t)Lt
e kt n.kte kte t
kte t e Reemplazando kt , que lo hallamos en la ecuación (I) y reemplazamos en la FPI de nuestro modelo tenemos: (II) mL.kte e kt n.kte kte t kte t ).kte sf (kte) (n mL Nos da la ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico.
10 (III) ).kte (n mL s(kte) kte t Reemplazando los datos en la ecuación (III) kte t 0.24(kte)1/ 2 0.08kte, la ecuación fundamental con progreso tecnológico b) En el estado de crecimiento proporcionado se obtiene dividiendo la ecuación anterior (ecuación fundamental de Solow – Swan) entre el capital por trabajador e eficiente e igualándolo a la tasa de crecimiento que es nula k 0. 0.08 . 0.24(kte)1/ 2 kte kte t 1 kte 0.08 e k 0.24(kte)1/ 2 kte e k 0. En el estado proporcionado Donde la tasa de crecimiento del capital es nula esta dado por la siguiente ecuación: 0.08 0 0.24(kte)1/ 2 kte c) Hallar los valores de equilibrio por unidad de trabajo eficiente. 0.08 0.24(kte)1/ 2 kte 9 kte Remplazando kte , en la FPI tenemos el producto por trabajador eficiente: (9)1/ 2 t ye 3 t ye
César Antúnez. I
11 Notas de Crecimiento Económico
Gráfico del problema #1 d) Hallar la tasa de salario y la tasa de rendimientos bruto de l capital y graficar los valores.
Mercado de capital: 1/ 2 1 1 2 9 t d k1/ 2 dkt Pmgk Re Pmgk 0.16666 Rr Mercado de trabajo: W e Pmgk W e pmgL f (kte).kte f (kte) 1 1 . 1/ 2 .kt 2 kt (kte)1/ 2 (9)1/ 2 1 2 W e 1 1/ 2 kt 2 W e 1.5 W e e) Hallar la participación de los salarios y de los beneficios brutos en el ingreso nacional.
y y
12 0.5 1.5 3 W Y we e 50%, la participación del beneficio en el ingreso nacional es del 50%.
La participación del beneficio: 0.498 ( 0. 16666 )x9 3 B Y Reke e 50%, la participación del beneficio en el ingreso nacional es del 50%.
Gráfico de la distribución del ingreso nacional et 2 Problema #2
Examine el impacto de un aumento permanente en la tasa de inversión sobre el crecimiento de la economía en el modelo de Solow – Swan con progreso tecnológico.
Rpt:
Como en la economía se decidido aumentar de forma permanente la tasa de inversión, desde “s1t ” hasta “s2t ”. La respuesta de esta economía como se puede ver el grafico del problema #2.
Que el aumento de la inversión se desplaza en forma ascendente de s1t.f (k1 ) hasta la curva, llegando al equilibrio E2t , con esto la nueva inversión (ket ) supera a la
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