Matemática financiera 1

Descargo y advertencia: Los siguientes son apuntes tomados durante clases de esta materia. Están destinados a servir como una guía del estudio, no como una fuente única de referencia.

No garantizamos que todo lo contenido esté completamente correcto. No somos responsables de ningún tipo de errores en la redacción de estos apuntes.

Razón: es un cociente entre dos números. Una división.

Proporción: es una igualdad entre dos razones. (a/b = c/d)(a:b:c:d). Sirve para encontrar elementos desconocidos. La regla es que el producto de los elementos extremos es igual al producto de los elementos internos. Donde los externos son a y d, mientras que los internos son c y d.

Ej.: Si x/5 =6/2, cuál es el valor de x? Como 2x = 5*6, entonces 2x = 30, entonces x=15 Ej.: José presta a Marco 40,000 pesos, por los cuales recibe 2000 pesos mensuales de interés. Luisa quiere que José le preste 65000. Cuántos debería pagarle Luisa a José de interés mensual? Este problema se resuelve con una proporcionalidad. 2000 es a 40000 lo mismo que x es a 65000 2000/40000 = x/65000 2000(65000)/40000 = x x = 3250 Por ciento o porcentaje: es un cociente donde el denominador es igual a 100. El x por ciento es una forma que se ha estandarizado para expresar una parte de un todo.

Ej.: El 49.87 de la población dominicana que votó el 16 de mayo del 2000 votó por Hipólito Mejía.

Ej.: Si de una inversión de 45000 pesos obtenemos un beneficio del 10%, qué cantidad estamos obteniendo? 4500 pesos

El descuento comercial

Es una rebaja de precio que normalmente se basa en un porcentaje del precio de lista o de catálogo del artículo.

El precio de lista o de catálogo es el precio que se fija a los artículos que permite el descuento comercial obteniéndose siempre un beneficio.

Clasificación de los descuentos

Descuento único o individual:

Descuento sucesivo o en serie Descuento por pronto pago Leyenda:

PL = precio de lista d = % de descuento concedido PN = precio neto de la factura DC = descuento comercial.

Descuento único

Se le aplica un solo descuento una sola vez al precio de la mercancía.

Esa mercancía sólo tiene pensado un porciento determinado de descuento, uno solamente.

Ej.: Se compra un carro con un PL de 365000 pesos. El vendedor ofrece a quien lo compre de contado un descuento de un 15% sobre el precio de lista. Determine el descuento comercial y el PN de la factura.

DC = PL * d DC = 365000 * 0.15 DC = 54750 PN = PL – DC PN = 365000 – 54750 = 310250

Descuentos sucesivos

Estos ocurren cuando un artículo es rebajado varias veces por alguna razón de política de la empresa, situación del mercado o de costo del artículo. Los descuentos sucesivos se van realizando sobre el saldo que va quedando.

Se da en los lugares donde hay varios precios. Regularmente el primer descuento es mayor que los siguientes descuentos sucesivos. Ej.: Ferretería Ochoa y Ferretería Bellón aplican descuentos sucesivos. Ochoa tiene 8 precios diferentes en su mercancía y Bellón tiene 4 precios diferentes.

Ej.: Un artículo cuesta 2875, y tiene los siguientes descuentos sucesivos:

1er precio: 5% de descuento 2do precio: 3% de descuento 3er precio: 1% de descuento Cada uno de estos descuentos no se aplican sobre la misma cantidad, sino que se aplican sobre el saldo que queda después de haber aplicado el descuento anterior. Es decir que para calcular el último precio de este artículo de este ejemplo debemos hacer lo siguiente:

1er precio: 2875 – 2875*0.05 = 2732.25 2do precio: 2732.25 – 2732.25*0.03 = 2650.28 3er precio: 2650.25 – 2650.28*0.01 = 2623.78 O sea, que para sacar el segundo precio debo sacar cuál es el precio después de descontado el primer descuento.

Ahora bien, hay una fórmula para hallar el descuento único equivalente a una serie de descuentos sucesivos:

d = 1-(1-d1)(1-d2)(1-d3)

Descuento por pronto pago

Se da cuando el comerciante le da a su cliente la oportunidad de obtener un descuento determinado si paga antes del vencimiento del crédito.

Ej.: Si se trata de una venta a crédito de 45 días, y el cliente paga a los 15 días, obtiene un 3% de descuento en la factura.

