Apuntes sobre el 2_subgrupo de Sylow contenido en el grupo general lineal
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- Resumen
- Orden y caracterización matricial de un 2-subgrupo de sylow
- Caracterización matricial de un q-subgrupo de sylow contenido en
- Bibliografía
Un estudio sobre el 2-subgrupo de Sylow contenido en 
con n natural y p primo cualquiera en el que se obtuvo el orden de este subgrupo y una caracterización matricial de un 2-subgrupo de Sylow contenido en con n natural y p primo tal que 
, siendo 
y 
.
Se propone, además, un algoritmo que permite obtener una caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en con n natural y p primo cualquiera.
Al trabajar sobre un grupo finito
, resulta de interés el estudio de los subgrupos contenidos en él, cuyos órdenes son divisores del orden del grupo (Teorema de Lagrange). Pero como es sabido el recíproco de este teorema no se cumple, o sea en el grupo finito 
de orden 
pueden no existir subgrupos de orden d, divisor de
.
Sobre la existencia de subgrupos de un grupo finito, son especialmente notables las leyes que formuló el matemático noruego Sylow [ 1872] . Ellas se refieren a los p-grupos que en calidad de subgrupos están contenidas en y que en honor a esta matemático se llaman p-subgrupos de Sylow y que tienen como orden la mayor potencia de p que divide al orden de.
Una importante familia de grupos finitos es obtenida al estudiar los grupos de transformaciones sobre un campo de característica p>0. Al estudio de estos subgrupos se han dedicado numerosas investigaciones, en las cuales se enmarcan las que se han realizado sobre el grupo general lineal
, para un n natural y un p primo dado.
Para realizar un estudio del grupo general lineal donde n y p son respectivamente un natural y un primo cualquiera es importante conocer sus subgrupos. Es por ello que comenzaremos con un estudio del 2_subgrupo de Sylow.
Como el orden del grupo general lineal 
es: 
se puede afirmar después de un simple análisis que existe un 2-subgrupo de Sylow pero no podemos determinar de igual forma el orden de estos subgrupos. Solo sabemos que este orden es una potencia de 2.
Es importante determinar el orden de estos 2-subgrupos el cual no queda resuelto de forma inmediata, pero aun esto es insuficiente para un estudio de este subgrupo, por lo que a continuación nos proponemos en un primer capítulo darle respuesta a esta problemática y obtener una caracterización matricial para un 2-subgrupo de Sylow. En el segundo, utilizando la caracterización matricial obtenida en el capítulo 1 para un 2-subgrupo de Sylow contenido en 
, se determinan los primeros términos de la serie central superior; en el tercero se propone un algoritmo mediante el cual se puede obtener una caracterización matricial para un p-subgrupo de Sylow contenido en 
con n natural y p primo.
ORDEN Y CARACTERIZACIÓN MATRICIAL DE UN 2-SUBGRUPO DE SYLOW.
Como el orden de es se puede afirmar que en este grupo existe un 2-subgrupo de Sylow. Si p=2 los factores de la forma 
son divisibles por 2 
, siendo 
la mayor potencia de 2 que divide a cada uno de estos y el orden del 2-subgrupo de Sylow de 
es 
. Uno de estos 2-subgrupos de Sylow contenidos en está caracterizado por las matrices unitriangular superior.
Para p primo impar, cada uno de los factores
,
, 
,…,
es divisible por 2 ya que 
mod 2 (Teorema de Fermat) pero el orden de estos 2-subgrupos no esta determinado y por tanto no están caracterizados matricialmente estos subgrupos.
Es por lo anterior que en este capítulo en un primer epígrafe se aborda el orden de los 2-subrupos de Sylow contenidos en con n natural y p primo impar y en le segundo se muestra una caracterización matricial para uno de estos 2-subgrupos.
§1 Orden de un 2-subgrupo de Sylow contenido en con n natural y p primo (p
2)
Veamos primeramente las siguientes proposiciones:
Proposición 1: Para todo 
( p impar) y para todo 
se cumple que 
si y solo sí 
=1.
