Cónicas (página 2)

Clasificación

• ELIPSE

Definición: Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del plano es constante este valor es 2a,   y   , es constante. Veamos sus elementos en los siguientes dibujos:

Los puntos fijos   y   se denominan focos, siendo el eje focal la recta que pasa por ellos.

La excentricidad de una elipse es su grado de achatamiento y su valor está determinado por la expresión:

Cuanto mayor es la excentricidad mas achatada es la elipse. En una elipse   y por lo tanto la excentricidad es positiva y menor que uno.

Ecuación

Supongamos que el origen de coordenadas está en el centro de la elipse y que el eje focal coincide con el eje   , entonces los focos son:

• HIPERBOLA

Si el ángulo beta que forman el eje y el plano que corta a la superficie cónica es menor que el semiángulo cónico alfa, la curva intersección es una curva abierta con dos ramas, denominada hipérbola:

Si el plano secante pasa por el vértice, la curva se degenera en dos líneas que coinciden con dos generatrices.

Lugar Geométrico – Elementos de la Hipérbola

Los puntos de la hipérbola tienen una propiedad que permite definirla como ellugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. Esa constante es igual a 2a, la distancia entre los dos vértices de la hipérbola.

En el dibujo, los elementos de la hipérbola son: 

• AB = 2a = Eje real

• Mediatriz de AB = Eje imaginario

• F1-F2 = 2c = Distancia focal

• A,B = Vértices (AB=2a)

• F1 y F2 = Focos

• d1 y d2 = Radiovectores de P

• |d1 - d2| = 2a = cte.

• excentricidad = c / a (>1)

• a2 + b2 = c2

La hipérbola también puede definirse como el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a otra dada que pasan por un punto fijo exterior a ésta. Y también es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una circunferencia y de un punto exterior a ésta.

Ecuación matemática de la Hipérbola

Considerando el centro de la hipérbola como el punto de coordenadas (0,0), y siendo las coordenadas de un punto P(X,Y)…

Más elementos de la Hipérbola

Las circunferencias focales de la hipérbola tienen como centro los focos y como radio 2a (en la figura, AB=|d1-d2|=2a).La circunferencia principal de la hipérbola tiene como centro el de la curva y como diámetro 2a.Las asíntotas de la hipérbola son las tangentes a la curva en el infinito. Los ejes son bisectrices de las asíntotas.

Las asíntotas pueden trazarse con ayuda de la circunferencia principal y la de diámetro OF (O es el centro de la cónica).

Se denomina diámetro real de la hipérbola a cualquier recta que pase por el centro y corte a la curva. Se denomina diámetro imaginario a cualquier recta que pase por el centro y no toque a la curva. El sector correspondiente a los diámetros imaginarios está determinado por las asíntotas.

El diámetro conjugado de uno dado es el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas paralelas a él. Si un diámetro es real, su conjugado es imaginario, y viceversa. Las tangentes a la hipérbola en los extremos de un diámetro real son paralelas al diámetro conjugado imaginario.

Las directrices de la hipérbola son las rectas polares de los focos respecto de la curva, y pueden obtenerse a partir de la circunferencia principal y de las asíntotas.

 Dos hipérbolas son conjugadas cuando comparten las asíntotas, pero sus ejes están intercambiados de lugar entre ellos, como se aprecia en el grafico. Una hipérbola es equilátera si sus asíntotas forman 45º grados con los ejes.

Propiedades de la Hipérbola

La circunferencia focal de un foco es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco con respecto a cualquier tangente a la hipérbola.

  La circunferencia principal es el lugar geométrico de los puntos M que, estando en las tangentes, son los intermedios entre un foco y su simétrico con respecto a cualquier tangente a la hipérbola, o sea, de los pies de las perpendiculares a las tangentes desde los focos.

El punto P, punto de contacto de una tangente con una hipérbola, está alineado con un foco y el simétrico del otro con respecto a esa tangente (ver la primera figura). La tangente es bisectriz del ángulo formado por P, F1 y F1".