*NOTA: cuando hacemos cálculos con porcentajes tomamos en cuenta hasta la cuarta cifra a la derecha del punto decimal. Es decir que si el porcentaje es 0.1234, entonces tendremos que eso es igual a 12.34% Sin embargo, cuando tratamos con sumas que ya son cifras monetarias, solamente usamos dos lugares a la derecha del punto. Descuento comercial:

Es una rebaja de precio que normalmente se basa en un porcentaje del precio de lista o de catálogo del artículo.

El Precio de lista o de catálogo es el precio que se fija a los artículos que permite el descuento comercial obteniéndose siempre un beneficio.

Clasificacion de los descuentos

Unico o individual.

Descuento sucesivo o en serie.

Descuento por pronto pago.

PL = precio de lista d= % de descuento concedido PN = precio neto de la factura DC = descuento comercial (cantidad de dinero rebajada) Descuento único: Se compra un carro con un PL de 365000 pesos. El vendedor ofrece a quien lo compre al contado un 15% de descuento sobre el precio de lista. Determine el descuento comercial y el PN de la factura.

DC = PL * d DC = 365,000 * 0.15 DC = 54,750 (este es el descuento que se le aplicará a la factura) PN = PL – DC PN = 365,000 – 54750 PN = 310,250 El precio neto es el precio de lista (365,000) menos el descuento que el dueño ofreció al que lo comprara al contado (54,750). Descuentos sucesivos: Estos ocurren cuando un artículo es rebajado varias veces por alguna razón de política de la empresa, situación del mercado o de costos del artículo. Los descuentos sucesivos se van realizando sobre el saldo que va quedando después de aplicar el descuento anterior.

Ej.:

Un artículo con un PL de 25,000 recibió descuentos sucesivos de 8%, 5% y 3%. Encuentre el PN de la factura:

d = 1-(1-d1)(1-d2)(1-d3) d = 1-(1-0.08)(1-0.05)(1-0.03) d = 1-(0.92)(0.95)(0.97) d = 1-0.8478 d = 0.1522 d = 15.22% DC = PL * d DC = 25,000 * 0.1522 DC = 3805 PN = PL – DC PN = 25,000 – 3805 PN = 21,195

Descuento por pronto pago

Son descuentos que se conceden a los compradores a crédito como estímulo para que paguen sus facturas lo más rápido posible antes de la fecha de vencimiento. Los descuentos por pronto pago se representan por cocientes donde el numerador indica la magnitud del descuento y el denominador indica el tiempo en que se ofrece el descuento.

Si tengo una factura a crédito a 60 días y mi suplidor me dice que me hará un descuento de un 10% si pago antes de 15 días, un 5% si pago antes de 30 días, esto se representa así: Condiciones de pago: 10/15 y 5/30 y n/60, el "n/60" significa que no hay descuento si se paga a los sesenta días.

Estos descuentos se aplican al Precio Neto de la factura, es decir, después de aplicar cualquier descuento comercial.

Ej.:

Juana compró a crédito el 30 de mayo mercancía pro 75,000 pesos y le concedieron descuentos sucesivos de 4% y 2%, dándole además las siguientes condiciones: 5/10, 3/25 y n/30. Cuánto pagó Juana en total considerando que hizo un abono de 20,000 el 5 de junio, otro de 15,000 el 21 de junio y el resto el día que venció la factura.

Primero hallemos el valor del precio neto de la factura

PL = 75000 PN = PL – DC DC = PL * d d = 1- (1-0.04)(1-0.02) d = 1-(0.96)(0.98) d = 1-(0.9408) d = 0.0592 = 5.92% DC = 75000 * 5.92% = 75000 * 0.0592 = 4,440 PN = 75,000 – 4440 = 70,560

Ahora hallemos el valor de los descuentos por pronto pago

El primer abono fue de 20,000 pesos. Como fue hecho el 5 de junio, dentro de los primeros 10 días después de la compra, a ese abono de 20000 pesos hay que aplicarle el descuento correspondiente de 5%, según la condición 5/10. Por tanto:

Abono: 20,000 pesos Descuento: 20,000 * 0.05 = 1000 pesos Total acreditado el 5 de junio: 21,000 pesos.