Demostración
Probemos que si =1 entonces 
por ser p impar
por propiedad de la potenciación
por propiedad de la suma
por trasitividad
Probemos ahora que si entonces =1.
Antes de continuar con la demostración, es válido hacer destacar algunas propiedades de los números naturales. [3]
- Todo número natural impar esta contenido en las formas 4n+1 y 4n-1
- Cuando el exponente de la potencia es par, la potencia de un número impar es de la forma 4n+1
Por lo anterior tenemos que 
=
=
=
Supongamos que si >1. Por tanto tenemos que.
(>1) por hipótesis
(>1) por las propiedades antes vistas
(>1) por propiedad de la congruencia mod q
(>1) por propiedad de la congruencia mod q, lo cual es una contradicción pues >1. Por tanto =1.
Lemma 1: Para todo 
(p impar) y 
(l par) se cumple que 
; donde 
y 
son el exponente de la mayor potencia de 2 que divide a 
y 
respectivamente, o sea; 
; (2,m)=1 y 
; 
y 
Demostración (ver anexo 1)
Después de haber visto la proposición y el lemma anterior podemos pasar a obtener , a partir de la expresión del orden del grupo general lineal 
, el orden del 2-subgrupo de Sylow contenido en el.
=
=
=
=
.
Pasemos ahora a analizar el factor
, pero hagámoslo de forma separada para i par e i impar.
- Caso i impar
Es fácil darse cuenta que para i impar el factor no es divisible por 2 dado que es una suma impar de potencias de un número impar.
- Caso i par
Dado que i es par existe 
tal que 
donde (2,m)=1 , o sea 
es la mayor potencia de 2 que divide a 
y por tanto 
es el exponente de la mayor potencia de 2 que divide a 
Luego 
y por el lemma 1 tenemos que 
, donde 
Como consecuencia del análisis anterior tenemos que el factor 
es divisible por 2 solo cuando i es par, lo que ocurre 
veces.
Además si definimos a 
tenemos entonces que 
=
, donde 
.
Denotando por 
al exponente de la mayor potencia de 2 que divide a 
entonces tenemos que 
De acuerdo con la definición de los términos 
tenemos entonces que 
, donde 
es el exponente de la mayor potencia de 2 que divide a n! y por tanto 
; 
[3].
Por tanto podemos afirmar que el orden del 2-subgrupo de Sylow contenido en 
con n natural y p primo impar es
, donde 
.
Pasemos ahora a ver como obtener , o lo que es lo mismo, el exponente de la mayor potencia de 2 que divide a p-1.
, m donde
y 
no son divisibles por 2.
, donde 
. De aquí que 
De forma análoga obtenemos, o sea, el exponente de la mayor potencia de 2 que divide a p+1; la cual es:
Pero como denotamos por 
al exponente de la mayor potencia de 2 que divide a un 
cualquiera entonces tenemos que 
y 
.
Por tanto:
§2 Caracterización matricial de un 2-subgrupo de Sylow contenido en 
En este epígrafe obtendremos una caracterización matricial de un 2-subgrupo de Sylow contenido en donde n es natural y p primo tal que 
, donde 
y 
.
El orden del 2-subgrupo de Sylow contenido en es:
, o lo que es lo mismo 
; forma ésta con la que trabajaremos en lo adelante.
Es importante destacar que para p primo de la forma considerada, o sea, 
; donde 
y 
; el orden del 2-subgrupo de Sylow contenido en es 
A continuación veremos como construir algunos subgrupos contenidos en 
que serán de gran utilidad para la caracterización matricial de este 2-subgrupo.
§§1 Subgrupos de orden 
,
y 
Consideremos las matrices de la forma 
y 
. Supongamos 
, donde 
, 
,
.
El subgrupo de orden 
está compuesto por las matrices que podemos agrupar en los siguientes formas.
