Elementos Principales de un sistema de control de Datos Discretos. El muestreador es un mecanismo que entrega un tren de pulsos cuya amplitud corresponde a los valores de la señal análoga a muestrear en el instante que se produce el muestreo. (Gp:) Muestreador (Gp:) Filtro (Gp:) Proceso Controlado
Señal de entrada continua al muestreador t 0 e(t) t 0 e(t) Salida discreta del muestreador
Ejemplo de Sistema de Control Digital Prefiltro Proceso Controlado A/D Control Digital DA + – + – Control automático para un eje para el pilotaje automático de un avión. Giroscopio Transduct. Posición Comando Altitud
Prefiltro Proceso Controlado A/D Control Digital DA + – Sistema con muestreo múltiple Los muestreadores adquieren muestras de la señal con frecuencia constante, se cumple un periodo de muestreo. Los retenedores mantienen el valor de la señal retenida hasta que llega un nuevo valor correspondiente a una nueva muestra. Giroscopio TX Posición Retenedor Retenedor Comando Altitud
La Bucla Típica de Control Realimentada Computador Digital Actuador DA + – Sensor A / D Reloj Planta Proceso
Tratamiento (Data Login): Recoger la máxima información sobre el funcionamiento del proceso. Medición de variables y parámetros. Pretratamiento: – Normalizar – Convertir unidades – Linealizar parámetros Procesamiento: – Cálculos – Análisis estadística – Almacenamiento en dispositivos – Presentación en plantilla o impresora Funciones de un Computador de Proceso
Supervisión: – Alarmas: verificar el correcto funcionamiento del proceso – aviso de falla. – Asistencia: facilitar las operaciones normales del operador. – Indicación de acciones a ejecutar. Presentación: entrega información importante para la toma de decisiones en la operación de mando y control. CUANTIZACIÓN: En el proceso de conversión A / D o el proceso de representar una señal en un número finito de estados discretos, la precisión depende del # de bits de la palabra de cuantización.
Muestra Cuantización en tiempo Codificación Cuantización en amplitud Se define un nivel de cuantización Q que corresponde a la distancia entre dos niveles adyacentes de decisión. n = # de bits de la palabra de cuantización. El error de redondeo es: X = señal análoga. Xq = señal digital
El teorema del muestreo especifica que una señal de tiempo continua con componentes de frecuencia hasta WC rad/seg, teóricamente puede ser reconstruida sin distorsión si se muestrea a una velocidad mayor de 2WC rad/seg. En procesos con constantes de tiempo mayores se podrá utilizar un tiempo de muestreo más grande. Debe tenerse en cuenta: El equipo de medida: se recomienda diseñarlos con una Wcorte = ancho de banda de red cerrada. El rechazo a las perturbaciones: Se recomiendan frecuencias de muestreo entre 5 y 20 veces el ancho de banda de la respuesta al ruido en red abierta. En la medida en que se exijan tiempo de muestreo más altos, se requiere de conversores y microprocesadores más rápidos. Selección del Periodo de Muestreo.
La calidad del control: Generalmente disminuye con periodos de muestreos largos. Muestrear entre 8 y 10 veces durante el ciclo de oscilación amortiguada en la señal, si el sistema es sub-amortiguado. Muestrear de 8 a 10 veces la frecuencia del ancho de banda de red cerrada, el límite inferior teórico es 2. Muestrear de 8 a 10 veces durante el tiempo de subida si es sobreamortiguado.
Tipos de Señales Señal de Tiempo Continuo: (a) (b) Es una señal que tiene valores para todo instante de tiempo. Señal Análoga: Es una señal de tiempo continuo con un rango continuo de valores.
Señal de Tiempo Discreto: Es una señal definida solamente en instantes del tiempo generalmente iguales. Señal de datos muestreados Señal Digital Si la amplitud asume un rango continuo de valores se denomina señal de datos muestreado. Si los posibles valores están registrados a un conjunto de valores se denomina señal digital.
Muestreo y Cuantificación Existen varios tipos de muestreo: Muestreo Periódico: es el más usual, los instantes de muestreo están igualmente espaciados cada T segundos, sea T = KT, T: es el periodo de muestreo, con K =0,1,2,3,… Muestreo de Orden Múltiple: El patrón de tK`s se repite periódicamente: tK + r- tK = constante, para todo tK. Muestreo Múltiple: Sistemas de múltiples lazos que debido a la dinámica de cada lazo requieren diferentes periodos de muestreo. Muestreo Aleatorio: La variable tK es una variable aleatoria.
Tipos de Sistemas De acuerdo al tipo de señal: Sistema Análogo: Si sólo existen en él señales análogas se describen mediante ecuaciones diferenciales. Sistema de Tiempo Discreto: Si sólo existen en él señales discretas, se describen mediante Ecuaciones de diferencias. Sistema de Datos Muestreados: Tienen señales discretas (pulsos de amplitud modulada) y señales de tiempo continuo Sistema Digital: Si incluye señales de tiempo continuo y señales digitales en forma de código numérico.