Como el primer período de descuento por pronto pago vencía a los diez días, eso sería el 9 de junio. Sólo se hizo un pago durante ese periódo, el pago que se hizo el 5 de junio. Por lo tanto, la deuda pendiente al 9 de junio es 49,560, que resulta de calcular:

70,560 (Precio Neto de la factura) -21,000 (total acreditado el 5 de junio) El segundo abono fue hecho el 21 de junio, dentro del período de los primeros veinticinco días, por lo tanto a ese abono hay que hacerle un descuento de un 3%, correspondiente a la condición 3/25. Por tanto:

Abono: 15,000 Descuento: 15,000 * 0.03 = 450 pesos.

Total acreditado el 21 de junio: 15,450 pesos Deuda al 21 de junio: 49,560 – 15,450 = 34,110.00 Como no hizo más abonos antes de los veinticinco días, ya no se le aplican más descuentos. En consecuencia, el último pago que ella hizo fue necesariamente de 34,110.00 pesos para poder saldar la deuda.

En resumen, cuánto pagó Juana en total: Sumamos los abonos (sin contar los descuentos porque ella realmente no desembolsó el dinero correspondiente a los descuentos) más el pago final 20,000 + 15,000 + 34110 = 69,110 pesos Ej.:

Luis compró mercancía por valor de 25,000 pesos el 3 de septiembre, en la cual le concedieron un descuento comercial de un 7% con las siguientes condiciones:

7/10, 5/20 y n/30 Cuánto tendría que pagar Luis al vencimiento si hace un abono el 8 de septiembre de 8 mil pesos y otro el 15 de septiembre de 5 mil pesos? PL = 25,000 PN = PL – DC DC = 25,000 * 0.07 = 1,750 PN = 25,000 – 1,750 = 23,250 Primer abono: El abono de 8000 pesos hecho el 8 de septiembre cae dentro de la condición 7/10, por tanto le corresponde un descuento del 7% que le sumaremos a la cantidad acreditada. Por tanto:

Abono: 8000 Descuento por pronto pago: 8000 * 0.07 = 560 Total acreditado: 8,560 pesos.

Deuda después del primera abono: 23250 – 8560 = 14,690 Segundo abono: El segundo abono, de 5000 pesos, hecho el 15 de septiembre cae dentro del rango de la condición 5/20, por tanto le corresponde un descuento de un 5%. En consecuencia:

Abono: 5000 Descuento por pronto pago: 5000 * 0.05 = 250 Total acreditado: 5,250 Deuda pendiente después del segundo abono: 14,690 – 5,250 = 9,440 Entonces, la respuesta a este problema es 9440. Ya que esta es la cantidad que Luis va a tener que pagar al vencimiento de la factura.

Calculo de precios y beneficios

Precio de venta (P.V.): Es el valor que resulta de sumar el costo total de un artículo y el beneficio o margen de utilidad que se pretenda ganar de este.

Margen de utilidad o utilidad bruta: Es la diferencia entre el Precio de Venta y el costo del artículo. El mismo se puede expresar en función del precio de costo o en función del precio de venta.

Precio de costo:

Es lo que cuesta fabricar o adquirir un bien o servicio.

PV = precio de venta MB = margen de beneficios PC = precio de costo PL = precio de lista PNV = precio nuevo de venta DC = descuento comercial d = descuento (%) RELACIONES IMPORTANTES:

PV = PC + MB MB = %PV ó %PC PL = PV + DC DC ó d = % PL Ejercicio:

Un artículo fue adquirido por 350 pesos. La finalidad es de obtener un MB de un 40% sobre el precio del costo. Diga cuál es el precio de venta.

PV = PC + MB MB = 40%PC PV = PC + PC*40% PV = 350 + 350(0.4) PV = 490 Ejercicio:

Una tienda de ropa tiene como política ganar un 30% sobre el precio de venta. Ayer recibió camisetas cuyo costo era de 180 pesos por camiseta. Calcule el PV de las camisetas.

PV = PC + MB MB = 30%PV PV = 180 + 30%PV PV = 180 + PV(0.3) PV – PV(0.3) = 180 PV(1-0.3) = 180 PV = 180/0.7 PV = 257.14 Ejercicio:

Casa Josefina vende lámparas por 1,050 pesos cada una. Su política es ganar un 25% sobre el precio de venta. Cuál es el PC de las lámparas? 1) PV = PC + MB 2) MB = 25%PV MB = PV (0.25) PC = PV – MB (despejando la fórmula 1)

PC = 1050 – 1050(0.25) PC = 787.5 Ejercicio:

El precio de venta de un producto es 225 pesos. El comerciante le calcula un MB de 15% sobre el PC. Cuánto es el PC de ese artículo? 1) PV = PC + MB 2) MB = 15%PC PV = PC + 15%PC (sustituyo fórmula 2 en la fórmula 1) 225 = PC (1+0.15) (factorizo la expresión PC + PC15% 225 = PC (1.15) 225/1.15 = PC (despejando PC de la ecuación anterior) PC = 225/1.15 = 195.65 Ejercicio:

El MB de un producto es 960 pesos. Diga el PV y el PC si el MB es un 23% del PC.