- La matriz de la forma
constituye el neutro. - Las
matrices de la forma
,
,…,
, las cuales son obtenidas al combinar una matriz de la forma 
en m posiciones.
- Podemos obtener
matrices al combinar dos matrices de la forma en m posiciones. - Y así sucesivamente
matrices al combinar tres matrices de la forma , …, 
matrices al combinar 
matrices de la forma , hasta obtener una matriz donde todas sus células sean de la forma
Luego hemos obtenido en total 
matrices.
Para construir un subgrupo de orden 
consideremos las matrices 
y 
. Supongamos 
, donde 
, 
, 
.
El subgrupo de orden 
está compuesto por las matrices que podemos agrupar en los siguientes formas.
- La matriz de la forma
constituye el neutro. - Las
matrices de la forma
,,…,,
las cuales son obtenidas al combinar una matriz de la forma en m posiciones.
- Podemos obtener matrices al combinar dos matrices de la forma en m posiciones.
- Y así sucesivamente matrices al combinar tres matrices de la forma , …, matrices al combinar matrices de la forma , hasta obtener una matriz donde todas sus células sean de la forma
Luego hemos obtenido en total 
matrices.
Para construir un subgrupo de orden 
consideremos las matrices 
y 
. Supongamos 
, donde 
, , 
.
El subgrupo de orden 
está compuesto por las matrices que podemos agrupar en los siguientes formas.
- La matriz de la forma constituye el neutro.
- Las
matrices de la forma
,,…,,
las cuales son obtenidas al combinar una matriz de la forma en m posiciones.
- Podemos obtener matrices al combinar dos matrices de la forma en m posiciones.
- Y así sucesivamente matrices al combinar tres matrices de la forma , …, matrices al combinar matrices de la forma , hasta obtener una matriz donde todas sus células sean de la forma
Luego hemos obtenido en total 
matrices.
No hemos probado, lo cual es muy sencillo, que esos conjuntos de matrices forman un subgrupo del orden que se indica; esto lo dejamos al lector.
Es importante destacar que con un procedimiento análogo a los descritos es posible obtener subgrupos de ordenes 
, 
, …, 
; .
Estos subgrupos de ordenes
,
,
,…,
los denotaremos por 
, 
, 
,…, 
respectivamente.
Importante es el hecho de que al considerar las matrices 
y 
no con sus elementos uno, sino con elementos pertenecientes al 
ubicados en igual posición obtenemos entonces subgrupos de ordenes
,
,…,
() respectivamente; o lo que es lo mismo; 
,
,…,
con .
Denotamos a estos subgrupos por 
,
,
,…,
según corresponda.
§§2 Caracterización matricial de un 2-subgrupo de Sylow contenido en 
Visto lo anteriormente expuesto podemos pasar a dar una caracterización matricial de un 2-subgrupo se Sylow contenido en para n natural de la forma 
y p primo tal que 
donde 
y 
.
Primeramente veamos las siguientes proposiciones que serán de gran utilidad.
Proposición 2: Si 
, 
son subgrupos de un grupo G, el complejo producto
.
=
es un subgrupo de G si y solo sí 
y 
son permutables [2].
Proposición 3: Si 
, 
, …, 
son subgrupos de un grupo G, el complejo producto
.
…
=
es un subgrupo de G si y solo sí 
, 
, …, son permutables dos a dos.
El complejo producto de los subgrupos 
,
,…,
y 
es un subgrupo contenido . Como el orden de estos subgrupos es ,,,…, y 
respectivamente y además 
y 
entonces el subgrupo 
es de orden 
.
Como el subgrupo 
es un subgrupo contenido en 
cuyo orden es 
y es este precisamente el orden del dos subgrupo de Sylow contenido en 
entonces 
=
.
Por tanto para obtener una caracterización matricial de un 2-subgrupo de Sylow contenido en 
son necesarios los siguientes pasos.
