La ecuación equivale a la notación moderna 14x + 15 = 7 Reseña histórica: esde el siglo XVII aC. los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas. 1ª parte del Papiro de Rhind.
En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna. En el siglo VII los hindúes habían desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar números positivos y negativos. En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d´Eger inventó los símbolos "+" y "-" para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta.
En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =. En 1637 el matemático francés René Descartes fusionó la geometría y el álgebra inventando la "geometría analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z.
3 D
4 Introducción del concepto.
Pensar en la siguiente situación. Si se ubica una persona dos pisos del subsuelo de un edificio y quiere llegar al piso 6. ¿Cuántos pisos debes recorrer por el ascensor? Para comprender, interpretar y luego comprobar esta situación se necesitará tener en claro algunos conceptos.
1. Igualdades numéricas Comparar estas dos expresiones: Si se efectúan las operaciones, en los dos casos se obtiene 16. Son dos formas de expresar el número 16. Esta se puede escribir colocando el signo igual entre ellas: 5?11?8?9?1 1er miembro de la igualdad 2do miembro de la igualdad 2. Expresiones Algebraicas. Para facilitar la resolución de algunas situaciones, puede ser necesario utilizar expresiones con distinto tipo de símbolos.
Por Ejemplo. 3???2 16 ?16
Se dice que forma una igualdad numérica.
5 2.1. Expresiones algebraicas equivalentes. Al expresar una situación haciendo uso del álgebra, pueden surgir expresiones que parecen diferentes, pero no los son. Un ejemplo seria: a ?a ? 2a
Para demostrar que dos expresiones algebraicas son equivalentes, pueden utilizarse las definiciones y propiedades de las operaciones.
El lenguaje de las palabras, que puede ser oral o escrito, se denomina lenguaje coloquial. La matemática utiliza un lenguaje particular denominado lenguaje simbólico. 3. Monomios.
Antes de introducir el concepto, se consideró necesario hacer las siguientes aclaraciones:
a) El coeficiente 1 no se escribe:
b) En una expresión algebraica de tres términos, cada término es un monomio.
6 Grado: 3; Coeficiente: 3
No es un monomio, porque el exponente no es un número natural.
No es un monomio, porque la parte literal está dentro de una raíz.
No es un monomio, porque hay una suma. 3.1. Elementos de un Monomio ? Coeficiente El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a la variable. ? Parte literal
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes. Ejercicios:
1) Indicar cuál de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo indicar su grado y coeficiente, caso contrario justificar. ?
Parte Literal 3
Coeficiente a)
b)
c)
d)
7 4. Ecuaciones 4.1. Definición: 4.2. Solución de una Ecuación Para saber que valores asume la incógnita, en la ecuación dada, se busca cual es el número que al sumarle 7 da por resultado 8. Ese número es 1, pues 4.3. Se dirá que ? ?1 es la solución de la ecuación
Verificación. Verificar una ecuación es reemplazar el valor obtenido en la misma y comprobar que haga cierta la igualdad.
Ejemplo: Primer miembro
de la igualdad Segundo miembro
de la igualdad Se denomina ecuación a una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Los valores que la verifican se denominan soluciones de la ecuación y forman el conjunto solución de dicha ecuación.
Ej.
Incógnita ??7?8 1?7 ?8 ??7?8 ??7?7?8?7 ? ?1 ? Verificación: 1?7 ?8 8?8
8 2??2?2 ?8?2 6 2 2 2 ? ? 2? ? 6 ? ?3 5. Ecuaciones Equivalentes. Si se transforma una ecuación en otra utilizando las propiedades de las operaciones aritméticas o las propiedades de las igualdades, estas se denominan ecuaciones equivalentes.
Un ejemplo a proponer es la solución de la ecuación:
2??2 ?8 GRÁFICAMENTE
OBSERVACIÓN: Como se puede ver en el caso 1 ambas ecuaciones son equivalentes ya que la solución para ambas es .
Para el caso 2 sucede lo mismo que en el caso 1, las ecuaciones son equivalentes por lo que tienen por solución LENGUAJE SIMBÓLICO 1 2 3
9 6. Propiedades de las operaciones aritméticas 6.1. Propiedad Uniforme de la suma. En la práctica se utiliza la propiedad uniforme de la suma para dejar la incógnita sola en uno de los miembros de la ecuación y así encontrar su valor. ?
? Por ejemplo como en el siguiente caso:
Sumando 3 a los dos miembros: Como ?3?3? 0, queda:
Ejemplo 2:
? ?3
Regla de la suma
?? A?3? A ??3? 7 ??3?3? 7?3 ? ?10
GRÁFICAMENTE
GRÁFICAMENTE
10 6.2. Propiedad Uniforme de la multiplicación.
Esta, al igual que la propiedad anterior sirve para dejar la incógnita sola en uno de los miembros de la ecuación. ? Por ejemplo, si se tiene la ecuación: 2? ? 6 Se divide por 2 en ambos miembros: 6 2 ? 2? 2 Como la mitad de 2? es ?, queda: ? ? 3 ? Ejemplo 2: ? ?3
Regla del Producto 2? ? 2?3 GRÁFICAMENTE GRÁFICAMENTE
11 7. Reducción de términos semejantes. Se propone otro ejemplo de ecuaciones en el cual se plantean algunas variantes respecto a la anterior, como por ejemplo: Para resolver este tipo de ecuaciones antes de aplicar la ley uniforme es necesario realizar una reducción de términos semejantes de ambos miembros. Reducir términos semejantes significa unir según una operación dada, dos términos que cumplen con cierta característica. A continuación se verán unos ejemplos que resultan muy útiles.
Ejemplo 1: Imaginar que se está observando cinco autos amarillos y cinco autos azules, es decir se observa alrededor 10 autos. En estos casos es posible unir los términos en uno sólo, es decir 5??5?, se lo puede expresar en un solo término, 10? y resulta la expresión 5??5? ?10?
Ahora veamos el siguiente
ejemplo en el cual se ve una
situación diferente. 4??10?2? ?5??3??6 1
12 Ejemplo 2: Se tiene tres peras y 4 manzanas, se puede decir que tengo 7 manzanas o 7 peras? La respuesta es no!!.. Las peras son peras y las manzanas son manzanas, no las podemos representar como un solo término.
13 2 3 Se puede decir que “objetos iguales” se pueden juntar. En álgebra pasa lo mismo. Si se tienen dos o más términos iguales o semejantes, entonces se los podrá juntar, de lo contrario no.
1 Entonces, ¿Podemos juntar la expresión ? Sí porque son términos semejantes, podemos y juntar todas las obtenemos como resultado .
14 16 4 ? 4? 4 ? ? 4 1 Profesor: a) Resolver ahora la ecuación (1) planteada al comienzo reduciendo previamente a términos semejantes. b) Luego, leer el ejercicio (2) y resolver utilizando el lenguaje matemático considerando lo dado en el inciso 2.1. Pero antes se verá la propiedad distributiva en ecuaciones. Eliana: _ ¡Profesor, resolví el primero! Obtuve lo siguiente:
4??10?2? ?5??3??6 6??10 ? 2??6 6??10?10 ? 2??6?10 6??2? ? 2??2??16 4? ?16
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