11 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio Ejemplo X Y 1000 2000 3000 1000 2000 3000 Recinto de integración para el cálculo de esa probabilidad
12 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio Ejemplo X Y 1000 2000 3000 1000 2000 3000 x=y
13 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio Ejemplo X Y 1000 2000 3000 1000 2000 3000 x=y
14 2 Distribuciones marginales Si se definen más de una v.a. en un experimento, es importante distinguir entre la distribución de probabilidad conjunta y la distribución de probabilidad de cada variable individualmente. A la distribución de cada variable se le denomina distribución marginal. Variables Discretas Dadas dos v.a. discretas, con función de probabilidad conjunta las funciones de probabilidad marginales de ambas variables son:
Son funciones de probabilidad Se puede calcular su esperanza, varianza, etc.
15 Ejemplo En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida. Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: 0 1 2 3 4 4 4.1×10-5
3 4.1×10-5 1.84×10-3
2 1.54×10-5 1.38×10-3 3.11×10-2
1 2.56×10-6 3.46×10-4 1.56×10-2 0.2333
0 1.6×10-7 2.88×10-5 1.94×10-3 7.83×10-2 0.6561 X Y La función de probabilidad marginales se obtendrían sumando en ambas direcciones X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos 2 Distribuciones marginales
16 Ejemplo En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida. Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: 0 1 2 3 4
0.0001 0.0036 0.0486 0.2916 0.6561 X Y La función de probabilidad marginales se obtendrían sumando en ambas direcciones X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos 2 Distribuciones marginales
17 Ejemplo En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida. Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: 0 1 2 3 4 4 4.1×10-5
3 4.1×10-5 1.84×10-3
2 1.54×10-5 1.38×10-3 3.11×10-2
1 2.56×10-6 3.46×10-4 1.56×10-2 0.2333
0 1.6×10-7 2.88×10-5 1.94×10-3 7.83×10-2 0.6561 X Y La función de probabilidad marginales se obtendrían sumando en ambas direcciones X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos 2 Distribuciones marginales
18 Ejemplo En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida. Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: 4 0.00004
3 0.00188
2 0.03250
1 0.24925
0 0.71637 X Y La función de probabilidad marginales se obtendrían sumando en ambas direcciones X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos 2 Distribuciones marginales
19 2 Distribuciones marginales Variables Continuas Dadas dos v.a. continuas, con función de densidad conjunta las funciones de densidad marginales de ambas variables son:
Son funciones de densidad Se puede calcular su esperanza, varianza, etc.
20 Ejemplo Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidor se conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario. La función de densidad conjunta viene dada por 2 Distribuciones marginales
21 Ejemplo Podemos resolverlo de dos formas:
Integrar la función de densidad conjunta en el recinto adecuado
Calcular la función de densidad marginal de Y y calcular esa probabilidad 2 Distribuciones marginales
22 Ejemplo X Y 1000 2000 3000 1000 2000 3000 Podemos resolverlo de dos formas:
Integrar la función de densidad conjunta en el recinto adecuado Y 2 Distribuciones marginales
23 Ejemplo X Y 1000 2000 3000 1000 2000 3000 Podemos resolverlo de dos formas:
Calcular la función de densidad marginal de Y y calcular esa probabilidad Y 0 2 Distribuciones marginales
24 Ejemplo Y 1000 2000 3000 Podemos resolverlo de dos formas:
Calcular la función de densidad marginal de Y y calcular esa probabilidad Y 0 2 Distribuciones marginales
25 2 Distribuciones condicionadas Cuando se definen más de una v.a. en un experimento, el conocimiento de una de las variables puede afectar las probabilidades que se asocian con los valores de la otra variable
Recordamos del Tema 3 (Probabilidad):
Mide el tamaño de uno con respecto al otro
26 2 Distribuciones condicionadas Cuando se definen más de una v.a. en un experimento, el conocimiento de una de las variables puede afectar las probabilidades que se asocian con los valores de la otra variable Variables Discretas Dadas dos v.a. discretas, con función de probabilidad conjunta la funcion de probabilidad de Y condicionada a X=x0:
Para un valor genérico de x Podemos calcular su esperanza, varianza, etc.
27 Ejemplo En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida. Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos Como sólo se transmiten 4 bits, si X=4, necesariamente Y=0 si X=3, Y=0 ó 1
Saber lo que vale X cambia la probabilidad asociada con los valores de Y 2 Distribuciones condicionadas
28 Ejemplo En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida. Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos Como sólo se transmiten 4 bits, si X=3, Y=0 ó 1
Número esperado de bits sospechosos cuando en número de aceptables es 3 2 Distribuciones condicionadas
29 2 Distribuciones condicionadas Variables Continuas Dadas dos v.a. continuas, con función de densidad conjunta la función de densidad de Y condicionada a X Es función de densidad Se puede calcular su esperanza, varianza, etc.
30 Ejemplo Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidor se conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario. La función de densidad conjunta viene dada por ¿Cuál será la probabilidad de que el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario sea más de 2000 milisegundos si el tiempo que ha tardado el servidor en conectarse ha sido 1500 milisegundos? 2 Distribuciones condicionadas
31 Ejemplo X Y 1000 2000 3000 1000 2000 3000 Y 0 2 Distribuciones condicionadas
32 Ejemplo X Y 1000 2000 3000 1000 2000 3000 Y 0 2 Distribuciones condicionadas
33 3 Independencia entre variables aleatorias En algunos experimentos, el conocimiento de una de las variables puede no afectar ninguna de las probabilidades que se asocian con los valores de la otra variable Independientes Recordamos del Tema 3 (Probabilidad):
34 3 Independencia entre variables aleatorias Variables Discretas Diremos que dos variables son independientes si:
35 3 Independencia entre variables aleatorias Variables Continua Diremos que dos variables son independientes si:
36 Ejemplo Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidor se conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario. La función de densidad conjunta viene dada por 3 Independencia entre variables aleatorias Para todos los valores de x ¿son X e Y independientes?
37 4 Características de un vector aleatorio Esperanza Dadas n v.a. definimos el vector n-dimensional La función de probabilidad/densidad del vector es la función de probabilidad/densidad conjunta de los componentes del vector. Se define el vector de medias como el vector cuyas componentes son las medias o esperanzas de cada componente.
38 4 Características de un vector aleatorio Covarianza Primero comenzamos por definir la covarianza entre dos variables:
Es una medida de la relación lineal entre dos variables Propiedades Si son independientes ya que
Si sean independientes
Si hacemos un cambio de origen y escala:
39 4 Características de un vector aleatorio Covarianza ¿Cómo lo calculamos? Necesitamos calcular la esperanza de una función de dos variables aleatorias:
40 4 Características de un vector aleatorio ´Covarianza positiva Covarianza cero Covarianza negativa Covarianza cero Hay relación pero no lineal
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