Los números complejos (página 3)

b) La intensidad de la corriente total.

10_ Calcular la intensidad de fase  y el factor de potencia en la instalación trifásica de la figura 1, con carga equilibrada, si la tensión de línea es de 220 V, 50 Hz.

Anexo Nº 3

Universo vocabular

Analizar: esta operación consiste en separar el todo de sus partes de acuerdo a un plan o a una forma concreta de razonar. Se opone a la síntesis. El análisis estructural se realiza en un orden no intencionado. El análisis operativo se realiza en base a pasos secuenciados.

Calcular: es el procedimiento a través del cual se aplican ciertas fórmulas o algoritmos, con el fin de obtener el resultado buscado de un problema.

Clasificar: separar o dividir en grupos conceptos, objetos, eventos o personas de acuerdo a elementos, factores o características comunes. Incluye el colocar al grupo una etiqueta que comunique las características esenciales.

Comprensión: es el proceso mediante el cual se llega a entender el significado intencional que un autor o un orador le está proporcionando a lo que escribe o dice.

Definir: fijar con claridad y precisión el significado de una palabra o naturaleza de una cosa.

Fórmula Matemática: es la representación, por medio de números, letras y operadores matemáticos, de una regla o un principio general. Por ejemplo la fórmula para calcular el área de un rectángulo es:

Resolver: es encontrar y aplicar un método o vía que conduzca a la solución de un problema matemático.

Teorema: proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia ya aceptadas.

Ley: Regla y norma constante e invariable de las cosas, nacida de la causa primera o de las cualidades y condiciones de las mismas.

La ley de Ohm: define una propiedad específica de ciertos materiales por la que se cumple la relación.  V= I . R ; V: Diferencia de Potencial

R: Resistencia; I: Intensidad de la corriente

La ley de Kirchoff para los Nudos ( LKN): En todo nodo, donde la densidad de la carga no varíe en un instante de tiempo, la suma de corrientes entrantes es igual a la suma de corrientes salientes

La ley de Kirchoff para Las Mallas (LKM): En toda malla la suma de todas las caídas de tensión es igual a la suma de todas las subidas de tensión.

Impedancia (Z): Relación entre la tensión alterna aplicada a un circuito y la intensidad de la corriente producida. Se mide en ohmios.

Resistencia ( R): Dificultad que opone un circuito al paso de una corriente.

Anexo Nº 4

Teniendo en cuenta la guía de trabajo numero 3 se eligió la actividad nº 7.

Resolver la siguiente situación Problemática.

Un circuito en serie-paralelo constituido por dos impedancias Z1= 6+3j(Ohmio); Z2=5-8j (Ohmio), en paralelo y en serie con impedancia Z3=4+6j (Ohmio).El circuito total esta conectado a una red de 110 voltios y 50 periodos. Determinar:

d)       La impedancia del sistema en paralelo.

e)       La impedancia del circuito completo.

f)         La intensidad de la corriente total.

1_ Comprender El Problema

Como primera medida los alumnos para "comprender el problema", lo leyeron varias veces con el propósito de tener en claro los datos con los que se cuenta, las condiciones que relacionan esos datos y lo que se desea averiguar.

         Datos: – Z1= 6+3j (Ohmio)                    Incógnitas: – La impedancia del sistema en paralelo

      – Z2=5-8j (Ohmio)                                                 – La impedancia del circuito completo.

      – Z3=4+6j (Ohmio)                                                 - La intensidad de la corriente total

             -El circuito total esta conectado

             a una red de110 voltios y 50 periodos

2_ Trazar Un Plan Para Resolverlo:

Descubrir las relaciones entre los datos y la incógnita. Puede verse obligado a tomar en cuenta problemas auxiliares si no encuentra una relación inmediata. Debe llegar a tener un plan de resolución

Concepción de un plan:

¿Se ha encontrado antes con el problema?, ¿Lo ha visto de forma diferente?, ¿Conoce algún problema relacionado?, ¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil? Revise la incógnita. Intente recordar algún problema familiar que tenga una incógnita igual o parecida. ¿Puede replantearse el problema? Si no puede resolver el problema propuesto, intente resolver primero algún problema que se relacione con el mismo. ¿Puede imaginarse un problema más sencillo, relacionado con éste?, ¿Algún problema más general?, ¿más particular?, ¿Análogo? ¿Puede resolver alguna parte del problema? Mantenga sólo una parte de las condiciones, abandone la otra parte. ¿Hasta qué punto se determina entonces la incógnita, cómo puede variar? ¿Podría extraer algo práctico a partir de los datos? ¿Puede pensar en otros datos adecuados para hallar la incógnita?   ¿Puede cambiar la incógnita, o los datos, o las dos cosas si hace falta, para que la incógnita esté más próxima a los datos nuevos? ¿Ha utilizado todas las condiciones? ¿Ha tomado en cuenta todos los elementos esenciales que intervienen en el problema?