MB = PC*23% 960 =PC*0.23, entonces PC = 960/0.23 PC = 4173.91 Si tenemos el PC, y tenemos el MB, podemos sacar el PV usando la sencilla fórmula PV = PC + MB PV = 4173.91 + 960 PV = 5133.91

Determinación del precio de lista o de catalogo

Incluye además del costo, el margen de beneficios y cualquier descuento que el vendedor piense conceder al cliente. Todo descuento es igual a un porcentaje del precio de lista. El margen de beneficios puede calcularse sobre el precio de venta o sobre el precio de costo.

Ejercicio:

Un vendedor de pantalones ha fijado un precio de venta de $600 pesos a cada uno de la clase A. El piensa dar descuento de 12% a sus clientes. Cuál debe ser el precio de lista para este artículo.? PV = PC + MB PL = PV + D D = %PL PV = 600 D = 12% PL PL = PV + D PL = PV + 12%PL PV = PL – 12%PL 600 = PL (1-0.12) 600 = PL (0.88) 600/0.88 = PL PL = 681.82 Ejercicio:

Un artículo que cuesta 1260 pesos en fábrica el vendedor pretende ganarle un beneficio de 35% sobre el PC, y dar a sus compradores un descuento de 10% sobre el PL. Determine el PL de este artículo.

PL = PV + D PV = PC + MB MB = 35%PC PV = PC + 35%PC PV = PC (1+0.35) PV = PC (1.35) PV = 1260(1.35) = 1,701 PL = PV + D D = 10%PL PL = PV + 10%PL PL = 1701 + PL(0.1) PL – PL(0.1) = 1701 PL (1-0.1) = 1701 PL (0.90) = 1701 PL = 1701/0.9 PL = 1,890 Ejercicio:

El PV de un producto fue calculado en 2500 pesos. El fabricante concede descuentos sucesivos de 5 y 3% a sus compradores. Cuál debe ser el PL del producto.

D1=5% D2=3% Buscamos el descuento único equivalente: D = 1-(1-D1)(1-D2) D= 1-(1-0.05)(1-0.03) D = 1-(0.95)(0.97) D = 0.0785 = 7.85%

Calculamos el PL en base a ese descuento encontrado

PL = PV + D PL = PV + 7.85%PL PL – PL(0.0785) = PV PL (1-0.0785) = 2500 PL = 2500/0.9215 PL = 2,712.97

Depreciación

Depreciación de los activos fijos. Desde el momento en que se adquiere un bien, éste empieza a perder valor por dos razones fundamentales: paso del tiempo y la intensidad de su uso.

Hay algunas excepciones a este principio, como lo serían los terrenos (bienes raíces) y los objetos considerados como antigüedades.

Lo que se va depreciando se va guardando en un fondo de depreciación para luego tomar de ese fondo lo necesario para reponer el bien. Regularmente el dinero se invierte para aumentar su capacidad de adquisición y aumentar el monto del fondo para cuando sea momento de usarlo para reponer el bien depreciado.

La depreciación es el proceso mediante el cual se distribuye el costo de un activo en el tiempo de servicio útil estimado de éste. Considerando un posible valor de recuperación al final de la vida útil del activo. Existen varios métodos de depreciación, el más sencillo y utilizado es el "método de línea recta", y éste parte del supuesto de que la depreciación del activo depende básicamente del transcurso del tiempo (escritorios, sillas, inmobiliario en general); en segundo lugar están los "métodos basados en la producción" y el "método de las horas trabajadas". Estos métodos sirven para depreciar maquinarias y equipos donde el valor del activo depende básicamente de su uso.

En tercer lugar están los "métodos acelerados" que son 3:

Método del % variable aplicado al costo depreciable.

Método del % fijo aplicable al valor en libros.

Método de los números de los dígitos.