- Determinar los subgrupos
- Efectuar el complejo producto
A continuación pasaremos a obtener una caracterización matricial para un 2-subgrupo de Sylow contenido en 
y para lo cual será de gran utilidad lo expuesto en este subepígrafe que acaba de concluir.
Si expresamos n en base 2, o sea 
donde 
, 
entonces:
=
+ 
+
+…+
Pero como 
tenemos que :
=
+
+
+…+1
=
+
+
+…+
Por otro lado 
Luego
=
=
Es importante indicar aquí que
Como 
, si definimos 
y 
entonces podemos definir el subgrupo 
.
Aquí 
y 
son matrices idénticas de dimensiones 
y 
respectivamente.
Es válido destacar que
, donde 
y
, donde 
.
Además si 
, 
definimos 
Luego, hechas todas las aclaraciones necesarias podemos afirmar que el complejo producto de los subgrupos 
, 
,…, 
contenidos en es un subgrupo contenido de orden 
.
Como el subgrupo 
es un subgrupo contenido en cuyo orden es 
, el cual es precisamente el orden del 2-subgrupo de Sylow contenido en entonces 
Hemos visto como construir un 2-subgrupo de Sylow contenido en para lo cual son necesarios los siguientes pasos.
- Expresar
donde , - Construir los subgrupos de Sylow contenidos en
, 
- Construir a partir de los
los subgrupos 
- Efectuar el complejo producto
…
De esta forma concluimos con este capítulo en el que de determinó el orden de un 2-subgrupo de Sylow contenido en para n natural y p primo cualquiera y se obtuvo una caracterización matricial para un 2-subgrupo de Sylow contenido en 
para n natural y p primo tal que 
, 
y 
CARACTERIZACIÓN MATRICIAL DE UN q-SUBGRUPO DE SYLOW CONTENIDO EN 
En el capítulo I se obtuvo una caracterización matricial de un 2-subgrupo de Sylow contenido en 
con n natural y p primo tal que 
, y 
; cuyo orden es:
, (
donde es el exponente de la mayor potencia de 2 que divide a 
.
En este capítulo obtendremos una caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en con n natural y p primo tal que 
, 
y 
; cuyo orden es:
, 
donde es el exponente de la mayor potencia de q que divide a . También se expondrán resultados que permitan obtener una caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en 
con n natural y p primo cualquiera; cuyo orden es:
, 
donde es el exponente de la mayor potencia de q que divide a 
y 
en 
§1 Caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en 
con k natural, q primo cualquiera 
y p primo tal que , y .
Veamos los siguientes resultados que serán de gran importancia.
A cualquier matriz 
de dimensión 
se le puede escribir en forma de unión de submatrices columnas de dimensiones 
, o sea , 
donde 
.
Sean en particular 
,
, …, 
; donde 
las submatrices cuya unión forma la matriz 
. Definimos la matriz 
donde 
de modo que 
es una matriz de dimensiones 
Proposición 1: El conjunto de las matrices 
es un subgrupo contenido en 
Demostración:
Es evidente, por la forma en que se define , que las matrices contenidas en el están contenidas a su vez en .
Sean 
y 
dos permutaciones arbitrarias y 
. Por definición en la i-ésima fila de la matriz 
y en la j-ésima submatriz columna de la matriz 
, los elementos distintos de cero serán , respectivamente, 
y 
. Por eso, para la matriz 
, la condición 
es equivalente a 
, o sea, 
y esto precisamente significa que 
.
En consecuencia es un subgrupo contenido en .
Proposición 2: Existe un homomorfismo sobreyectivo
tal que a la matriz 
se le hace corresponder la permutación
Demostración:
- Probemos que es un homomorfismo
- Probemos que es sobreyectiva
Por definición de las matrices 
, es evidente que para todo 
existe 
tal que 
.
Proposición 3: El 
del homomorfismo 
es:
Teorema : La aplicación 
tal que a la permutación 
se le hace corresponder la clase 
perteneciente al grupo cociente es un isomorfismo.
