´ ´ ˜ Prologo
La idea fundamental de esta notas confecionadas a modo de resumen (personal) es la de tener a mano un recordatorio de por donde iban los tiros. Solo se demuestran los teoremas fundamentales y se acompona el texto con una serie de ejercios m´as o menos trabajados. Es decir, estas notas estan confeccionadas a modo de refrito entre las notas de clase y de distintos libros cl´asicos como los siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Richard Durrett. Probability: Theory and Examples. Wadsworth & Brooks 1991. Z. Brze´zniak and T. Zastawniak. Basic Stochastic Processes. Springer SUMS 2005 Grinstead, C.M. Introduction to probability. http://www.dartmouth.edu/. Novo, V. Problemas de C´alculo de Probabilidades y Estad´istica UNED 1993. Quesada, V. et al. Lecciones de C´alculo de Probabilidad. Ed. d´iaz de Santos 1988. Montero, J. et al Ejercicios y Problemas de C´alculo de Probabilidades. Ed. d´iaz de Santos 1988. ADVERTENCIA: No est´an concluidas y es muy posible que hayan sobrevivido numerosas erratas. III
´ Cap´itulo 1
Variables aleatorias.
1.1. Eventos y Probabilidad. Axiom´atica de Kolmogorov.
De?nicion 1.1.1 De?nimos espacio muestral ? como el conjunto de resultados posibles. Supondremos que ? = Ø. Ejemplo 1.1.1 1. En el lanzamiento de un dado ? = {1,2,3,4,5,6}. 2. ´ Cualquier proceso de contar, el numero de coches que pasa por una calle ? = N. ´ ´ ´ De?nicion 1.1.2 Se llama suceso aleatorio A, a cualquier subconjunto del espacio muestral ?, i.e. A ? ?.
De?nicion 1.1.3 Suceso complementario Ac, suceso uni´on A ? B, el suceso intersecci´on A n B. Si A n B = Ø entonces decimos que son incompatibles. Dados {Ai} decimos que forman un sistema completo de sucesos si son mutuamente excluyentes y ?Ai = ?.
De?nicion 1.1.4 Espacio de sucesos, F. Ideas intuitivas: Son las combinaciones de los resultados del experimento que nos interesa.
El conjunto de los sucesos aleatorios asociados a un experimento aleatorio con espacio muestral ?. De?nici´on formal: F es una colecci´on de subconjuntos de ? (F = P(?)) que veri?can: 1. Ø ? F, 1
CAPITULO 1. VARIABLES ALEATORIAS. 2 ´ 2.
3. i= si A ? F,=?Ac = ?A ? F, (Ai)8 1 ? F es una colecci´on numerable, entonces Ai ? F. ´ ´ ´ Observacion 1.1.1 Una familia F que veri?ca estas tres propiedades de dice que forma una s-algebra. Si la propiedad tres es ?nita (en vez de in?nita “numerale”) entonces F es un algebra.
Propiedades 1.1.1 Vemos que se veri?can las siguientes propiedades: 1. i= Si (Ai)8 1 ? F, entonces Ai ? F. 2. La intersecci´on de s-algebras forma otra s-algebra, pero no as´i la uni´on ´ ´ En efecto. Vemos que Ai c ? F, pero observamos que Ai c = i i= Ac ? F, ya que cada (Ai)8 1 ? F y por ´ ´ ´ ´ ˜ ´ lo tanto su complementario.
Con respecto a la segunda propiedad observamos que solo tenemos que demostrar que en realidad se veri?can las tres propiedades de s-algebra.
De?nicion 1.1.5 DadoA ? P(?),dondeA esunacolecci´ondesubconjuntosde ?,de?nimos s(A) comolaintersecci´on de todas las s-algebras (y por lo tanto la m´as pequena) en ? que contienen a A
De?nicion 1.1.6 Ya ?jados (?,F) entonces P es una probabilidad sobre F si:
P : F -? [0,1] ? R,
que veri?ca: 1. 2. i P(?) = 1, si {Ai}n =1 ? F, Ai n Aj = Ø =? P(?Ai) = ?i P(Ai). En otras palabras, P es una medida en (?,F) con medida de ?, P(?) = 1.
La idea intuitiva de probabilidad viene de la de frecuencia i.e. ´ ´ poblaci on de A poblacion total Propiedades 1.1.2 1. frec(A) =
P(?A) = P(Ac) = 1- P(A), 2.
3.
4. P(Ø) = 1- P(?) = 0.
P(A ? B) = P(A) + P(B) – P(A n B),
Si A n B = Ø =? P(A ? B) = P(A) + P(B).
Principio de inclusi´on-exclusi´on:
P(A ? B ? C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A n B) – P(A n C) – P(B n C) + P(A n B n C).
P(AB) = P(A)P(A n B), observar que: A = (AB) ? (A n B).
1.2. VARIABLE ALEATORIA. 3 5. Si A ? B, P(A) = P(B). ´ ´ i Observacion 1.1.2 A continuaci´on expondremos una lista de propiedades siguiendo el esquema de teor´ia de la medida.
Proposicion 1.1.1 Si {Ai}n =1 ? F (conjunto numerable de sucesos) P(?Ai) = ? P(Ai) i i= Teorema 1.1.1 Lema de continuidad. Si {Ai}8 1 ? F / Ai ? Ai+1, (sucesi´on mon´otona creciente) entonces
i-?8
Corolario 1.1.1 Sea Ai ? Ai+1, sucesi´on mon´otona decreciente, entonces
i-?8
Corolario 1.1.2 Para un numero in?nito de sucesos: ´ 8 P(?Ai) = 8 ? P(Ai) i ´ 1.2. Variable aleatoria.
De?nicion 1.2.1 V.A. Sea (?,F,P). Decimos que X X : (?,F) -? (R,B) : ? -? X(?) = x (B representa los Borel de R) es una variable aleatoria si X-1(B) = {? ? ? : X(?) ? B} ? F i.e. la imagen inversa de cualquier intervalo de R es un suceso de ?. X es una v.a. en (?,F,P) sii X es una fuci´on medible de (?,F,P) en (R,B) Tenemos dos tipos de variables aleatorias: 1. 2. Discreta. Continua. Ejemplo 1.2.1 La funci´on indicadora de A. es v.a. i.e. 1lA : ? -? R tal que 1lA = 1 0 / x ? A x ? A adem´as veri?ca las siguientes propiedades:
CAPITULO 1. VARIABLES ALEATORIAS. 4 ´
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