Factores a considerar al calcular la depreciación por períodos

Costo original (C.O.): es el costo del bien más transporte más instalación más impuestos, etc. Es decir, es el costo del bien más todo lo que me cueste poner ese equipo a funcionar adecuadamente.

Vida útil estimada: es el tiempo que para mí va a ser útil ese activo.

Valor de recuperación (VR): es la cantidad de dinero que la empresa estima que podrá recuperar al final de la vida útil de ese activo o bien.

Costo depreciable (CD): es la cantidad del costo del activo que se va a depreciar, es igual al costo original menos el valor de recuperación (CD = CO – VR).

Método de línea recta: (por lo general se utiliza en mobiliario). La depreciación por período, en este método, es igual en todos los períodos. La depreciación por períodos es la distribución del costo depreciable (CD) en el período de vida útil de ese bien.

Ej.:

Una empresa compró mobiliario para todas sus oficinas por un valor que ascendió a un costo de RD$145,500. Además se pagó un flete de RD$2,200, se estima que tendrán una vida útil estimada de 5 años y que podrán ser vendidos por RD$7,000 al final de la misma. Determine la depreciación promedio anual y elabore una tabla donde se muestre el valor en libros de cada año. (Nota: DPP = depreciación por período; DPA = depreciación acumulada; VL= valor en libros) CO = 145050 + 2200 = 147700 VR = 7000 CD = CO – VR = 147700 – 7000 = 140700 VUE = 5 años DPP = CD/VUE = 140700/5 = 28140

Observaciones: (El valor en libros al final de la vida útil tiene que ser igual al valor de recuperación (en el ejemplo anterior RD$7,000).

(La depreciación acumulada al final de la vida útil debe ser igual al Costo Depreciable. (en este caso RD$140,700).

(El período cero (0) es el momento en que se ejecuta la compra, por lo tanto no se le aplica ninguna depreciación.

(El valor en libros en el período cero (0) es igual al costo original (en el ejemplo anterior RD$147,700)

Métodos basados en la producción

Hay varios métodos basados en la producción:

• 1. Método de las unidades producidas.

• 2. Método de las horas trabajadas

Método de las unidades producidas:

En este método se supone que el activo pierde valro en la medida en que produce unidades, sin tomar en consideración el tiempo que se lleve producir cada unidad.

Ej.:

Julio compró una fotocopiadora para su oficina cuyo costo ascendió a RD$60,000. Se le calculó un valor de recuperación (VR) de RD$12,000, y una vida útil (VUE) de 600,000 copias.

Julio le calculó a la fotocopiadora un rendimiento de 200,000 copias el primera año; el 2do año: 180,000; el 3er año: 140,000; el 4to año: 80,000 copias.

Determine la depreciación por período y construya una tabla de depreciación.

CO = 60,000 VR = 12,000 CD = CO – VR = 60,000 – 12,000 = 48,000 pesos VUE = 600,000 copias Primero determinamos cuánto cuesta la depreciación de una unidad. La depreciación por unidad (dpu) se obtiene dividiendo el costo depreciable entre la cantidad de copias estimadas de la máquina:

dpu = 48,000/600,000 = 0.08 pesos Esto quiere decir que cada copia cuesta 0.08 pesos de depreciación. Con este dato podemos obtener la depreciación de cada año, porque ya sabemos cuántas copias tiró la fotocopiadora cada año, por lo tanto sólo hay que multiplicar la depreciación por unidad (dpu) por la cantidad de copia de cada año para obtener las depreciaciones de cada año:

Año 1: 200,000 copias × 0.08 = 16,000 pesos.

Año 2: 180,000 copias × 0.08 = 14,400 pesos.

Año 3: 140,000 copias × 0.08 = 11,200 pesos.

Año 4: 80,000 copias × 0.08 = 6,400 Tabla de depreciación

Método de las horas trabajadas:

Se basa en las horas de servicio que las maquinarias prestan a la empresa. Pierden valor en la medida en que se usan al igual que en el método anterior.

Ej.:

Se compró una planta eléctrica por RD$180,000 con gastos de instalación de RD$18,000 y otros RD$2,000 de transporte.

Se estima su valor de recuperación de RD$25,000 y una vida útil de 35,000 horas. La vida útil se distribuye de la siguiente manera:

1er año: 8,000 horas; 2do año: 7,500 horas; 3er año: 7,200 horas; 4to año: 6,500 horas; 5to año: 5,800 horas.