                       V= I . R

3_ Poner En Práctica El Plan

Ejecución del plan

Cuando lleve a cabo su plan de resolución, compruebe cada paso. ¿Puede ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede demostrar que es correcto?

·         ¿Cómo plantearíamos esta situación para hallar el primer Inciso?

_Debido a que las impedancia están expresada como un numero complejo en forma binómico, aplicando la formula de Req de dos resistencia en paralelo los alumnos se dieron cuenta que podían aplicar las operación de producto y división de dos números complejos para  poder hallar Zeq; por lo tanto obtendremos:

·         ¿En que forma (paralelo o serie) queda Z3 respecto a Zeq?

_Debido a que Z1 y Z2 se transformaron en una sola impedancia, Z3 y Zeq se encuentran en serie, entonces para hallar Zeq, total se plantean las siguientes preguntas.

·         ¿Cómo podemos hallamos Zeq en un circuito en serie?

_La resistencia en serie de un circuito en serie se determina de la siguiente manera:

 _Entonces, la impedancia total del circuito será igual a:

      _ Para hallar el Inciso c planteamos la siguiente pregunta: 

·         ¿Cuántas incógnitas tenemos si planteamos la ley de ohm para el inciso a)?

_ La ley de Ohm: define una propiedad específica de ciertos materiales por la que se cumple la relación.  V= I . R ; V: Diferencia de Potencial

       R: Resistencia o impedancia (Z);    I: Intensidad de la corriente

_ Como conocemos la impedancia y la tensión, podemos despejar la intensidad de la   corriente; Entonces:

      _ Con lo cual queda resuelta la situación Problemática.

4_ Comprobar Los Resultados

_Por último debían  "evaluar el plan", es decir realizar una visión retrospectiva verificando   los resultados y realizando conclusiones.

_Luego de obtener resultados satisfactorios en las respuestas de nuestros alumnos se les aclaró la importancia de las mismas en todo problema.

      _Como conclusión se les explicó a los alumnos lo siguiente:

En esta clase a partir de estos ejemplos hemos llegado a establecer la diferencia entre:

·         Ejercicio: en este no existe ninguna referencia verbal, solamente la exigencia bajo la forma de cálculo.

·         Ejercicio con texto: en este la operación a realizar está indicada desde el inicio precisándose claramente las condiciones y exigencias.

·         Problema con texto: solo se dan algunas indicaciones verbales. Su solución requiere de un análisis integral y complejo de la situación que se describe.

·         Las funciones de este problema son

_ De enseñanza: permite al alumno la adquisición, ejercitación, a partir de sus conocimientos previos.

_Educativa: El problema está pensado para que trabajen en grupos (socialización) y discutan su producción (tienen que respetar las ideas de los demás y participar activamente)

_De Desarrollo:  Se evidencia en los distintos procedimientos que expone el alumno en la puesta en común donde se optará por el correcto.

·         Clasificación del problema

_Problema con texto y gráfico porque se dan determinados valores de magnitudes.

_Problema de hallazgo y determinación porque plantea la necesidad de determinar algún valor

·         Los heurísticas utilizado en la resolución de problemas fueron

_Los pasos de Polya.

_Reglas heurísticas tales como Separar los datos y las incógnitas. Confeccionar una figura de un circuito de análisis, Recordar fórmulas.

_Estrategia heurística: Trabajo hacia adelante o método sintético.

·         Estructura especifica

           Relaciones que se presentan:

_Se establecen relaciones entre los datos (numéricos), y las operaciones a realizar.

_Relaciones de igualdad entre magnitudes, al hallar la las magnitudes de la impedancia e intensidad a partir de los números complejos.

Anexo Nº 5

Estructura General

Anexo Nº 6

Diário Del docente

            Comenzamos la clase con una breve introducción teórica, y luego proseguimos  trabajando con los primeros ejercicios de la guía práctica (ejercicios de familiarización). Luego de la resolución de los mismos, y sin mayores inconvenientes, prosigo con la aplicación de una estrategia grupal con el fin de resolver los demás puntos, con diferentes situaciones problemáticas que quedan pendientes en la guía práctica. Para ello solicito a la clase separarse en grupos que no superen los cuatros integrantes, los mismos deberán intentar resolver los ejercicios restantes sin la ayuda del profesor. Luego de  40 minutos, cada grupo elegirá un representante, el cual deberá explicar al resto de la clase, el problema en cuestión.

            Observo en el transcurso de los sesenta minutos, que varios grupos intentan solicitar mi ayuda. La desorientación, en gran parte de ellos, hace imposible llegar a una solución correcta. En algunos grupos se presentan debates referidos a los medios a utilizar para comenzar con el planteo, lo cierto es que solo un grupo logra avanzar luego de transcurrir cincuenta minutos de lo estipulado. Gran parte de ellos quedan solo en el primer punto, otros, sin llegar a una solución en el primero, pasan al segundo.

