Sea Z el conjunto de los números enteros.
donde denota el producto ordinario en Z.
I(f) (la imagen de f, por abuso de notación) es el conjunto de todos los números enteros no primos de valor absoluto distinto de uno.
El subconjunto I(f) 
{1,-1} que, de ahora en adelante llamaremos Z’, goza de las siguientes propiedades:
- Es cerrado respecto al producto ordinario de los números enteros.
- No es cerrado respecto de la suma ordinaria de los números enteros (al respecto, las indeterminaciones son los casos que dan resultados primos).
En este aspecto la estructura es análoga a la del conjunto de los irracionales elementales; este conjunto resulta cerrado respecto del producto y ampliamente abierto con respecto a la suma.
La tabla de la página siguiente muestra una partición del conjunto de los enteros positivos mayores que la unidad. Asociada a esa partición, hay una relación de equivalencia que divide al conjunto en clases. Los representantes mínimos de esas clases son números primos.
Con respecto a este asunto, cito un párrafo de la obra "Análisis Matemático 1", de J. Rey Pastor, P. Pi Calleja y C. A. Trejo, Editorial Kapelusz S. A., Nota 1 al Capítulo 1, parágrafo 1 -6, página 9, decimotercera tirada de la octava edición, febrero de 1.985, Bs.As.:
"Es importante observar que la relación de equivalencia no nace de la comunidad del carácter abstracto, sino que lo engendra. Por ejemplo. No podemos definir la semejanza como igualdad de forma, pues es justamente la relación de «semejanza» la que permite introducir la noción de «forma». Cada relación de equivalencia permite definir por abstracción un nuevo concepto."
Cuando leí este párrafo, me pregunté ¿cuál es el nuevo concepto que define la relación de equivalencia manifiesta en la tabla? Y si la relación engendra el concepto de número primo, ¿cuál es la relación?
No conozco ninguna técnica para obtener la relación de equivalencia a partir de la partición. Tampoco dieron resultado las consultas que realicé con personas más capacitadas; alguna de ellas manifestó dudas de que ello pudiera servir para algo. Con todo, sigo pensando que quizás esto sea lo que necesitamos para resolver ciertos problemas como el de la distribución de los números primos.
La idea no es nueva. He visto una tabla de divisores mínimos para cierto conjunto de números enteros en la famosa colección de tablas de Hoüel (logaritmos decimales, valores naturales de las funciones seno, coseno y tangente, etc.). Lo que hice es agrupar todos los números con un mismo mínimo divisor y formar una estructura de "cociente de un conjunto por una relación de equivalencia"; tan solo que no puedo determinar la relación a partir de los conjuntos.
Como se verá más adelante, elegí un camino inverso al que han seguido la mayoría de los matemáticos profesionales. Todos ellos han buscado un criterio para saber si un número es primo, lo mismo que una función que diera la distribución de todos los primos o, al menos, alguna expresión de grado mayor a la unidad que tuviera una infinidad de números primos, aunque contuviera valores compuestos. En las últimas dos no han tenido ningún éxito, pues no se conoce ninguna fórmula que dé solamente números primos ni tampoco alguna expresión algebraica de la que se esté seguro de que da infinitos valores primos, aunque sea mezclado con algún número de enteros compuestos.
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