Determine la depreciación por período de esta planta eléctrica.

CO = 180,000+18,000+2000 = 200,000 VR = 25,000 CD = 175,000 VUE = 35,000 horas CD = CO – VR = 200,000 – 25,000 = 175,000 dpu = CD/VUE = 175,000/35,000 = 5 pesos Depreciación por período y tabla de depreciación:

Año 1: 8000 × 5 = 40,000 Año 2: 7500 × 5 = 37,500 Año 3: 7200 × 5 = 36,000 Año 4: 6500 × 5 = 32,500 Año 5: 5800 × 5 = 29,000

Métodos acelerados Estos parten del supuesto de que el activo a que se le aplica pierde valor con mayor intensidad al inicio de su vida útil más que al final. Algunos de los activos a los cuales se les puede depreciar con métodos acelerados son la mayoría de vehículos y la mayoría de maquinarias. Los métodos de depreciación acelerados son los siguientes:

• 1. Método del % variable con aplicación en el Costo Depreciable (CD)

• 2. Método de la suma de los años.

• 3. Método del % fijo con aplicación al Valor en Libros (VL) del período anterior.

Método del % variable con aplicación en el Costo Depreciable (CD):

En este método, la sumatoria de todos los porcientos utilizados debe ser igual al 100%.

Ej.:

Se compra una camioneta a RD$585,000. Se le estima una vida útil de 5 años y un valor de recuperación de RD$60,000. Se consideró que el valor se reducirá 40% el 1er año; 25% el 2do año; 15% el 3er año; y un 10% el 4to y 5to año.

CO = 585,000 VR = 60,000 VUE = 5 años.

CD = CO – VR = 585,000 – 60,000 = 525,000 Año 1: 525,000 × 40% = 210,000 Año 2: 525,000 × 25% = 131,250 Año 3: 525,000 × 15% = 78,750 Año 4: 525,000 × 10% = 52,500 Año 5: 525,000 × 10% = 52,500

Método de la suma de los años:

En este método la tabla de depreciación por período varía con el número de años de vida útil estimada y con el período considerado.

Procedimiento:

• 1. Se toma el número (dígito) que representa los años de vida útil del bien a depreciar.

• 2. Se suman todos los números enteros, desde el número que represente la vida estimada hasta el número 1 en orden descendente (Algo así como el factorial de ese número) (Ej.: Si son 5 años de vida útil se suman 5+4+3+2+1 = 15; Si son 4 años de vida útil se suman 4+3+2+1 = 10 ; etc.)

• 3. Se divide cada uno de los dígitos entre la suma encontrada en el paso 2.

Ej.: Un camión fue adquirido por RD$610,000; se le estimó una vida útil de 4 años y un valor de recuperación de RD$185,000.

Calcule la DPP y construya la tabla.

CD = CO – VR = 610,000 – 185,000 = 425,000 Tiempo: 4 años 1+2+3+4 = 10 Año 1: 4/10 = 0.4 × 425,000 = 170,000 Año 2: 3/10 = 0.3 × 425,000 = 127,500 Año 3: 2/10 = 0.2 × 425,000 = 85,000 Año 4: 1/10 = 0.1 × 425,000 = 42,500

Método del % fijo con aplicación al VL del período anterior

Se puede utilizar la fórmula:

d = 1 – n(VR/CO Otra manera, es escoger un porcentaje al azar (aleatoriamente), pero con la única condición de que ese número no puede exceder al doble + 1 del porcentaje de depreciación que pudiéramos obtener mediante el método de línea recta (es decir, dividiendo el CD entre la vida útil) Ej.: Un carro es adquirido a RD$395,000. Se le estima una vida útil de 4 años y un valor de recuperación de RD$125,000.

Calcule la DPP Para este ejercicio vamos a tomar una tasa aleatoria, digamos un 30% anual.

CD = CO – VR = 395,000 – 125,000 = 270,000 d = 30% (valor escogido al azar)

Nota: este método, cuando se utiliza una tasa de depreciación aleatoria, permite realizar un reajuste en el último período. Como se puede apreciar en el ejercicio anterior, es necesario hacer un reajuste para lograr que el VL en el último período sea igual al VR y para que la DPA sea igual al CD.

