Cónicas y aplicaciones

La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son curvas planas de todos conocidas.

Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con un plano.

Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definición de estas curvas como lugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia. (Las cónicas como lugares geométricos).Finalmente se estableció una teoría algebraica general que engloba todas estas curvas y las describe como curvas cuadráticas. Es esta teoría la que presentamos a continuación.

Curvas cuadráticas

Definición:

Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado:

La ecuación de una cónica se puede escribir en forma matricial como    

donde

Ejemplo:

En el siguiente gráfico vemos la cónica que representa la ecuación cuadrática anterior

En este caso la matriz de la cónica y las matrices adjuntas correspondientes son

Las figuras que representan las ecuaciones cuadráticas pueden ser, además de elipses, hipérbolas y parábolas, pares de rectas tanto secantes como paralelas y estas últimas pueden ser distintas o coincidentes. También puede darse el caso de que la ecuación sea verificada por un único punto o por ninguno. Alguna de estas últimas también se pueden obtener como secciones cónicas como se ve en las imágenes siguientes:

A continuación estudiamos como se puede determinar que tipo de curva que define una ecuación cuadrática dada. 

Clasificación de las cónicas

Existen ciertas cantidades asociadas a la matriz de la cónica que son invariantes respecto a los movimientos del plano (giros y traslaciones).

Tabla de Clasificación

Elementos notables de las cónicas

Centro:

Si el punto P está en la cónica C entonces la recta polar de P respecto a C es precisamente la recta tangente a la cónica en dicho punto P.

Ejemplo:

Consideremos la cónica de ecuación

Que matricialmente se escribe como

Utilizando la tabla de clasificación vemos que se trata de una elipse real puesto que

La polar del punto (1,2) será la recta 

Observamos que el punto (1,2) pertenece a la cónica y por lo tanto la polar coincide con la recta tangente en dicho punto.

La polar del punto (1,1) es la recta

La polar del punto (3/2, 9/4) es la recta

Es posible que un punto P=(x0,y0) no tenga polar respecto a una cónica C. Las coordenadas de los puntos que no tienen polar deben verificar el sistema de ecuaciones

Que impone que los coeficientes de x e y en la recta polar sean nulos (es decir que no exista dicha recta).

Para que este sistema tenga alguna solución se ha de verificar