Teorema de Dandelin en la Hipérbola

El plano secante corta a las generatrices representadas en los puntos que serán vértices del eje real de la cónica. Dibujando las circunferencias (esferas) tangentes a la recta que representa al plano de corte, y a las generatrices, se obtienen las dos soluciones dibujadas. Los puntos de tangencia de las circunferencias con el plano de corte son los puntos F1 y F2 que serán los focos de la elipse. Los puntos de tangencia con la superficie cónica representan a las circunferencias de la solución tridimensional. T1-T2 es una circunferencia y T3-T4 es la otra. Los planos en que se encuentran definen las directrices d1 y d2 de la hipérbola.

En esta figura puede verse la cónica resultante abatida sobre el papel.

• PARABOLA

Definición

Una parábola es una curva en la que los puntos están a la misma distancia de:

un punto fijo (el foco), y

una línea fija (la directriz)

Observaciones

Ecuaciones Analíticas de la Parábola  

En esta sección sólo se considerarán parábolas con el vértice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig. 6.1.2.)  

fig. 6.1.2.

Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces, .   

Pero,

Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F.  

De esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema.    

TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)  

iii. Recíprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P x PDD-F 

fig. 6.1.3.

fig. 6.1.4.

Observaciones: 

i. En la  fig.  6.1.3. aparecen  las gráficas de dos parábolas abiertas hacia arriba  (en el caso de p>0) y hacia abajo (p<0), respectivamente y cuyos focos están localizados en el punto F(0, p/2) y cuya directriz es la recta de ecuación y = -p/2.  

Además, todos sus puntos son simétricos con respecto al eje y: de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, presentan únicamente a la variable x elevada en una potencia par.  

ii. Igualmente, las gráficas de la fig. 6.1.4. corresponden a las gráficas de parábolas abiertas hacia la derecha (p > 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuación x = -p/2. Además todos sus puntos son simétricos con respecto al eje x, de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, poseen únicamente a la variable y elevada a su potencia par.   

Traslación de Ejes 

En el ejemplo 5 de la sección 5.6., se determinó que la ecuación de la circunferencia con centro en C(4,3) y radio 5 era:  

De lo anterior se concluye que a veces puede cambiar la ecuación sin cambiar la forma de la gráfica (fig. 6.1.5.).   

fig. 6.1.5.

Si en el plano cartesiano x – y se eligen nuevos ejes coordenados paralelos a los  ejes x e y, se dice entonces que ha habido una "TRASLACIÓN DE EJES". Al fin de analizar los cambios  que  se presenten en las coordenadas de los puntos del plano al introducir un nuevo sistema de coorde- nadas x" e y" paralelo a los ejes x e y, se toma un  punto fijo  o"(h, k) que  se llama: ORIGEN del nuevo sistema.  

Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadas están referidas al sistema con origen O(O, O) Entonces las coordenadas de P(x", y") referidas al sistema x"-y" vienen dadas por las relaciones:   

  llamadas: ECUACIONES DE     TRASLACIÓN DE EJES, y que   pueden deducirse fácilmente de la fig.  6.1.6.

fig. 6.1.6.

Observación: 

La traslación de ejes modifica la ecuación de una curva y algunas veces la simplifica, pero no altera la forma de la curva.  

Una aplicación útil de la traslación de ejes se consigue cuando se obtienen las ecua- ciones generales de la parábola, con vértice en el punto V (h, k) referido al sistema x-y y para las cuales la directriz es perpendicular a uno de los ejes.  

Si  se toma  como referencia los ejes x" e y", hallar las ecuaciones de la parábola con vértice en V(h, k), equivale a encontrar las ecuaciones de la parábola con vértice en (0, 0) referido al nuevo sistema.  