La tabla anterior, con el último período reajustado debería ser así:

Ahora bien, si hubiésemos utilizado la fórmula, este reajuste no hubiese sido necesario. Veamos:

d = 1-4?VR/CO d = 1-4?125,000/395,000 d = 1-4?0.3165 d = 1 – 0.7499 d = 25% aproximadamente Entonces la tabla sería:

Como se puede notar, los ajustes que hay que hacer en esta tabla son mínimos. Sólo hay que reducir la depreciación del último período en 22 pesos, para que todo caiga en su lugar. Si le quitamos 22 pesos el último período se vería así:

Y todo está en su lugar. El VL es igual al VR y el DPA es igual al CD

LOS INTERESES

En este curso hablaremos sobre Interés simple y sobre Interés compuesto.

El interés es el costo del dinero. Este interés puede ser simple o compuesto y se expresa en porcientos (%). Para calcular el interés se toman en cuenta tres elementos: el capital, la tasa de interés y el tiempo.

Ej.:

Juan toma prestado a Pedro RD$10,000. Pedro quiere prestar a una tasa de 3.5% mensual. Pedro le dice a Juan que le prestará el dinero durante un año solamente. El interés mensual va a ser igual a:

I = Cjt; Donde: I = interés; C = capital; j = tasa; t = tiempo.

I = 10,000 × 3.5% × 12 meses (1 año) I = 10,000 × 42% I = 4,200 S = monto a pagar.

S = C + I S = C + Cjt (sustituyendo I por su equivalente) S = C(1+jt) (factorizando)

Factores a considerar para el cálculo del interés

Capital o principal: es la suma prestada o invertida en una operación por una persona natural o jurídica.

Tiempo: es la duración del lapso en el que se calcula el interés. Es decir, el plazo de la operación. Las unidades cronológicas utilizadas generalmente son el año, el mes o el día.

Tasa o porciento de interés: representa la medida o el precio del interés. Es la razón del interés ganado al capital en la unidad de tiempo.

Interés: es el beneficio o ganancia que se obtiene cuando una persona o entidad presta o invierte su capital.

Interés simple vs interés compuesto

Si el interés devengado en una operación se paga al inversionista al final de cada unidad de tiempo el interés se denomina simple. En este caso el capital, la tasa y el interés permanecen invariables por unidad de tiempo.

Si, por el contrario, el interés ganado al final de cada período no se paga al prestamista sino que se agrega al capital, es decir, se capitaliza, el interés resultante se conoce como interés compuesto.

Ej.:

Se prestan RD$10,000 a una tasa de 36% anual por un tiempo de 3 años.

Si fuera interés simple el monto a pagar se calcularía así:

I = Cjt I = 10,000×36%×3 I = 10,000×0.36×3 I = 10,000×1.08 I = 10,800 S = C + I S = 10,000 + 10,800 S = 20,800 (la persona terminará pagando 20,800 pesos) Si lo calculamos con interés compuesto Año 1: I = 10,000×0.36×1 = 3,600 Año 2: I = 13,600×0.36×1 = 4,896 (notar que al capital se le agregaron los 3,600 que generó de intereses el período anterior Año 3: I = 18496×0.36×1 = 6,658.56 Por lo tanto, al final de los tres años, habrá que pagar de capital e intereses. Sumamos los intereses que se generaron cada año y se lo sumamos al capital inicial de 10,000 S = 10,000+3,600+4,896+6,658.56 S = 25,154.56 Ej.:

Qué cantidad de dinero depositado en un banco que paga 18% de interés anual produce un interés tal que permite gastar 100 pesos diarios durante un año? t= 365 días I = 100 pesos diarios I anual = 36,500 I = Cjt C = I/jt (despejando C) C = 36,500/0.18×1 C = 36,500/0.18 C = 202,777.78 Se necesitan 202,777.78 pesos depositados en ese banco para ganar intereses de 100 pesos diarios.

El interés simple se utiliza generalmente para operaciones en el plazo inferior a un año. En la práctica comercial casi todas las transacciones en base a interés simple se hacen con una duración inferior al año, considerando 3 tipos de interés de acuerdo a la conveniencia de las instituciones que prestan.

Interés ordinario: el cálculo de interés se hace basado en un año comercial de 360 días y los días se calculan en base a meses de 30 días cada uno.

Interés exacto: el cálculo del interés se hace basado en un año normal de 365 o 366 días y el tiempo se calcula de acuerdo a los días que presente los meses en el calendario.

Interés bancario: la base que se emplea es un año de 360 días pero el cálculo de los días se hace de forma exacta.