Demostración:
Por la proposición 2 tenemos que 
tal que a la matriz se le hace corresponder la permutación es un homomorfismo sobreyectivo; además como 
entonces por el primer teorema sobre el isomorfismo tenemos que es isomorfo a 
.
Estos resultados que acabamos de demostrar son de gran importancia para obtener la caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en y en general de otros subgrupos pues a partir del conocimiento de un subgrupo de 
de orden 
podcemos obtener un subgrupo en 
de oreden 
; siendo 
el orden del subgrupo 
.
Con la aplicación de los resultados anteriores y considerando 
, 
, 
y el q-subgrupo de Sylow contenido en 
, el cual es un subgrupo cíclico generado por la permutación 
entonces podemos obtener una caracterización matricial de un subgrupo de orden 
; constituyendo éste un q-subgrupo de Sylow contenido en 
el cual denotaremos por 
.
De esta forma, considerando 
, , 
y el q-subgrupo de Sylow contenido en , el cual es un subgrupo cíclico generado por la permutación entonces podemos obtener una caracterización matricial de un subgrupo de orden 
; constituyendo éste un q-subgrupo de Sylow contenido en 
el cual denotaremos por 
.
Así sucesivamente hasta considerar 
, , 
y el
q-subgrupo de Sylow contenido en , el cual es un subgrupo cíclico generado por la permutación entonces podemos obtener una caracterización matricial de un subgrupo de orden 
; constituyendo éste un q-subgrupo de Sylow contenido en 
; el cual denotaremos por 
.
Por tanto, como hemos visto, con este algoritmo descrito podemos obtener una caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en .
Es importante destacar que como el q-subgrupo de Sylow contenido en es un subgrupo cíclico de orden q este va a estar generado por cualquiera de los elementos que componen este q-subgrupo y por tanto tomando otros generadores; por ejemplo la permutación 
; y aplicando el algoritmo anterior podemos obtener una caracterización matricial diferente a la anterior para el q-subgrupo de Sylow contenido en .
Como consecuencia de esto podemos afirmar que los q-subgrupos de Sylow contenidos en con k natural, q primo cualquiera y p primo tal que , y no son invariantes [1]
§2 Caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en con n natural y p primo tal que , y .
Si expresamos n en base q, o sea 
donde 
y 
, entonces:
=
+ 
+
+…+
Pero como 
tenemos que :
=
+
+
+…+
=
+
+ 
+…+
Por otro lado 
Luego
=
=
Es importante indicar aquí que
Como 
, si definimos 
y 
entonces podemos definir el subgrupo 
.
Aquí y son matrices idénticas de dimensiones y respectivamente.
Es válido destacar además que para 
entonces 
,
Para 
entonces 
.
Si , definimos 
Hechas todas las aclaraciones necesarias estamos en condiciones de enunciar la siguiente proposición, cuya demostración dejamos al lector.
Proposición 4: El complejo producto de los subgrupos 
, 
,…, 
contenidos en es un subgrupo contenido en de orden 
.
Como el subgrupo 
es un subgrupo contenido en cuyo orden es , el cual es precisamente el orden del q-subgrupo de Sylow contenido en entonces 
Hemos visto como construir un q-subgrupo de Sylow contenido en con n natural y p primo tal que , y . para lo cual se hacen necesarios los siguientes pasos.
- Expresar
donde y , - Construir el q-subgrupos de Sylow contenido en
, - Construir a partir de los
los subgrupos 
- Efectuar el complejo producto
…
De esta forma concluimos con este epígrafe en el que se obtuvo una caracterización matricial para un q-subgrupo de Sylow contenido en para n natural y p primo tal que , y .
§3 Caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en 
con n natural y p primo tal que 
en 
El orden del q-subgrupo de Sylow contenido en con n natural y p primo cualquiera; cuyo orden es:
, (1)
donde es la mayor potencia de q que divide a y en .