Sistemas Discretos: Es el que procesa secuencia, es decir recibe una secuencia y entrega otra, la cual corresponde a una frecuencia preestablecida de la secuencia de entrada. Secuencia de salida = f (secuencia de entrada) En bloque funcional: Los sistemas discretos se clasifican en: Estática Dinámicos Causales No causales SISTEMA DISCRETO
Sistema Discreto Estática Sistema discreto estático: La salida en un instante de muestreo depende de la entrada en ese instante de muestreo Sistema Discreto Dinámico: La salida puede ser función de la entrada y la salida de índices de diferente orden al actuar Sistema Discreto Dinámico
Sistema Discreto Dinámico Causal: El elemento de salida puede estar influenciada por las salidas anteriores y por las entradas hasta el instante de muestreo en que se produce la salida. Sistema no causal: Este sistema puede generar elementos de índice superior al elemento de entrada, realizar una función a través de un algoritmo considerando los elementos generados y entregar una secuencia de salida Sistema Discreto Dinámico Casual Sistema Discreto Dinámico no casual
Secuencias: Definición: Un conjunto numerado de elementos en donde se hace corresponder a cada número entero el valor de modelos elementos del conjunto de valores de la señal de tiempo discreto. Una secuencia se representa como {Xk}, donde K es el entero asociado a cada elemento e indica el orden de ubicación relativa de ese elemento dentro de la secuencia, K puede ser positiva o negativa. Se escoge el índice 0 para indicar el elemento que se encuentra ubicado en el origen de referencia y que define la frontera entre los valores positivos y negativos del índice K. Ejemplo:
De igual forma también se puede expresar colocando los elementos en el orden en que se encuentran en la secuencia. Puede también especificarse
Secuencia impulso unitario: Secuencia escalón unitario:
Secuencia exponencial:
Secuencia Sinosoidad
Muestreo de Señales Continuas: El muestreador es un dispositivo lineal, cumple con el principio de superposición
Durante el instante del muestreo el muestreador toma la señal continua y toma la forma de la Fig. (a) para el desarrollo matemático el muestreador actúa en un , el área bajo el impulso es igual al valor o magnitud de la señal continua en el instante del muestreo, el impulso en el punto del muestreo es dado por: Donde es el impulso muestrario. Un muestreador con salida como la ecuación es como muestreador impulso ideal. La secuencia de impulsos a la salida del muestreador es:
Nota: Tomando TL a ambos lados de la ecuación
Reconstrucción de señales continuas a partir de señales discretas Considere la señal de control producida intermitentemente cada T segundos por un computador expresado por una serie de impulsos:
Retenedor de orden cero Ideal Retenedor de primer orden
Una simple manera de convertir una señal discreta en una señal continua es sostener la señal discreta en el valor constante ___________ hasta que el siguiente valor llegue. Entonces si es el resultado de la señal continua, para En particular, para y para para La ecuación anterior corresponde al retenedor de orden cero
Considerando dos valores discretos sucesivos, y se asume que el siguiente periodo , la señal continua puede ser dada por una extrapolación lineal de los dos valores previos para y La ecuación anterior corresponde al retenedor de primer orden. El retenedor de primer orden requiere al menos de dos valores para hacerlo. Construcción de la señal continua, en tanto que el de orden cero requiere de un solo valor. Nota: 1. El fundamento matemático del retenedor independiente del orden es:
Considere una señal continua , el cual debe ser constante de valores discretos La serie de Taylor alrededor del valor muestreado es dado por: Si consideramos solo el término de orden cero, entonces el retenedor de orden cero es: , Si consideramos el término constante y el de primer orden:
La derivada de , puede ser aproximada por: Entonces el elemento retenedor de primer orden: 2. La salida del elemento retenedor de orden cero es un pulso con una altura constante igual a y una duración La transformación de Laplace del retenedor es:
La F. de T. del retenedor de orden cero es: 3. De igual forma la F. de T. del retenedor de primer orden es:
Conversión de modelos continuos o modelos discretos Control Digital D/A Convert. retenedor proceso A/D Convert. Ref. + –
Caso modelo discreto del retenedor digital PID Sea el valor muestreado en el instante de muestreo, al compararlo con el valor del resulta en: , la acción central proporcional es: La acción de control integral es basado en la integración del ERROR sobre un periodo de tiempo como los valores del ERROR son variables en modo discreto, entonces la Puede ser aproximado por integración numérica (usando integración rectángular) Área =
Entonces la acción de control en modo integral está dado por: Para el modo derivativo necesitamos una evaluación numérica de la derivada
La aproximación de primer orden para la derivada es: Entonces la acción de control en el modo derivado es: La acción de control para el PID digital es modulada: La ecuación anterior es conocida como ecuación de diferencias Ejemplo: modelo en tiempo discreto de un proceso de primer orden.
Dado un proceso no lineal de primer orden: Aproximando la derivada por diferencia de primer orden ; entonces en un instante de tiempo dado Para un sistema lineal de primer orden
Usando la aproximación de la derivada, entonces resulta en: Ejemplo: modelo discreto para un proceso de segundo orden Dado el sistema lineal La aproximación de la derivada de primer orden ;
Para la segunda derivada Entonces al reemplazar en la ecuación del modelo