Io = Cjt/360 Ie = Cjt/365 Ib = Cjt/360 Ej.:

Si calculamos el período que va desde el 15 de enero hasta el 10 de junio:

En el interés ordinario serían 145 días.

En el interés exacto serían 146 días.

Si tenemos un capital de RD$1,000 prestados a una tasa de 18% anual durante ese tiempo:

Io = 1000×0.18×145/360 = 72.50 Ie = 1000×0.18×146/365 = 72.00 Ib = 1000×0.18×146/360 = 73.00 Aquí podemos apreciar la diferencia que significa cada manera de calcular el interés. Es obvio que de 72 a 73 pesos la diferencia es insignificante. Recordemos que este caso involucró un préstamo de sólo 1000 pesos, entonces ¿Cuánto sería la diferencia cuando se trate de un préstamo de millones de pesos que se necesite para un negocio? También es válido hacer notar que el cálculo del Interés bancario es como un proceso híbrido que mezcla los otros dos métodos (el ordinario y el exacto), y es también el que genera un resultado mayor.

Los dos tipos más aplicados son el Interés ordinario y el Interés bancario.

Al calcular intereses en operaciones que se lleven a cabo en otros países hay que tomar en cuenta las prácticas y modos de ese país. Puede que en otros países el cambio de fecha en asuntos comerciales sea a una hora distinta, puede además que la práctica sea no contar el día en que se concede el préstamo o, por el contrario, sí contar ese día en el cálculo de los intereses.

Aplicaciones del interés simple

Pagarés:

Es una obligación escrita de pagar una suma de dinero de acuerdo a ciertas regulaciones. En el pagaré se especifican los siguientes datos.

Fecha de emisión: indica el día en el cual el deudor contrae la obligación de pagar una cantidad de dinero en el futuro.

Plazo: es el tiempo especificado claramente en el documento, se expresa en número de meses o de días.

Valor nominal: indica la cantidad que se tomó prestada.

Fecha de vencimiento: es la fecha en la cual debe ser pagada la deuda.

Valor de vencimiento: es la cantidad total que debe pagar el deudor al acreedor en la fecha de vencimiento e incluye el pago del valor nominal más los intereses ganados.

Tasas de interés: porciento que debe pagar el deudor por haber recibido a título de préstamo el valor nominal.

Ej.:Un pagaré de RD$10,000 pesos se firmó el 15/05/00 con el objetivo de saldar finalizado el período de 90 días considerando una tasa de interés de un 38% anual, calcule el valor a vencimiento y la fecha de vencimiento.

Nota: en este tipo de ejercicio, el valor nominal del pagaré es lo mismo que el "capital" (C) del préstamo.

El valor a vencimiento es lo mismo que la suma a pagar (S) VN = 10,000 VV = ¿? FV = ¿? FE = 15/05/2000 T = 90 días j = 38% En este caso usemos interés ordinario:

VV = VN (1+jt) = 10,000 (1+0.38×90/360) = 10,000 (1.095) = 10,950 FV = 15/08/2000 (considerando que cada mes tiene 30 días) Ej.:

Un pagaré de 25,000 pesos fue emitido el 3 de marzo del 2000 por un plazo de seis meses a un 35% de interés anual.

Nota: en el planteamiento de este problema se puede observar que se ha tomado el mes como medida de tiempo. Si hablamos de meses hablamos de interés ordinario.

VN = 25,000 VV = ¿? FV = ¿? FE = 03/03/2000 t = 6 meses j = 35% VV = 25,000 (1+0.35*6/12) = 25,000 (1.18) = 29,375 FV = 3 septiembre del 2000 Pagos parciales sobre deudas con interés Una obligación financiera en vez de ser cubierta con un pago único generalmente se amortiza por medio de pagos parciales. Para tratar con este tipo de pagos utilizaremos dos métodos:

Método comercial En el método comercial se calcula el monto de la obligación al vencimiento y de este se reducen los pagos parciales y los intereses ganados por los mismos desde el momento en que se efectúan hasta la fecha de vencimiento de la obligación.

Ej:

Una deuda de 20,000 pesos al 18% anual por 8 meses está amparada por un documento de fecha 5 de marzo. El deudor efectuó dos abonos, el primero de 5000 pesos el 15 de junio y el otro de 8000 pesos el 30 de julio. Determine el valor de la deuda en la fecha de vencimiento.