En el epígrafe anterior trabajamos para obtener una caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en con n natural y p primo tal que 
en . Ahora mostraremos resultados que nos permitan obtener una caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en con n natural y p primo tal que 
en .
Al analizar la expresión (1) anterior nos damos cuenta que en 
el orden del q-subgrupo de Sylow contenido en este grupo es 
; resultado este que será de gran importancia en lo adelante.
Como son conocidos 
y 
podemos obtener 
tal que 
donde 
.
Abordaremos ahora en el siguiente subepígrafe el caso 
.
§§1 Caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en con n natural 
y p primo tal que en .
En el caso 
tenemos que el orden del q-subgrupo contenido en este grupo es:
, (1)
Por el epígrafe 1 de este capítulo ( considerando 
, 
y 
) podemos afirmar que:
tal que a la matriz
se le hace corresponder la permutación es un homomorfismo.-
- El del homomorfismo es:
se le hace corresponder la clase 
perteneciente al grupo cociente 
, es un isomorfismo. 
tal que a la permutación - Como
entonces en 
existe un subgrupo de orden 
; siendo s el orden de un subgrupo contenido en 
Si 
el orden del q-subgrupo de Sylow contenido en es 
. Además los subgrupos de Sylow contenidos en fueron descritos por Kaludznin [1961] , entonces podemos obtener una caracterización de un subgrupo contenido en cuyo orden es
(1).
Como 
y (1) es precisamente el orden de 
entonces podemos afirmar que la caracterización matricial obtenida al aplicar el procedimiento anterior es un q-subgrupo de Sylow contenido en 
.
Si 
el orden del q-subgrupo de Sylow contenido en 
es 
y una caracterización matricial de este q-subgrupo es:
Se ha mostrado como obtener una caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en para los dos casos posibles: y .
La dificultad que tiene este procedimiento es el no conocimiento de la caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en 
.
§§2 Caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en 
con n natural y p primo tal que en .
Considerando 
, 
, o sea, 
tenemos que el orden del q-subrupo de Sylow contenido en es:
, 
(1)
Transformando (1) tenemos que
, 
(2)
Analicemos 
(3)
Expresando 
en la base 
tenemos que (3) es
(4)
Pero como 
entonces (4) se puede expresar como
(5)
De aquí que 
y por tanto concluimos que (1) puede expresarse como
, 
Con este resultado podemos afirmar que el orden del q-subgrupo de Sylow contenido en 
es igual al orden del q-subgrupo de Sylow contenido en 
con n natural tal que 
, 
.
El isomorfismo 
tal que a la matriz 
se le hace corresponder la matriz 
nos permite obtener, a partir de la caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en 
, una caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en 
- Kostrikin, A. I. Introducción al Álgebra/ A. I. Kostrikin.–Moscú:Editorial Mir, 1980. –435p.
- Dubriel, P. Lecciones de Álgebra Moderna/ P. Dubriel, M. L. Jacotin. –La Habana: InsInstituto del Libro, 1969. –434p.
- Arrechavaleta, E. Elementos de Análisis Numérico y de la Teoría de los Números/ E. Arrechavaleta. —Madrid, 1921.–438p.
- Dickson, L. F. Linear groups with an exposition of de galois fiel/ L. F. Dickson.–Lupsig, 1991. –352p.
- Kargapolov, M. I. Fundamentos de la Teoría de Grupos/ M. I. Kargapolov, Y. I. MerzliaKov.–Moscú:Editorial Nauka, 1977. –240p.
MSC. Jorge Manuel Ríos Obregón
Centro Universitario "José Martí Pérez" de sancti Spiritus. Cuba
MSc. Vicente Eloy Fardales Macias
Facultad de Ciencias MÉdicas de Sancti Spiritus. Cuba
Dra. Juana Rosa Subit Gómez
Universidad Central "Marta Abreu" de Las Villas. Cuba