Ejemplo:
Podemos resumir que: si un grupo es dividido en celdas, o mediante las clases laterales generadas a partir de determinado subgrupo o mediante una relación de equivalencia congruente con determinado subgrupo, no obstante estas celdas se operan empleando la operación heredada del grupo; entonces este nuevo conjunto será un grupo siempre y cuando el subgrupo empleado sea normal o invariante.
¿Quién es no es más que un reagrupamiento de los elementos de
de modo que es posible pensar en una relación entre ambos grupos…un homomorfismo (lo tratamos brevemente más adelante y conlleva a una idea capital: la de isomorfismo).
De ser finito se tiene que el número de elementos de
es
como es fácil demostrar.
Ejemplo:
Ejemplo:
Homomorfismos
La relación existente entre el grupo inicial y el grupo resultante
viene dada matemáticamente a través de una transformación llamada homomorfismo, idea que analizamos a continuación:
Una definición formal será:
DEFINICIÓN 05:
Teorema 04.-
DEFINICIÓN 06:
Esto queda justificado en los siguientes teoremas:
Finalmente, hemos visto que y
están relacionados (teorema 04). Además puesto que el núcleo (kernel) de cualquier homomorfismo es un subgrupo normal (teorema 06) podemos construir el grupo cociente
donde
representa el kernel.
Por supuesto, la relación viene dada por el teorema siguiente, donde empleamos la idea de isomorfismo (un homomorfismo que además es una biyección) que nos indica que dos estructuras algebraicas (grupos) son idénticas salvo por el nombre de sus elementos y la forma de operar a sus elementos.
Teorema Fundamental del homomorfismo.-
Del diagrama se obtiene la factorización 
Esperamos haber cumplido con nuestro objetivo, rogamos a los estudiantes en quienes caiga esta monografía no dejar de maravillarse con las matemáticas puras.
Referencias
Herstein I. N. "Álgebra Abstracta"
Grupo Editorial Iberoamericana, México 1988
Fraleigh Jhon B. "Álgebra Abstracta"
Addison-Wesley Iberoamerica, México 1988
Adilson Goncalves "Introducao à álgebra"
Impa, Brasil 1999.
Algunos enlaces en la Web:
http://www.monografias.com/trabajos57/grupo-sobre-conjunto/grupo-sobre-conjunto2.shtml
Autor:
Lic. Ellis R. Hidalgo M.
Piura, Nov. 2009
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