            Al momento de la exposición, solo son tres de los siete grupos los que logran resolver el primer ejercicio, dos el segundo punto y tan solo uno el tercer punto.

            Antes de finalizar la clase cada alumno en forma anónima e individual responde una encuesta.

Anexo Nº 7

Marco teórico del tema utilizado para desarrollar la metodología.

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado  se analizó el signo del discriminante  y su relación con  las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del conjunto de los números complejos.

Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.

Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra  al conjunto de los pares de números reales  en el cual definimos las siguientes operaciones:

Suma.

Multiplicación.

En el número complejo  llamaremos a  la parte real  y  a  la parte imaginaria. Note que la suma y producto de pares no está definida en .

Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:

Igualdad.  

Multiplicación por un escalar.   donde .

Ejemplo. Dados  y , hallar:

a)

b)

c)

Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano  (Gráfica 1) En esta representación se le dice  eje real (Re) al eje de las  y  eje imaginario (Im) al eje de las .

Gráfica 1: Representación del número complejo .

Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el plano  el número complejo  coincide con el  número real . De este modo tenemos  cuando . Los números complejos de la forma  son llamados imaginarios puros.

Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar :  

Para eso escribimos el número real  en la forma  y aplicamos la definición de multiplicación:

.

Denotaremos el número complejo  con la letra  y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil demostrar  que  .

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación .

Forma binómica de un número complejo

Sea   un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:

Pero como  y , entonces . En este caso  se llama forma binómica o binomia del número complejo.

Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica

,  puesto que  son todos números reales.

 porque .

Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.

Ejemplo.  Si   y , halle  y .

Conjugado de un número complejo

Si    es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número  , es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que  pero la parte imaginaria de signo opuesto.

Ejemplo. Si , entonces  y si , entonces .

Módulo y argumento de un número complejo

Sea  un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo , al número real dado por   y lo denotaremos por  . El módulo se interpreta como la distancia al origen del número  (Gráfica 2).

Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo , al ángulo comprendido entre el eje y el radio vector que determina  a . El argumento de  se denota por  y se calcula mediante la expresión:

.

Gráfica 2: Módulo y argumento de un número complejo.

Propiedad: 

Demostración:

División de números complejos

La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y división por el conjugado del denominador:

Ejemplo.  Dados   y , halle: (a)   y  (b) .

(a) Como   entonces  

(b) Para hallar  multiplicamos y dividimos por el conjugado .

Raíces complejas de la ecuación de segundo grado

Si el discriminante de la ecuación  es negativo, debe sustituirse el signo negativo por  y de esa forma se obtienen las raíces complejas de la ecuación.

Ejemplo. Resolver la ecuación .

Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:

Se puede ver que el discriminante es  lo cual puede escribirse como . Por lo tanto:

Así, las raíces complejas de la ecuación son:   y .

Ejercicios de la Sección 1.

2)       Dados los números complejos  y , halle:

            (a) , (b), (c) , (d) , (e) .

3)       Muestre que  es el elemento neutro para la suma de números complejos.

4)       Muestre que  es el elemento neutro para la multiplicación de números complejos.

5)       Calcule:

            (a) ,   (b) ,   (c) ,   (d)  ,   (e) .

6)       Calcule:

            (a) ,   (b) ,   (c) ,   (d) .

7)       Dado el número complejo  halle el par  tal que . Al par se le llama inverso multiplicativo de . Concluya que el par  es único y que el  no tiene inverso multiplicativo.

8)       Verifique que  .

9)       Verifique que  y  son conjugados.

10)   Calcule:

            (a) , (b) .

11)   Resuelva la ecuación .

12)   Halle  tal que .

13)   Calcule y represente en el plano complejo los números , tales que:

            (a) , (b) .

14)   Calcule y represente en el plano complejo los números  tales que:

            (a) , (b) , (c) .

15)   Resuelva la ecuación cuadrática .

16)   Resuelva la ecuación cuadrática .

17)   Resuelva la ecuación cuadrática .

18)   Resuelva la ecuación .

Forma trigonométrica o polar de un número complejo

La forma trigonométrica de un número complejo se establece observando el triángulo amarillo de la Figura 3:

Gráfica 3: Forma trigonométrica de un número complejo.

En este caso se tiene que  y que .

Luego:

Por lo tanto:

ésta es la llamada forma trigonométrica o polar del número complejo, la cual está en términos del módulo y el argumento. Se denota comúnmente por .

Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de   .

Hallemos  y  .

Note que  está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:

.

Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica

Sean  y , entonces . En otros términos:

Demostración:

Por lo tanto, la multiplicación de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado un número complejo cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los argumentos.

Autor:

Edgardo Verón