Las ecuaciones 

permiten escribir las ecuaciones en forma general de la parábola, como lo afirma el siguiente teorema:    

Teorema2 (Ecuaciones de la parábola. Forma general)

ii. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco

Demostración: 

Observación: 

Las ecuaciones (1) y (2) del teorema 2, después de simplificarlas, pueden expresarse en la forma:   

En las ecuaciones (3) y (4) puede notarse que una de las variables aparece al cua- drado y la otra lineal. La parábola siempre se abre en la dirección del eje cuya varia- ble aparece lineal.   Así por ejemplo, la ecuación (3) representa una parábola que se abre hacia el semieje y positivo (si p > 0)  o hacia el semieje y negativo (si p < 0). Igualmente, la ecuación (4) representa  una parábola  abierta  hacia la derecha (si p > 0) o hacia la izquierda (si p < 0).   

Valores máximos y mínimos de una parábola 

Cuando la ecuación aparece en la forma (1), el signo de a (coeficiente de x2), determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y también determina si el vértice es un punto máximo o mínimo de la curva.   

Si como en la fig. 6.1.9.(a), la parábola se abre hacia abajo, el vértice V (punto mas alto de la curva)  es llamado  el punto máximo de la parábola. El valor de la ordenada correspondiente es el valor máximo de la función que ella representa.  

Similarmente, si la parábola se abre hacia arriba (fig. 6.1.9.(b)), el vértice V es llama- do el punto mínimo de la parábola; y el correspondiente valor de y, es el valor mínimo de la función.  

Toda función cuadrática, tiene un valor máximo o un valor mínimo, pero no ambos. 

Algunas propiedades referentes a cilindro y cono

1RA PROPIEDAD: El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto es un rectángulo o cuadrado de modo que uno de sus lados es la longitud de la circunferencia de la base y el otro lado de la altura del cilindro.

2DA PROPIEDAD: El cono circular recto o cono de revolución, se engendra por un triangulo rectángulo ABC, que gira 3600 alrededor de uno de sus catetos AB. La hipotenusa AC, es la que genera la superficie lateral del cono, de allí el nombre de generatriz y el cateto BC al girar genera la base circular del cono.

3RA PROPIEDAD: El menor camino para ir de A a B viajando por la superficie lateral del cilindro esta dado por la diagonal del rectángulo que se origina al desarrollar su superficie lateral.

4TA PROPIEDAD: Si R es el radio de la sección recta de un cilindro oblicuo.

5TA PROPIEDAD: El desarrollo de la superficie lateral de un cono equilátero es un semicírculo.

6TA PROPIEDAD: Todo plano que contiene a una tangente (L) a la base y la generatriz (VA) que pasa por el punto de contacto es, tangente corta a la base según una tangente a dicha base.

7MA PROPIEDAD: Volumen de un cono oblicuo:

Superficie cónica

Llamaremos superficie cónica a la superficie que es generada por una recta que se mueve de tal manera que siempre pasa por una curva plana dad fija y por un punto fijo que no está contenido en el plano de la curva fija dada.

La recta móvil se llama generatriz y la curva fija dada directriz y el punto fijo se llama vértice de la superficie cónica.

El vértice divide a la superficie cónica en dos porciones cada una de las cuales se llama hoja o rama de la superficie cónica.

DETERMINACION DE LA ECUACION DE LA SUPERCIFIE CONICA.

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la superficie cónica cuya directriz es la elipse 4×2 + z2 = 1 ? y = 4 y cuyo vértice es el punto V (1, 1, 3)

Solución

Conclusión

En este trabajo hemos podido aprender en qué consiste y qué conceptos son los que abarca la palabra CÓNICAS.

Aprendimos también que hay cuatro tipo de cónicas, que son la hipérbola, parábola y elipse; todas son de mucha importancia en nuestra vida porque tiene diferentes aplicaciones prácticas. Por ejemplo gracias a ellas se han podido desarrollar diferentes aparatos, para el estudio de órbitas (astronomía), entre otras cosas que han beneficiado y facilitado nuestras vidas.

Autor:

Rosmery